Exercícios de Derivada - Cálculo I

Prévia do material em texto

Ca´lculo (I) – Lista de Problemas
Prof. Cleon S. Barroso
November 5, 2014
1. Um fazendeiro tem 1.200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta´ na margem
de um rio reto. Ele na˜o precisa de cerca ao longo do rio. Quais sa˜o as dimenso˜es do campo que
tem maior a´rea?
2. Uma lata cil´ındrica e´ feita para receber um 1 litro de o´leo. Encontre as dimenso˜es que
minimizara˜o o custo do metal para produzir a lata.
3. Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x que esteja mais pro´ximo do ponto (1, 4).
4. Um homem lanc¸a seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de
3 km, e deseja atingir ta˜o ra´pido quanto poss´ıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo.
Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e enta˜o seguir andando para B, ou rumar
diretamente para B, ou remar para algum ponto D enrtre C e B e enta˜o andar ate´ B. Se ele pode
remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais ra´pido poss´ıvel?
5. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode seer inscrito em um semic´ırculo de raio r.
6. Se uma pedra for atirada verticalmente para cima sobre a sperf´ıcie de Marte, com velocidade
de 15m/s, sua altura apo´s t segunes sera´ h = 15t− 1, 86t2. (a) Qual a velocidade da pedra apo´s
2 s? (b) Qual a velocidade da pedra quando sua altura for 25m acima do solo na subida? (c) E
na descida?
8. Um tanque de a´gua possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio de 2m e al-
tura igual a 4m. Se a a´gua esta´ sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre
a taxa na qual o n´ıvel de a´gua esta´ aumentando quando a a´gua estiver a 3m de profundidade.
9. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado:
(a) f(x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3] (b) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−2, 3]
(c) f(x) = x− lnx, [ 12 , 2] (c) f(x) = ln
(
x2 + x + 1
)
[−1, 1].
1