Prévia do material em texto
SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 3 1. 1 0 y 0 x d x dy = 1 0 1 2 x 2 y 0 dy = 1 0 1 2 y 2 dy = 16 2. 10 y 0 y dx dy = 1 0 y 2 dy = 13 3. 20 3 x x 2 + y dy dx = 20 x 2y + 12 y 2 3 x dx = 20 3x 2 + 92 − x 5 / 2 − 12 x dx = x 3 + 92 x − 2 7 x 7 / 2 − 14 x 2 2 0 = 16 1 − 27 4. 10 1+ x 1− x 2x − 3y 2 dy dx = 10 2xy − y 3 1+ x 1− x dx = 10 4x 2 − (1 + x )3 + (1 − x )3 dx = 43 x 3 − 14 (1 + x ) 4 − 14 (1 − x ) 4 1 0 = 43 − 4+ 1 4 + 1 4 = − 13 6 5. 10 x 0 sen x 2 dy dx = 10 x sen x 2 dx = 12 − cos x 2 1 0 = 1 2 (1 − cos 1) 6. 1 0 0 x − 1 2y x + 1 dy dx = 1 0 y2 x + 1 0 x − 1 dx = − 1 0 (1 − x )2 x + 1 dx = − 1 0 x − 3+ 4 x + 1 dx = − 12 x 2 − 3x + 4 ln (x + 1) 10 = 5 2 − 4 ln 2 7. 10 x x2 xy dy dx = 1 0 1 2 xy 2 x x 2 dx = 12 1 0 x 2 − x 5 dx = 12 1 3 x 3 − 16 x 6 1 0 = 1 12 8. 31 2x 1+ x (x − 2y) dy dx = 3 1 xy − y 2 2x 1+ x dx = 31 (1 + x ) 2 − 3x 2 − x dx = 13 (1 + x ) 3 − x 3 − 12 x 2 3 1 = − 34 3 9. 10 2− x x x 2 − 2xy dy dx = 10 x 2y − xy 2 2− xx dx = 10 −2x 3 + 7x 2 − 4x − x 5 / 2 dx = − 12 x 4 + 73 x 3 − 2x 2 − 27 x 7 / 2 1 0 = − 1942 10. pi/ 20 cos y 0 x sen y dx dy = pi/2 0 1 2 cos 2 y sen y dy = − 16 cos 3 y pi/20 = 1 6 11. e 1 y 4 y 2 (1/x ) dx dy = e 1 ln y 4 − ln y2 dy = e1 2 ln y dy = 2 [y ln y − y] e 1 = 2 12. pi/4 pi/6 cos x sen x (3x + y) dy dx = pi/4 pi/6 3xy + 1 2 y 2 y =cos x y =sen x dx = pi/4pi/6 3x (cos x − senx )+ 1 2 cos 2 x − 12 sen 2 x dx = 3 x (sen x + cos x )|pi/4pi/6 − 3 pi/4 pi/6 (sen x + cos x ) dx + 14 sen x pi/4 pi/6 = 3 pi4 2 − pi 2 · 1+ 3 2 + 3 0+ 1− 3 2 + 1 4 1 − 3 2 = 3 2− 1− 34 pi + 14− 13 3 8 13. 10 1+ y − y y − xy 2 dx dy = 10 xy − 1 2 x 2y2 x =1 + yx =− y dy = 10 −y 3 + 32 y 2 + y dy = − 14 y 4 + 12 y 3 + 12 y 2 1 0 = 3 4 14. 1 − 1 2− x 2 x 2 x 2 + y dy dx = 2 10 2− x 2 x 2 x 2 + y dy dx = 2 10 x 2y + 12 y 2 y=2 − x 2 y= x 2 dx = 2 1 0 −2x 4 + 2 dx = 4 − 15 x 5 + x 10 = 16 5 15. 4 1 x x 2 − 4x +4 3xy dy dx = 4 1 3 2 xy 2 y = x y = x 2 − 4x + 4 dx = 32 4 1 x 3 − x (x − 2)4 dx = 32 4 1 x 3 − (x − 2)5 − 2 (x − 2)4 dx = 32 1 4 x 4 − 16 (x − 2) 6 − 2 (x − 2)5 41 = 32 64 − 409 20 = 2613 40 16. 10 x 0 e x + y dy dx = 10 e 2x − ex dy = 12 e 2x − ex 10 = 12 e 2 − 2e + 1 17. 1 0 1− x 2 0 xy dy dx = 1 0 1 2 xy 2 1− x 2 0 dx = 1 0 x − x 3 2 dx = 1 2 x 2 2 − x 4 4 1 0 = 1 8 15.3 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp 4 SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 18. 1 − 1 3− 2y 2 y 2 y 2 − x dx dy = 1− 1 xy 2 − 12 x 2 x =3 − 2y 2 x = y 2 dy = 1− 1 3 − 2y 2 y2 − 12 3 − 2y 2 2 − y2y2 + 12 y 2 2 dy = 1− 1 − 9 2 y 4 + 9y2 − 92 dy = − 910 y 5 + 3y3 − 92 y 1 − 1 = − 24 5 19. 