Aula 10 – Aplicações

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ANÁLISE COMBINÁTORIA Aula 10 – Aplicações 
Objetivos: 1- Relacionar os diversos conceitos vistos durante o curso. 2- Verificar a importância da Análise Combinatória nos diversos campos do saber.
Introdução Nesta aula, abordaremos diversas situações problemas do nosso cotidiano onde a Análise Combinatória será usada como ferramenta para solução. Procuraremos nos aproximar o máximo possível de nosso mundo moderno, mostrando a importância da disciplina que já é utilizada em alta escala e continua em destaque.
Premissa Prezado aluno, conforme planejamento realizado, destinaremos esta aula para utilizarmos os conteúdos abordados durante nosso curso de Análise Combinatória, nas aplicações de outros campos do conhecimento, devemos lembrar que isso não é tarefa fácil e, em algumas situações, quase que impossível. Entretanto, essa dificuldade acabará atuando como agente motivador para que consigamos atingir o nosso objetivo. Hora de arregaçarmos as mangas e concentrarmos nossos esforços no trabalho.
Primeira Aplicação Começaremos com uma aplicação bem conhecida que diz respeito ao sistema de emplacamento de automóveis em uma determinada região. É inimaginável uma cidade sem um sistema adequado de emplacamentos. Claro que um sistema de controle sobre todo e qualquer tipo de veículo se faz necessário, caso contrário o caos estaria instalado. Como ficariam os acidentes? Como resolveríamos problemas ligados a furtos? Como resolveríamos as questões referentes aos impostos?
ATENÇÃO! : Acreditamos que tudo isso sirva de justificativa para a nossa primeira aplicação. Vamos lá?
Quantas placas de automóvel formadas por 3 letras e 4 algarismos podemos ter, considerando os algarismos de 0 a 9 e o alfabeto acrescido das letras K, Y e W, com letras e algarismos repetidos? KYA-2334 ATENÇÃO! - Como de costume nos colocaremos na posição de quem está realizando a ação. Devemos escolher 3 dentre 26 letras e 4 dentre 10 algarismos para formarmos uma placa, por exemplo, KYA 2334.
Portanto, o problema é composto de 7 etapas e podemos utilizar o princípio multiplicativo. 1ª, 2ª e 3ª etapas:26 possibilidades de escolha (escolha de uma letra) 4ª, 5ª, 6ª e 7ª etapas:10 possibilidades de escolha (escolha de um algarismo) Então, teremos esta quantidade de placas distintas: 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 175.760.000
Observações : 1 - Vale a pena lembrar que no nosso exemplo , não levamos em consideração algumas outras questões que na prática são relevantes, tais como : formato, cor, a exclusão de alguma placa que por ventura , na prática não seja utilizada. Abordamos o problema apenas considerando a questão Matemática.
2 – Poderíamos lançar mão doa arranjos com repetições para solucionar o problema proposto, nesse caso, teríamos : AR26,3 X AR10,4 
Segunda Aplicação Terceira Aplicação Uma turma tem aula às segundas, quartas e sextas, das 8 às 9 horas e das 10 às 11 horas. As matérias são Matemática, Português e Inglês, cada uma com 2 aulas semanais em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horário da turma?
Atenção ! : Confecção de horários costuma ser tarefa complicada para aqueles que trabalham em instituições de ensino. Quem alguma vez já participou dessa tarefa sabe como é difícil mexer com tantas variáveis que se apresentam na confecção de um horário. Na maioria dos casos, a tarefa só é concluída mediante um processo de negociação com os participantes que acabam por ceder um pouco as suas prioridades.
