8 - Vetor II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA – IESB 
Curso: ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA
Professor(a): SOFIA MITSUYO TAGUCHI DA CUNHA
RESUMO DA AULA 2 
R
3
 
 Z
 
 j
 0 k Y
 i
 xAssunto: Produto de Vetores (Parte 1)
 
Localização dos pontos no espaço R3
Consideremos a base canônica {}, 
onde ,
 com origem em 0. Um vetor pode ser escrito como
, onde a1 = x, a2 = y e a3 = z.
 significa que 1 está no eixo x e y = z = 0;
 significa que 1 está no eixo y e x = z = 0;
 significa que 1 está no eixo z, e x = y = 0.
Generalizando, um ponto P (x,y,z) está:
 no eixo x, quando y=z=0; no eixo y, quando x=z=0; e no eixo z, quando x=y=0; 
e um ponto está no plano xy, quando z=0; no plano yz, quando x=0; e no plano xz, quando y = 0.
 Exercício: Desenhe a figura formada pelos pontos: A(2,0,0); B(2,4,0), C(0,4,0); O(0,0,0); D(0,4,3); E(0,0,3); F(2,0,3); P(2,4,3).
Produto escalar (ou produto interno usual): 
Definimos um produto escalar de 2 vetores e
 , como sendo o número real obtido pela soma dos produtos entre os seus componentes, isto é: .
Exemplo: Se e , 
 
Módulo de um vetor
Módulo de um vetor , representado por , é um número real não-negativo, resultante da operação . Portanto, .
Se o módulo de um vetor for igual a 1, isto é, = 1, dizemos que o vetor é unitário. 
Exemplo: O vetor é unitário.
Versor (ou norma) de um vetor: O versor do vetor será o vetor . 
Obs.: O módulo do versor é 1. Exemplo: Versor de e = 1.
Distância entre 2 pontos
Sejam dois pontos e . A distância entre A e B é o número d, definido como módulo de , isto é, d = I I = I B – A I = .
Exemplo: O valor de m, para que a distância d entre A(-1,2,3) e B(1,-1,m) seja 7, é 9 ou -3. (Exercício 2)
Propriedades do Produto Escalar
Para quaisquer e valem as seguintes propriedades:
	
	iv) (m
	
	v) I I 2 , pois Por definição I I = 
	
	 I I2 = )2 I I2 = 
Ângulo de 2 vetores
O ângulo entre 2 vetores não-nulos é calculado por: cos = , pois se + = I I2 – 2. + I I2 e pela lei dos cossenos, para triângulos não-retângulos, se = I I2 + I I2 – 2.II.I I.cos , temos que igualando as igualdades, pode se deduzir a fórmula. 
Se .
Condição de Ortogonalidade
Dois vetores e são ortogonais se e só se o produto escalar deles é nulo, isto é, .
Exercícios-base.
Dados os vetores e os pontos A(4, -1, 2) e B(3,2,-1), determinar os valor de tal que .
Calcule o valor de m, para que a distância d entre A(-1,2,3) e B(1,-1,m) seja 7.
Determinar para que o vetor seja unitário.
Calcule o valor de x do triângulo ABC, sendo AB=3, BC=7 e AC = x, quando  = 60o .
Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2).
Calcular o ângulo entre os vetores .
Sabendo que o vetor forma um ângulo de 60o com o vetor , determinado pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m), determine o valor de m.
Encontre um vetor ortogonal aos vetores .
Resolver os exercícios 1 ao 20 das páginas 90 e 91, do livro:
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica.2.ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Dados os vetores , determinar a de modo que 
 . 
Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor , tal que 
2 . 					
Determinar o vetor , sabendo-se que (3,7,1) + 2 = (6,10,4) - . 		
Dados os pontos A(1,2,3), B(-6, -2, 3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor - 2. 
Verificar se são unitários os vetores . 
Determinar o valor de n para que o vetor seja unitário.
Seja o vetor . Calcular m para que .
Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para que , sendo 
 .
Dados os pontos A(3, m – 1, - 4) e B(8,2m – 1, m), determinar m de modo que .
Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0).
Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2,1, -1).
Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.
Os pontos A,B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10cm. Calcular o produto escalar dos vetores e .
Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5,12 e 13.
Calcular: 
Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2,1,3), B(1,0,-1) e C(-1,2,1).
Sabendo que o ângulo entre os vetores , determinar m.
Calcular n para que seja de 30o o ângulo entre os vetores .
Dados os vetores , determinar o valor de para que o vetor seja ortogonal ao vetor .
Determinar o vetor , paralelo ao vetor tal que = - 18 .
Determinar o vetor ortogona l ao vetor e colinear ao vetor 
Respostas:
1. a=2				2. 			3. 	
4. (7/9 , 4/9, 4/9)		5. 					6. 
7. – 4 ou – 5 			8. 3 ou – 13/5					9. -3 ou -1 
10. 2 		11. P(1,0,0)					12. 45o
13. 50				14. 169
15. Â = arc cos ; ^B = arc cos ; ^C = arc cos 
16. m = - 4 			17. 
18. 3 ou – 6 			19. ( -3, 3 , - 6) 					20. , t real.