Os teoremas de Papus

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Introdução
Na sociedade atual, é comum a utilização de métodos matemáticos dos mais simples aos mais complexos para solucionar os diversos problemas enfrentados pelo homem. Métodos esses que foram desenvolvidos a milhares de anos atrás, como, por exemplo, o Teorema de Pappus. Esse Teorema será estudado neste trabalho e serão apresentadas algumas aplicações. 
Pappus de Alexandria é reconhecido historicamente como um dos últimos grandes geômetras gregos e, em 320 d.C., compôs uma obra com o nome de “Coleção” (Synagoge) que continha oito livros. No livro VII consta um teorema, não demonstrado, que diz: “Se uma curva plana fechada gira em torno de uma reta que não a corta, o volume do sólido gerado é obtido tomando o produto da área limitada pela distancia percorrida durante a revolução pelo centro de massa da área”
Neste trabalho será apresentado também conceitos sobre centro de massa, outro importante conhecimento adquirido pelo homem, que ajudou na resolução de problemas do cotidiano. Arquimedes, há cerca de 2300 anos, já havia observado a relevância do centro de massa. Ele enunciou algumas proposições a respeito. Dentre elas: "Em qualquer figura côncava, o centro de gravidade deve estar dentro da figura". Esse é um dos assuntos a ser apresentados neste trabalho.
Teorema de Pappus
O 1º Teorema de Pappus
“Se uma figura plana de área A, de centro de gravidade (x¯, y¯), é rotacionada em torno de um eixo que não a intersecta, então o volume do sólido de revolução gerado é dado pelo produto entre a área A da figura rotacionada e o comprimento da circunferência cujo raio é a distância entre o centro de gravidade dessa figura e o eixo de rotação.”
Demonstração: Primeiramente demonstraremos para o caso em que a região A é rotacionada em torno do eixo y. Pelo método dos invólucros cilíndricos visto na proposição 3.3 e utilizando também a proposição 3.8 temos
Portanto V = 2πdA, onde 2πd é o perímetro da circunferência cujo raio d = x¯ é a distância do eixo de rotação y ao centro de gravidade da região, de área A, que foi rotacionada.
Para o caso em que a região é rotacionada em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos anéis circulares, encontrado na proposição 3.4 e novamente a proposição 3.8 para obter:
 
Portanto V = 2πdA, e nesse caso 2πd representa o perímetro da circunferência cujo raio d = y¯ é a distância do centro de gravidade da região de área A ao eixo de rotação x. A demonstração para o caso em que a região é rotacionada em torno de uma reta paralela a um dos eixos é completamente análoga.
O 2º Teorema de Pappus
Assim como acontece no 1º teorema de Pappus, pode-se combinar resultados obtidos a partir do Cálculo para demonstrar o teorema que relaciona comprimento e centro de gravidade de arcos com a área da superfície de um sólido de revolução. “Se um arco, de perímetro L, que tem centro de gravidade (x¯, y¯), é rotacionado em torno de um eixo que não o intersecta, então a área da superfície gerada é dada pelo produto entre o perímetro L do arco e o comprimento da circunferência cujo raio é a distância entre o centro de gravidade desse arco e o eixo de rotação”. 
Demonstração: Para o caso em que o arco de perímetro L é rotacionado em torno do eixo y, temos pelas proposições 3.2 e 3.9 que
 Portanto A = 2πdL, onde L representa o perímetro do arco rotacionado e 2πd é o comprimento de uma circunferência cujo raio d = x¯ é a distância entre o centro de gravidade do arco e o eixo y.
De maneira equivalente aquela mostrada no caso do teorema para o volume de um só- lido de revolução, podemos obter a fórmula da área de uma superfície de um sólido de revolução quando a rotação do arco é feita em torno do eixo x.
Nesse caso podemos usar novamente as proposições 3.2 e 3.9 para obter:
Dessa forma temos que A = 2πdL, onde 2πd representa o comprimento de uma circunferência cujo raio d = y¯ é dado pela distância do centro de gravidade (x¯, y¯) ao eixo x, enquanto que L é o perímetro, ou comprimento, do arco que foi rotacionado. Aqui, novamente, a prova para o caso em que um arco é rotacionado em torno de uma reta paralela a um dos eixos é obtida de forma análoga ao que foi demonstrado.
Centro de massa
Há um ponto, denominado centro de massa do sistema, que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente sobre ele. O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode ser descrito em termos do movimento do centro de massa.
O centro de massa é também o centro de gravidade de um corpo. Isto é: como a aceleração da gravidade é praticamente constante, a resultante da força da gravidade sobre cada parte do corpo é, em regiões de pequenas dimensões, equivalente à força peso do corpo como um todo se aplicada no centro de massa.