Vamos à solução do problema: Designemos as disciplinas pelas suas letras iniciais: 
Quarta aplicação Um candidato a prefeito faz 3 promessas distintas por comício. Como estratégia eleitoral, ele nunca repete, em um comício, as mesmas 3 promessas já feitas em outro. Qual o número mínimo de promessas que ele deve compor para poder realizar 30 comícios? Quinta aplicação Uma investigação será realizada pela Receita Federal e pela Polícia Federal conjuntamente. Cada grupo de investigadores deverá contar com 6 componentes. A Polícia Federal disponibiliza 7 agentes e a Receita Federal disponibiliza 8 fiscais para participarem da investigação. Determine o número de grupos de investigadores que tenham exatamente 3 agentes e 3 fiscais. Problemas de Análise Combinatória onde usamos o princípio multiplicativo conjuntamentecom outras técnicas de contagem ocorrem com grande frequência. Devemos prestar muita atenção no enunciado do problema para que consigamos êxito na sua solução. No problema em questão, podemos pensar isoladamente, ou seja, formando grupos da Receita Federal e grupos da Polícia Federal. Vamos conduzir o problema da seguinte forma: De quantas maneiras distintas podemos selecionar 3 agentes dentre7? Note que a ordem desses elementos que serão selecionados não interfere em nada. Portanto, estamos diante de uma combinação e a resposta é   C73  = 35. De quantas maneiras distintas podemos selecionar 3 fiscais dentre 8? Da mesma forma observamos que a ordem não está influenciando a escolha, então temos:  C83 = 56 Aplicando o principio multiplicativo obtemos a resposta do problema : 35 x 56 = 1960 
Sexta Aplicação Um químico dispõe de 7 substâncias e quer misturar 4 delas. Porém, 2 das substâncias não podem ser  misturadas, pois podem explodir. Quantas misturas distintas esse químico pode realizar? Atenção ! Nesse problema, podemos adotar como estratégia o “esquecimento provisório” da condição.
Então, vamos compor todas as substâncias possíveis de serem formadas utilizando 4 substâncias dentre um total de 7. O problema agora passa a ser responder a seguinte pergunta... Quantas dessas substâncias podem explodir? Pense antes de consultar a solução!
Solução Conseguiu, não? Claro, é fácil!
Sétima Aplicação Em uma sala, estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É falso afirmar que pelo menos 2 dessas pessoas:
	A
	Nasceram em uma mesma hora do dia
	B
	Têm 50 anos de idade.
	C
	Nasceram no mesmo ano.
	D
	Nasceram em um mesmo mês.
	E
	Nasceram em um mesmo dia da semana.
O problema é bem interessante e versa sobre o Princípio da Casa dos Pombos ou também chamado Princípio das Gavetas ou Princípio de Dirichlet. Ele vem ocorrendo com certa frequência, nos diversos concursos públicos, podemos atribuir tal fato a exigência mínima de cálculos e uma dose de criatividade. Este problema, em particular, se torna mais interessante, pois devemos analisar cada uma das alternativas com muita cautela. Quer tentar? Trata-se de um bom exercício! Tente justificar as suas conclusões. Depois de ter tentado, vamos à solução? Confira!
	A
	Nasceram em uma mesma hora do dia
	B
	Têm 50 anos de idade.
	C
	Nasceram no mesmo ano.
	D
	Nasceram em um mesmo mês.
	E
	Nasceram em um mesmo dia da semana.
	A - Como o dia possui 24 horas e como temos um total de 100 pessoas, com certeza pelo menos 2 delas nasceram em uma mesma hora do dia. Devemos entender a mesma hora do dia como algo diferente de terem nascido no mesmo instante. É necessário que essa distinção seja feita para que não tenhamos dúvida quanto à solução do problema.
	B- É evidente que esta afirmação é a falsa. Basta que imaginemos um grupo que tenha 100 pessoas e todas com idade entre 60 e 70 anos. Todas essas 100 pessoas teriam menos de 80 anos, porém nenhuma delas teria idade igual a 50 anos.
	C - Como todas as pessoas têm menos de 80 anos, as possíveis idades são 1, 2, 3,... 79. Como temos 100 pessoas, com certeza pelo menos 2 delas têm a mesma idade  e, consequentemente, nasceram no mesmo ano.
	D - Como o ano é composto por 12 meses é suficiente que tenhamos 13 pessoas para garantirmos que pelos menos 2 delas nasceram no mesmo mês do ano. No caso em questão, são 100 pessoas, então a afirmação está correta.
	E - Como a semana é composta de 7 dias então basta que tenhamos 8 pessoas para que possamos afirmar que pelo menos 2 delas nasceram no mesmo dia da semana. No caso em questão, temos 100 pessoas, então a afirmação está correta.