4 0 6− y y/ 2 ye x dx dy = 40 [ye x ]x =6 − yx = y/ 2 dy = 40 ye 6− y − yey/2 dy = y −e6− y − 2ey/2 4 0 + −e6− y + 4ey/ 2 4 0 (por partes, separadamente, para cada termo) = −12e2 + 3e2 + e6 − 4 = e6 − 9e2 − 4 20. V = 10 x x 2 x 2 + y2 dy dx = 10 x 2y + 13 y 3 y= x y= x 2 dx = 10 x 5 / 2 − x 4 + 13 x 3 / 2 − 13 x 6 dx = 27 x 7 / 2 − 15 x 5 + 215 x 5 / 2 − 121 x 7 1 0 = 18105 = 6 35 21. V = 20 y y 2− y 3x 2 + y2 dx dy = 20 x 3 + y2x x = yx = y 2− y dy = 20 2y 3 − y6 − 3y5 + 4y4 − 2y3 dy = − 17 y 7 + 12 y 6 − 45 y 5 + y4 20 = 144 35 22. V = 10 1− x 0 x 2 + y2 + 4 dy dx = 10 x 2y + 13 y 3 + 4y y=1 − xy=0 dx = 10 x 2 − x 3 + 13 (1 − x ) 3 + 4(1 − x ) dx = 13 x 3 − 14 x 4 − 112 (1 − x ) 4 − 2 1 − x 2 10 = 13 6 23. V = 20 1− x/2 0 9 − x 2 dy dx = 2 0 y 9 − x 2 y =1− x/2 y =0 dx = 20 9 − x 2 − 1 2 x 9 − x 2 dx = 20 9 − x 2 dx + 1 4 2 0 −2x 9 − x 2 dx = 12 x 9 − x 2 + 9 2 sen − 1 (x/3) + 16 9 − x 2 3 / 2 2 0 = 5+ 92 sen − 1 2 3 + 5 6 5 − 1 6 (27) = 16 11 5− 27 + 9 2 sen − 1 2 3 24. V = 3 / 40 (3 − y ) / 3 y 1 3 (6 − 6x − 2y) dx dy = 3 / 40 2 3 (3 − y) x − x 2 x =( 3− y ) / 3 x = y dy = 3 / 40 1 9 (3 − y) 2 − 2y + 53 y 2 dy = − 127 (3 − y) 3 − y2 + 59 y 3 3 / 4 0 = − 2764 − 9 16 + 15 64 + 1 = 1 4 25. V = 21 5− y 2y− 1 (1 + xy ) dx dy = 2 1 x + 1 2 x 2y x =5 − yx =2 y− 1 dy = 21 6 − 3y − 3 2 y 3 − 3y2 + 12y dy = 6 y + 92 y 2 − 38 y 4 − y3 21 = 55 8 SEÇÃO 15.3 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS 5 26. V = 30 y/ 3 0 9 − y2 dx dy = 3 0 1 3 y 9 − y2 dy = − 19 9 − y 2 3 / 2 3 0 = 3 27. Como a região de integração é D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1} = {(x, y) | y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} temos 1 0 x 0 f (x, y) dy dx = D f (x, y) dA = 10 1 y f (x, y) dx dy 28. Como a região de integração é D = (x, y) | 0 ≤ y ≤ sen sen pi pi pi x, 0 ≤ x ≤ pi2 = (x, y) | sen− 1 y ≤ x ≤ pi2 , 0 ≤ y ≤ 1 temos pi/ 2 0 sen x 0 f (x, y) dy dx = D f (x, y) dA = 10 pi/ 2 sen− 1 y f (x, y) dx dy 29. Para reverter a ordem, precisamos quebrar a região em duas regiões separadas de tipo I. Como a região de integração é D = (x, y) | y2 ≤ x ≤ 2 − y, 0 ≤ y ≤ 1 = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1} ∪ {0 ≤ y ≤ 2 − x, 1 ≤ x ≤ 2} temos 1 0 2− y y 2 f (x, y) dx dy = D f (x, y) dA = 10 x 0 f (x, y) dy dx + 2 1 2− x 0 f (x, y) dy dx 30. Como a região de integração é D = {(x, y) | y/ 2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4} = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 2x, 0 ≤ x ≤ 2} temos 4 0 2 y/2 f (x, y) dx dy = D f (x, y) dA = 20 2x 0 f (x, y) dy dx