Lista Espaços Vetoriais

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Sul-rio-grandense
Campus Pelotas - CINAT - COMAT
Lista Espaços Vetoriais - Algebra Linear
1. (Eng. Jr - Petrobras 2010/1 -adaptada) Calcule o valor de 𝑚 para que o vetor
�⃗� = (𝑚, 2, 3) do R3 seja uma combinação linear dos vetores �⃗�1 = (1, 0, 1) e �⃗�2 = (2, 1, 1).
2. Considere o espaço vetorial V das funções 𝑓 : R → R. Verifique se V é uma soma
direta dos conjuntos das funções pares e impares. Escreva 𝑓(𝑥) = 2𝑥 como soma de uma
função par e uma impar.
3. Verifique se o conjunto das matrizes triangulares superiores de ordem 𝑛× 𝑛 forma
um subespaço vetorial do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem n.
4. Verifique se o conjunto das matrizes inversíveis 2× 2 é um subespaço vetorial das
matrizes quadradas de ordem 2.
5. Mostre que os seguintes conjuntos de funções formam subespaços do espaço das
funções reais de variável real V(F).
a) As funções contínuas.
b) As funções deriváveis.
c) As funções limitadas.
d) As funções integráveis.
6. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso). Justifique as respostas.
( ) O conjunto {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (3, 3, 0)} gera R3.
( ) Os números complexos 𝑤 = 2 + 3𝑖 e 𝑧 = 1 − 2𝑖 geram o corpo complexo C como
espaço vetorial sobre o corpo R.
( ) O vetor −→𝑟 = (3, 2,−5) pertence ao subespaço gerado por −→𝑢 = (2, 1, 0); −→𝑣 =
(−1, 0, 3) e −→𝑤 = (0, 4, 1).
( ) O conjunto {(1, 2, 3, 4), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} é linearmente independente em R3.
( ) A matriz A abaixo tem duas linhas linearmente independentes, ou seja, tem posto
(rank) igual a 2.
A =
⎡⎢⎢⎢⎣
1 2 3
2 2 1
1 4 −2
⎤⎥⎥⎥⎦
( ) A matriz A quadrada de ordem 𝑛, definida como A = I𝑛 − X(X′X)−1X′, onde
X e X′ são matrizes quadradas de ordem 𝑛 e inversíveis. Então A possui 𝑛 − 1 linhas
linearmente independentes.
( ) Se �⃗�1 e �⃗�2 são linearmente independentes no R𝑛, então (�⃗�1 + �⃗�22 ) e (2�⃗�1 + 2�⃗�2) são
linearmente dependentes no R𝑛.
( ) As funções sin 𝑡 e cos 𝑡 são linearmente dependentes. (dica: use o determinante
Wronskiano)
( ) O conjunto solução de sistema Linear Homogêneo é um Subespaço Vetorial do R𝑛.
( ) O primeiro quadrante do R2 é subespaço vetorial.
( ) Seja o conjunto 𝑆 = {(𝑥, |𝑥|), 𝑥 ∈ R}, se −→𝑢 e −→𝑣 vetores de 𝑆, então −→𝑢 +−→𝑣 ∈ 𝑆.
( ) S é o conjunto de todas as matrizes 𝑛× 𝑛 cujo o determinante é 1. Então S é um
subespaço vetorial de 𝑉 =M𝑛×𝑛.
7. Tensores são entidades geométricas introduzidas para generalizar a noção de es-
calares, vetores e matrizes. Escalares, vetores e matrizes(retângulos) são tensores de
categoria 0, 1 e 2 respectivamente. Uma matriz anti-simétrica é aquela cuja matriz trans-
posta coincide com sua matriz oposta, ou seja A𝑖𝑗 = −A𝑗𝑖. Ela é um exemplo de tensor
de segunda categoria anti-simético. T𝑖𝑗𝑘 = −T𝑗𝑖𝑘 é um tensor anti-simétrico de terceira
categoria (cubo). Um exemplo de tensor anti-simétrico de terceira categoria é o tensor de
Levi-Civita, definido da seguinte forma:
𝜖𝑖𝑗𝑘 =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
1, se (𝑖𝑗𝑘) é (123), (231) ou (312)
0, se 𝑖 = 𝑗 ou 𝑖 = 𝑘 ou 𝑗 = 𝑘
−1, se (𝑖𝑗𝑘) é (321), (132) ou (231)
Mostre que o conjunto dos tensores anti-simétrico de categoria 2 (ou seja, as matrizes
anti-simétricas de ordem 2) é um subespaço vetorial dos tensores de categoria 2 (M(R)2×2).
8. Considere o espaço vetorial V das funções 𝑓 : R → R e 𝛽 = {1, sin(2𝑥), cos(2𝑥)}
um conjunto de V. Verifique se 𝛽 é LI e mostre que 𝑓(𝑥) = sin2(𝑥) pode ser escrita como
uma combinação linear dos elementos de 𝛽.
9. Considere os vetores �⃗�1 = (1, 2) e �⃗�2 = (1, 3). a) Prove que 𝛽 = {�⃗�1, �⃗�2} é uma base
do R2. b) Calcule a matriz mudança de base da base 𝛽 para a base canônica do R2.
10. Considere V o conjunto de vetores (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) do R4, tal que: 𝑥1 + 𝑥3 = 0 e
𝑥2 + 𝑥4 = 0. Encontre uma base e uma dimensão para V.