Oitava Aplicação A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B, e o campeão será o que vencer 2 partidas seguidas ou um total de 3 partidas. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis, de forma que sempre haja um vencedor, julgue o item que se segue. Realizados 4 jogos entre as equipes A e B, o campeão será necessariamente conhecido. Estamos diante de um problema interessante, pois não faz uso de nenhum cálculo, nenhuma forma, mas exige que tenhamos certa dose de criatividade para chegarmos até a solução. Que tal tentar? Atenção ! : Exercite um pouco a sua criatividade. Lápis e papel e pense! Após ter esgotado suas tentativas, veja a solução. Imagine que A ou B tenham ganhado os dois jogos consecutivos, já conheceremos o campeão, mas não temos certeza queisso acontecerá. Vamos adotar as possíveis sequências de 3 resultados, onde os vencedores aparecem em ordem e nenhum venceu 2 vezes consecutivas, temos:
	A, B e C
	Repare que em nenhum dos dois casos conhecemos o campeão ainda, pois precisa ganhar 2 vezes consecutivas ou 3 vezes.
	B, A e B
	
	A, B e C
	B, A e B
 
 
Analisemos a situação A, B e A, se o A ganhar novamente será campeão, pois venceu 2 consecutivas e além disso 3 intercaladas; o mesmo acontece com o B. Todavia se, no 4º jogo, o A for o vencedor temos a seguinte sequência A, B, A e B e, nesse caso, não conheceremos ainda o vencedor. Portanto a afirmação do item é incorreta. Porém ,no 5º jogo, com certeza saberemos quem é o legitimo campeão . Nessas condições o número máximo de jogos para que se saiba com certeza o campeão deverá ser ..... resposta : 5 jogos . Nona aplicação Ocorrido um assalto a uma agência bancária, uma testemunha se apresenta na delegacia mais próxima e declara que os suspeitos do assalto fugiram, em um carro, com uma placa formada por 3 vogais seguidas por 4 dígitos diferentes. Sabendo que, nessa cidade, as placas dos automóveis são formadas por 3 letras seguidas de 4 dígitos, quantos automóveis a polícia deverá investigar?
Saiba + : A colaboração com as autoridades nos casos como esse é um exercício de cidadania. Com essa finalidade foi criado o Disque Denúncia, que preserva a identidade daqueles que exercem o seu dever de cidadão. Vale ressaltar que uma grande quantidade de casos de assaltos, roubos, assassinatos e vários outros crimes tem sido elucidada através desse mecanismo. 
Sugerimos que antes de tentar resolvê-lo, faça uma estimativa. Do tipo 1.000, mais ou menos? 10.000, mais ou menos? 100.000, mais ou menos? Recorremos ao princípio multiplicativo para solucionar o problema. Podemos dividir o problema em etapas. Vejamos:
	1ª
	Escolha da primeira vogal: 5 possibilidades (a, e, i, o, u)
	2ª
	Escolha da segunda vogal: 5 possibilidades (admite repetição)
	3ª
	Escolha da terceira vogal: 5 possibilidades (admite repetição)
	4ª
	Escolha do primeiro algarismo: 10 possibilidades (inclui o zero)
	5ª
	Escolha do segundo algarismo: 9 possibilidades (não admite repetição)
	6ª
	Escolha do terceiro algarismo: 8 possibilidades (não admite repetição)
	7ª
	Escolha do quarto algarismo: 7 possibilidades (não admite repetição)
Pelo principio multiplicativo, temos: 5x5x5x10x9x8x7 = 630.000 carros 
Décima Aplicação Paulo, Regina e 5 amigos vão ao cinema e encontram 7 lugares livres em uma mesma fila horizontal. Se Paulo e Regina desejam sentar juntos, um ao lado do outro, de quantas maneiras diferentes podem sentar? O problema em questão pode ser solucionado por permutação(Problemas que envolvam grupamentos de objetos que devem permanecer juntos são solucionados admitindo que esse grupo de pessoas funcione com um único objeto e que depois serão permutados entre si.). Ou seja, Paulo e Regina serão contados como 1 única pessoa, portanto, passamos a ter um grupo de pessoas que funcionará como se fossem 6 apenas (Paulo e Regina contado como 1 pessoa). Logo, teremos: P6 = 6! = 720 Como podemos permutar Paulo e Regina, em quantas combinações diferentes? Resposta: P2 X P6 = 2! X 6! = 2 X 720 = 1.440
Décima primeira aplicação
Atenção ! Chegamos ao final do nosso curso. Temos convicção que conseguimos alcançar nossos objetivos e atender a expectativa criada por você em relação ao nosso curso de Análise Combinatória.
 Nesta aula, você: -Compreendeu a importância da Análise Combinatória no mundo moderno. -Aprendeu diversas aplicações da Análise Combinatória em outros ramos do conhecimento.