Isso simplifica muito a análise quando a força peso estiver envolvida. Todo o efeito da força peso pode ser simulado pela aplicação do peso do corpo como um todo no centro de massa (ou centro de gravidade). O centro de gravidade desempenha um papel importante na análise do equilíbrio de corpos sólidos. Sua posição relativa pode determinar o tipo de equilíbrio (estável, instável ou indiferente).
O centro de massa de um corpo regular deve estar sobre qualquer eixo de simetria que o corpo possua. Por exemplo, o centro de massa de um bastão uniforme está sobre o eixo do bastão, na metade da sua altura. O centro de massa de um cilindro uniforme está sobre o seu eixo, a meio caminho entre as bases.
Para determinar o centro de massa de um sistema constituído por diversos corpos, precisamos primeiro determinar o centro de massa dos corpos individuais. Por exemplo, o centro de massa de um sistema de dois bastões está sobre a reta que une o centro de massa dos bastões separados. Isto porque os corpos, quaisquer que sejam os seus formatos, podem ser considerados entidades pontuais representados pelos seus centros de massa.
Consideremos um sistema de partículas de massa total M = m1 + m2 +...= ∑mi, onde mi é a i-ésima partícula em relação a uma origem arbitrária. O centro de massa do sistema é definido pelo seu vetor posição “r”, dada por:
M.r = m1.r1 + m2.r2 + ... = ∑mi.ri (1) 
Inicialmente, mostraremos que o centro de massa, definido pela equação (1), coincide com o centro de gravidade do sistema num campo gravitacional uniforme. Para simplificar, vamos imaginar uma figura plana localizada no plano “xy”. Se escolhermos a origem no centro de massa, o vetor posição “r” em relação à origem é nulo. A componente “x” da equação (1), com a origem no centro de massa, é, então: 0 = m1.x1 + m2.x2 + ... = ∑mi.xi Se multiplicarmos cada termo desta equação pela aceleração da gravidade g, teremos:
0 = m1.g.x1 + m2.g.x2 + ... = ∑mi.g.xi (2)
Desde que mig é a força da gravidade exercida pela i-ésima partícula e xi é o braço de alavanca da linha de ação da força em relação à origem no centro de massa, a grandeza migxi é o torque exercido pela força de gravidade sobre a i-ésima partícula, em torno do centro de massa. A equação (2) afirma então que o torque total exercido pela força da gravidade em torno da origem é nulo. A origem, portanto, é o centro de gravidade além de ser o centro de massa. A única exigência para o centro de gravidade e o centro de massa coincidirem é a de a aceleração da gravidade “g” ser a mesma para cada partícula do sistema.
A equação (1) e o exemplo anterior ilustram o centro de massa de uma distribuição discreta de partículas que pode ser estendida para o espaço tridimensional. Então, um corpo qualquer pode ser considerado um conjunto de partículas infinitesimais localizado num determinado referencial. Considerando-se esta distribuição contínua, na equação (1), a soma Smixi é substituída pela integral ∫ x dm, onde dm é um elemento de massa. Teremos então:
M.xcm = ∫ x dm
Aplicações
Determinar a distribuição correta de pesos de uma estrutura é um problema com o qual o engenheiro se depara frequentemente.O engenheiro pode encontrar projetos onde se faz necessária à distribuição adequada de peso para evitar problemas futuros na estrutura. Por isso uma das formas de extingui tal problema é através da localização do centro de gravidade.
O centro de gravidade como ponto de equilíbrio de um corpo ou sistema de corpos é conhecimento básico para o cálculo de estruturas. A determinação deste ponto pode ajudar no planejamento de um projeto. No mesmo, torna-se possível, por exemplo, deslocar algo indesejado que se localiza no meio da estrutura do projeto mudando o seu ponto de equilíbrio. Assim poderá, a partir do conhecimento do centro de massa, realizar melhor distribuição, por exemplo, de peças e eixos, sem comprometer toda a forma e estrutura de um carro. Determinar o centro de massa é de grande importância na Engenharia e seu uso nessa área é associado ao uso de vetores.
Referências
http://www.utfpr.edu.br/curitiba/estrutura-universitaria/diretorias/dirppg/programas/profmat/edital-de-defesas/2013/profmat-mestrado-robson-raulino-rautenberg - Acessado em 17 de abril de 2015
http://sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/2166002/LOB1018/1_a_Auladocap09CentrodeMassa.pdf - Acessado em 17 de abril de 2015
http://www.ifi.unicamp.br/ - Acessado em 17 de abril de 2015