APOST ANALISE COMBINATORIA PROB.2018

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 E 
PROBABILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 Prof :Jorge lima 
 
 
2018 
 2 
SUMÁRIO 
1.0 INTRODUÇÃO ...............................................................................................................3 
 
UNIDADE I 
1.1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM ...................................................... 4 
1.2 FATORIAL .....................................................................................................................7 
1.3 ARRANJO .......................................................................................................................8 
1.4 PERMUTAÇÃO SIMPLES ............................................................................................8 
1.5 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS ....................................................9 
1.6 PERMUTAÇÃO CIRCULAR .......................................................................................10 
1.7 COMBINAÇÃO ............................................................................................................11 
UNIDADE II 
2.1 BINÔMIO DE NEWTON ............................................................................................15 
2.2 TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON ..................................................16 
2.3 TRIÂNGULO DE PASCAL ..........................................................................................18 
2.4 POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS ...........................................................................19 
UNIDADE III 
3.0 PROBABILIDADE ......................................................................................................20 
3.1 PROBABILIDADE DE UM EVENTO .........................................................................20 
3.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL ...........................................................................23 
3.3 PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES ....................................23 
3.4 LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE ....................................................................24 
 
LISTAS DE EXERCÍCIOS 
LISTA 1 .................................................................................................................................5 
LISTA 2 .................................................................................................................................6 
LISTA 3 .................................................................................................................................8 
LISTA 4 ...............................................................................................................................13 
LISTA 5 ...............................................................................................................................17 
LISTA 6 ...............................................................................................................................19 
LISTA 7 ...............................................................................................................................25 
 
SOLUÇÃO DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS 
LISTA 1 ...............................................................................................................................29 
LISTA 2 ...............................................................................................................................31 
LISTA 3 ...............................................................................................................................33 
LISTA 4 ...............................................................................................................................38 
LISTA 5 ...............................................................................................................................43 
LISTA 6 ...............................................................................................................................45 
LISTA 7 ...............................................................................................................................47 
 
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
1.0 INTRODUÇÃO. 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir de apoio aos estudos da disciplina Análise 
Combinatória e Probabilidade. 
Os tópicos foram selecionados em função da ementa da disciplina do curso de licenciatura de 
matemática da UNESA. Trata-se de apenas um breve resumo onde apenas uma breve 
introdução teórica é apresentada seguida de solução de alguns exercícios clássicos do assunto. 
Assim este trabalho servirá como um complemento às anotações de sala de aula e guia para 
orientação ao estudo que vamos desenvolver. 
Inclui ao final, listas de exercícios e outras alternativas com a solução de alguns exercícios 
selecionados. 
 
 
OBJETIVOS: 
 
O profissional com formação específica em Matemática, que irá trabalhar na área de 
educação, não apenas nos níveis fundamental e médio, mas também no nível superior, 
necessita de embasamento teórico sólido, especialmente nos conteúdos que irá desenvolver 
com seus educandos. 
 Considerando que em diversas situações do cotidiano percebe-se a necessidade de 
solucionar-se problemas de contagem e de conteúdo probabilístico, a disciplina Análise 
Combinatória e Probabilidade tem a sua inclusão no curso de Licenciatura em Matemática 
justificada por fornecer aos estudantes essa base necessária. 
 
 
OBJETIVOS GERAIS 
 
Proporcionar aos estudantes do curso de Licenciatura em Matemática uma revisão de 
conteúdos de Análise Combinatória simples e com repetição, Binômio de Newton e 
Probabilidade. 
Desenvolver os conteúdos com a profundidade exigida em um curso de nível superior, 
proporcionando aos alunos uma visão crítica dos mesmos. 
Propiciar aos alunos um contato dinâmico com esses conteúdos, através de metodologias e 
técnicas variadas de exposição. 
 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
 Compreender a necessidade do conhecimento dos conteúdos estudados na disciplina 
 Aplicar os conteúdos estudados na disciplina em situações práticas de contagem e jogos 
de azar 
 Resolver problemas que envolvam processos de contagem e raciocino combinatório 
 
 Conhecer técnicas variadas para a resolução de problemas de contagem e probabilidades 
 Diferenciar os diversos tipos de agrupamentos, resolvendo problemas específicos de cada 
tipo 
 Desenvolver a potência de um binômio e ampliar para potenciação de polinômios 
 Conhecer e dominar diferentes métodos para solução dos problemas propostos 
 
 
 
 
 
 4 
A ANÁLISE COMBINATÓRIA. 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de 
azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda 
os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático 
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os 
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma 
indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob 
certas condições. 
 
1.1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM. 
1.2 Também conhecido como o Princípio 
da multiplicação 
Demonstração: Fixemos o 1º elemento do 
par e façamos variar o 2º. 
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
( , ), (, ),..., ( , ) 
( , ), ( , ),..., ( , ) 
.........................................................
( , ), ( , ),..., ( , ) 
n
n
m m m n
a b a b a b n pares
a b a b a b n paresm
linhas
a b a b a b n pares





 
 Vemos então que o número de pares será: 
 
 
... .
m vezes
n n n n m n    
 
 
Assim se uma decisão 
1d
 pode ser tomada de x maneiras diferentes e se uma vez tomada 
a decisão 
1d
, a decisão 
2d
 puder ser tomada de y maneiras então o número de maneiras 
de se tomar as decisões 
1d
 e 
2d
 é x.y. 
 
Exemplos: 
1)Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e 
uma saia. 
Solução: 
Uma maneira de se vestir pode ser indicada pelo par (a,b) em que a representa blusa e b saia 
vestida. Assim, temos (por I ) um total de 5.6 = 30 formas possíveis de usar blusas e saias. 
 
