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1 Professora Luciana Marinho Capítulo 3.3 Espaços Vetoriais Gerados 2 Professora Luciana Marinho Continuaremos nosso estudo de espaços vetoriais. Analizaremos como construir de modo eficiente um espaço vetorial a partir de elementos desse espaço. Para isso, usaremos os conceitos de combinações lineares e de espaços vetoriais gerados. 3.3.1 – Combinações lineares 3 Professora Luciana Marinho É muito útil sob diversos aspectos que possamos construir um elemento de determinado conjunto a partir de outros. Um exemplo são os vetores, em que, a partir dos versores , podemos construir qualquer vetor no plano escrevendo , onde vx e vy ϵ R. Por exemplo, na primeira figura a seguir construímos o vetor a partir da combinação . 3.3.1 – Combinações lineares 4 Professora Luciana Marinho Também podemos escrever o mesmo vetor como uma combinação dos vetores 3.3.1 – Combinações lineares Dizemos que é uma combinação linear dos versores e , ou dos vetores e , pois foi construído a partir da soma desses versores e vetores multiplicados por números reais. Esse tipo de construção é generalizado a seguir para qualquer espaço vetorial. 5 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares 6 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Resolvendo pelo método de Gauss-Jordan: 7 Professora Luciana Marinho Na verdade, para mostrar que um vetor é uma combinação linear de outros vetores, não é necessário especificar qual é a combinação linear de outros vetores. Precisamos somente provar que existe uma combinação linear possível. Voltemos ao problema do exemplo 3. 3.3.1 – Combinações lineares 8 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Em vez de resolver esse sistema, basta mostrar que ele tem solução única. Para isso, basta mostrar que o determinante é diferente de zero. Portanto, existe uma combinação linear de u1, u2, u3 que resulta no vetor v. 9 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Podemos escrever v = a1u1 + a2u2 + a3u3 para a1, a2, a3 ϵ R. De modo que existe uma combinação linear dos polinômios u1, u2 e u3, que resulta no polinômio v. 10 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Temos que provar que existem a1, a2, a3 e a4 de modo que A = a1B1 + a2B2 + a3B3 + a4B4, o que implica que devemos ter 11 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares A= det A=(-1)(-1)7(-118/7)=-118 Para calcular o determinante da matriz dos coeficientes, usaremos o método de Gauss para o escalonamento e depois faremos o produto dos elementos da diagonal principal de sua forma escalonada: 12 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Portanto a matriz A é uma combinação linear das matrizes B1, B2, B3 e B4. Neste exemplo, com um pouco mais de contas, teríamos chegado aos valores dos coeficientes a1, a2, a3 e a4. Mesmo assim, calculando somente o determinante, fizemos um pouco menos de contas. Porém, isto pode ser crucial quando se lida com sistemas de equações lineares com um número muito grande de equações e variáveis. 13 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares 14 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Portanto, não existe solução única para esse sistema de equações. Isso não significa que v não seja uma combinação linear de u1, u2, e u3. Ainda há a possibilidade de soluções múltiplas (sistema possível e indeterminado), o que só pode ser verificado resolvendo o sistema. 15 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Como 0 ≠ 3 , esse sistema é um Sistema impossível (não há solução). Portanto, v não é uma combinação linear de u1, u2 e u3. 16 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares 17 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares Sistema possível e indeterminado (infinitas soluções), de modo que v agora é uma combinação linear de u1, u2, e u3. 18 Professora Luciana Marinho 3.3.1 – Combinações lineares O importante nas combinações lineares é que elas tornam possível construir muito elementos de um espaço vetorial usando somente alguns poucos vetores. Podemos, inclusive, construir, todos os elementos de um espaço vetorial utilizando combinações lineares de alguns de seus elementos. Veremos isso a seguir. 19 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais –PAREI AQUI Já sabemos que qualquer vetor no espaço pode ser montado utilizando os versores abaixo: Os vetores , e geram o espaço v3 de todos os vetores no espaço. 20 Professora Luciana Marinho O mesmo pode ser dito de vetores em duas dimensões: Dizemos que os versores dados geram os espaços dos vetores no plano e no espaço. 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais 21 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais 22 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Temos que mostrar que qualquer vetor v = (x, y, z) ϵ pode ser escrito como uma combinação linear de u1, u2 e u3. 23 Professora Luciana Marinho Por exemplo, para (x,y,z)=(2,-6,6), então a expressão a1u1 + a2u2 + a3u3 com coeficientes 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Portanto, todo vetor (x, y, z) ϵ pode ser gerado por uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3. é uma combinação linear desse vetor: -15(1,0,3) + 4(-1,2,4) + 7(3,-2,5) = (-15,0,-45) + (-4,8,16) + (21,-14,35) = (2,-6,6) 24 Professora Luciana Marinho Na verdade, bastaria mostrar que existe alguma combinação linear dos três vetores que gera qualquer elemento do espaço tridimensional. 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Então, para qualquer vetor v ϵ , existe sempre uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3 dados que resulta nesse vetor. Sendo assim, esses vetores geram o espaço 25 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Precisamos mostrar que qualquer polinômio v = ax2 + bx + c pode ser escrito como v = a1u1 + a2u2 + a3u3, isto é, 26 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais de modo que existe uma combinação linear dos polinômios u1, u2 e u3 que resulta em qualquer v ϵ p2(x). Portanto, esses vetores geram p2(x). 27 Professora Luciana Marinho A= det A=(-1)(-1)7(-118/7)= =-118 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Temos que provar que qualquer matriz 2 x 2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes B1, B2, B3 e B4. 28 Professora Luciana Marinho Não há solução única (pode haver infinitas soluções ou nenhuma). 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Temos que mostrar que qualquer vetor u = (x, y, z) ϵ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u1, u2 e u3. 29 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Resolvendo o sistema de equações lineares usando a forma da matriz expandida, temos O sistema só tem solução se x + 2y + z = 0, impondo uma condição sobre a forma do vetor u. Isso não é possível, pois a combinação linear deve existir para quaisquer valores de x, y e z. Portanto, os vetores u1, u2 e u3 não geram 30 Professora Luciana Marinho 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais Isto estabelece uma relação entre a e b que não pode existir se a e b forem números quaisquer. Portanto, os vetores u1 e u2 não geram o espaço vetorial v2. 31 Professora Luciana Marinho Pudemos ver que, para que um determinado número de vetores (elementos de um espaço vetorial) gerem um espaço vetorial, é necessário que eles sejam independentes uns dos outros (determinante diferente zero).Nos exemplos 5 e 6, isso não foi possível porque conseguimos escrever u3 = -2u1 (ex 5) e u2 = -2u1 (ex 6), isto é os vetores u1 e u3 (ex 5) e os vetores u1 e u2 (ex 6) dependem um do outro. Isto leva ao assunto da próxima aula: dependência e independência linear. 3.3.2 – Geradores de espaços vetoriais 32 Professora Luciana Marinho Resumo 33 Professora Luciana Marinho Resumo Slide Number 1 Slide Number 2 Slide Number 3 Slide Number 4 Slide Number 5 Slide Number 6 Slide Number 7 Slide Number 8 Slide Number 9 Slide Number 10 Slide Number 11 Slide Number 12 Slide Number 13 Slide Number 14 Slide Number 15 Slide Number 16 Slide Number 17 Slide Number 18 Slide Number 19 Slide Number 20 Slide Number 21 Slide Number 22 Slide Number 23 Slide Number 24 Slide Number 25 Slide Number 26 Slide Number 27 Slide Number 28 Slide Number 29 Slide Number 30 Slide Number 31 Slide Number 32 Slide Number 33
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