GABARITO_-_PRIMEIRA_PROVA__DE_CALCULO_IV_01_11

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
GABARITO - 1ª PROVA DE CÁLCULO IV – IC 244 - 1ª/ 2011
Professoras: Márcia e Rosane - Turmas: T01 e T02 - 10 /05/2011
1ª Questão: (2,0 pontos) Determine se a sequência 
 é convergente ou divergente. 
Solução: 
, quando 
. Portanto, temos que seqüência 
 diverge.
2ª Questão: (2,0 pontos) Uma série infinita 
 tem a sequência de suas somas parciais dadas por 
. Determine se 
 converge ou diverge. Se convergir, determine sua soma.
Solução: Temos que 
, quando 
. Assim pela definição de série convergente, podemos concluir que a série é convergente e que a sua soma é 0, isto é 
=0.
3ª Questão: (2,0 pontos) Determine se a série 
 é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente. Conclua daí se diverge ou converge.
Solução: Denotando 
, vamos analisar a série 
. Como 
, temos que 
. Portanto, como a série 
 é convergente, pois é uma 
- série, com 
, temos pelo teste da comparação que a série dada é absolutamente convergente. Sendo assim, a série 
 é convergente. 
4ª Questão: (2,0 pontos) Considere a série 
. 
a) Verifique que as hipóteses, do teste da integral, são válidas para a série dada. 
Solução: Tomemos 
. Observe que 
. Vamos verificar que as hipóteses do teste da integral são válidas.
 no intervalo 
, pois neste intervalo 
 e 
.
 é contínua, pois é a composição de funções contínuas.
 é decrescente, pois 
 no intervalo analisado. 
b) Usando o teste da integral, verifique se a série dada é convergente.
Solução: 
 converge se e somente se 
 é convergente. 
. Assim temos que 
 é convergente.
5ª Questão (2,0 pontos) Use a série 
, para analisar a convergência da série 
 .
Solução: Denotemos 
 e 
. Observe que a série 
 é convergente. 
. Com isso, pelo teste da comparação no limite, podemos concluir que a série 
 é convergente. 
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