12 - Distâncias

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IESB – Campus Sul
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
z
P
2DISCIPLINA: Geometria Analítica e Vetores
Distâncias
P
1
yDistância entre dois pontos P(x1, y1, z1 ) e P(x2, y2, z2):
xExemplo: A distância de P1(2,0,2) e P2(1,5,4) será , pois
Distância de um Ponto a uma Reta
Dado um ponto P(x,y,z) no espaço R3, uma reta r,				 P
um ponto A(xo , yo , zo) e um vetor diretor , define-se a altura			 
do paralelogramo d(P,r), como a distância entre o ponto P e a reta r, A d
expressa em .
A área A do paralelogramo é dada por 
Ap =(área da base). (altura)= , que é também Ap = 
Igualando, temos: 	 .		 P
Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(3,2,4) à reta A d
Solução: Necessitamos das coordenadas do ponto A, do , do vetor e
 do produto vetorial para utilizar na fórmula . 
	Portanto, conforme a reta r dada, A=(-1, 2, 3), = (2,-1,-2 ), =P – A = (4, 0, 1) e o produto vetorial . Logo, 
											 Po 
Distância do Ponto Po ao Plano : , 				 d
 onde P=(xo, yo, zo ) e =(a,b,c) . 
Seja A(x1, y1, z1), um ponto qualquer de , e , vetor normal a .
d(Po, ) = = = 
= 
Exemplo 1): A distância entre Po(4,2, -3) ao plano : 2x+3y – 6z +3 = 0 é 5, pois :
 
Exemplo 2) A distância entre a reta r: ao plano : 4x – 4y +2z – 7 = 0 é 17/6, pois:
 P=(0,3,1) r, 
Distância entre duas retas r1 e r2 : d(r1, r2) = 
Caso 1: r1 e r2 concorrentes(ou coincidentes) d(r1, r2) = 0
Caso 2: r1 // r2 Considerar P r1 ou P r2 d(r1, r2) = d(P, r1) para P r2 ou d(r1, r2) = d(P, r2), P r1 .
Caso 3: r1 e r2 reversas Vparalelepípedo=(área da base).(altura)= .d ou 
			 Vparalelepípedo= 			 A2
Comparando as duas equações: .d =		 r2
					d = / . r1 A1 		 
Exemplo: A distância entre as retas r1 = e r2 = é 3/ , pois
r1 para pelo ponto A1(-1,3,-1) e seu vetor diretor é ;
r2 para pelo ponto A2(0, - 3, 1) e seu vetor diretor é , pois x=y+3 e x= z -1 / -1 ;
 = A2 – A1 = (1, -6,2) ; 
 = = 9 e = = (3,0,3)
 
Exercícios:
Achar a distância de P1 a P2, nos casos: a) P1(-2,0,1) e P2(1, -3,2) b) P1(1,0,1) e P2(2, -1, 0).
Achar a distância do ponto P à reta r, nos casos: 
P(2,3, -1)	r : x = 3 + t 		y = – 2t		z = 1 – 2t 
P(1, -1, 0)	r : x = 2 – t		y = 0		z = t
P(3,2,1) 	r : y = 2x 		z = x + 3
P(0,0,0) 	r : 
P(3,-1,1) 	r : (x,y,z) = (2,3,-1) + t(1, - 4, 2)
P(1,2,3)		r : eixo Ox
P(1,2,3)		r : eixo Oz
P(1,2,3)		r : x = 1 		z = - 1 
Achar a distância do ponto P ao plano , nos casos:
P(2, - 1 , 2)		 : 2x – 2y – z = 3 = 0
P( 3, - 1, 4 )		
P(1, 3, - 6) 		4x – y + z + 5 = 0
P(0, 0, 0) 		 : 3x – 4y + 20 = 0
P( 1, 1, 1,) 		
Calcular a distância entre os planos paralelos:
1 : x + y + z = 4	 e	2 : 2x + 2y + 2z = 5
Achar a distância da reta r ao plano 
r : x = 4 + 3t		y = - 1 + t 		z = t 	e 	 	
r : 	e 	
r : 	e 	
Achar a distância entre r1 e r2 , nos casos: 
a) r1 : x = 2 – t 		y = 3 + t 		z = 1 – 2t 
 r2 : x = t 			y = –1 – 3t 		z = 2t 
b) r1 : x = y = z e r2 : y = x + 1		z = 2x – 1 
c) r1 : y = 2x 		z = 3 		r2 : (x, y, z) = (2, - 1, 2) + t(1, -1, 3)
d) r1 : x = t + 1		y = t + 2 		z = – 2t – 2 
 r2 : y = 3x + 1 		z = – 4 x 
r1 : x =3 		y = 2 		r2 : x =1 		y = 4
r1 : x =3 		y = 4		r2 : eixo dos z