Demonstração. 
2)Quantos números com dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2,3, 
4, 5, 6, 7, e 8? 
Solução : 
Cada número pode ser considerado um par de dígitos (a,b) em que: 
{1,2,3,...8}, (1,2,3,...,8} e a b a b  
 
Então (usando II) o resultado procurado será 8.7=56 
II): Dado o conjunto 
1 2 1 2{ , ,..., } e { , ,..., } e para i m j m i ja A a a a a A a a a a a i j     
, 
podemos formar m.(m-1) pares 
( , )i ja b
. 
I): Dado o conjunto 
1 2 1 2{ , ,..., } e { , ,..., }m nA a a a B b b b 
, podemos formar m.n pares 
( , )i ja b
 em que 
 e i ja A b B 
. 
 5 
3)Quantas senhas diferentes é possível obter com 6 algarismos? 
 E se nenhum algarismo fosse repetido, quantas senhas seriam possíveis? 
Solução: 
 Para senhas de 6 algarismos, podendo haver repetição: 
 10 . 10 . 10 . 10. 10 .10 = 1000000 senhas 
 Para senhas sem repetição: 
 10 . 9. 8 . 7. 6 .5 = 151200 senhas 
 
4) Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser emitidas; com o sistema atual 
de emplacamento? 
Solução: 
O atual sistema de emplacamento de automóveis no Brasil utiliza três letras e quatro 
algarismos. No novo alfabeto são consideradas 26 letras e temos dez dígitos entre os números. 
Logo o número de possibilidades será : 
P= 26x26x26x10x10x10x10=175760000 
 
5) Quantos números ímpares de 3 algarismos distintos, são possíveis utilizando os 
algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.? 
Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça 
alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja 
alguns exemplos de números ímpares de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451,etc. Note 
que o número 533 não nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534 também 
não serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por onde começar a resolver o problema. 
Procure sempre atacar o problema, por onde houver um maior número de restrições. Veja: 
centena dezenas unidades 
Em nosso caso, temos a restrição de que os números devem ser ímpares. 
Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a 
casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, 
porém eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), já que não pode 
haver repetição. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, 
analisando a casa das dezenas, concluímos que restaram 4 possibilidades, pois: não podemos 
repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e nem o que estiver na casa das centenas. 
Portanto: O total de possibilidades é:P=5x4x4, o que dá um total de 80 números. 
 
LISTA 1 
 
1)Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal 
homem-mulher? 
 
2) Para fazer uma viagem RIO-SÃO PAULO-RIO posso usar como transporte o Trem, o 
Ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher o transporte se não desejo usar na volta 
o mesmo meio de transporte usado na ida? 
 
3) Uma bandeira é formada por 4 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores 
amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes terem a mesma cor. De quantos 
modos pode ser colorida a bandeira? 
 
4) Quantos números naturais de três algarismos distintos ( na base 10 ) existem? 
 
5) Quantos números naturais de 4 algarismos na base 10 que sejam menores que 5000 e 
divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
 6 
6) As placas dos automóveis são formadas por 3 letras ( K,Y e W inclusive) seguidas por 4 
algarismos. Quantas placas podem ser formadas? 
7) Quantos são os números naturais pares que se escrevem ( na base 10) com três algarismos? 
 
8) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 
letras? 
 
9) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 
alternativas por questão? 
 
10) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos? 
 
11) De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um 
conselho que tem 12 membros? 
 
12) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila? 
 
13) Quantos divisores naturais possui o número 360?Quantos são pares? 
 
14) Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? 
 
15) Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos? 
 
AULA 2 / 3 LISTA 2 
 
1)Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só 
sobremesa. O cardápio oferece 8 pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de 
sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 
 
2)Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 
posições, independentemente da posição do assento.Combinando assento e encosto quantas 
posições diferentes esse banco pode assumir? 
 
3) Um homem possui 10 ternos 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele 
poderá vestir um terno uma camisa e um sapato? 
 
4)De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas 
para cada pergunta são : sim ou não? 
 
5) Em um computador digital um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma 
sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits? 
 
6) De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um 
grupo de 6 estudantes? 
 
7)Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A 
comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher 
exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser 
dados? 
 
8) Seis dados são lançados simultaneamente.Quantas seqüências de resultados são possíveis, 
se considerarmos cada elemento da seqüência como o número obtido em cada dado? 
 7 
9)As letras em código Morse são formadas por seqüências de traços ( - ) e pontos ( . ) , sendo 
permitidas repetições. Por exemplo: ( -; . ; - ; - ; . ; . ) Quantas letras podem ser representadas : 
a) usando exatamente 3 símbolos? 
b) usando no máximo 8 símbolos? 
 
10) Um homem encontra-se na origem de sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele 
pode dar um passo de cada vez, para o norte(N) ou para o leste (E).Quantas trajetórias ele 
pode percorrer se der exatamente 4 passos? 
 
11) Caminhando sempre para direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras 
se pode ir do ponto A até o segmento BC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12)Quantos divisorespositivos tem o número 
4 53888 2 .3
? 
 
13) A e B são conjuntos tais que n(A) = n e n(B)= r . Quantas funções 
:f A B
existem. 
Quantas são injetoras? 
 
14) Uma moto tem combustível para dar somente 3 voltas num circuito. Pedro, Manoel e 
Antonio disputam, por meio do lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, 
do seguinte modo: I- o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta. II- Se Coroa, a 
vez é de Manoel: III- Se cara a vez é de Pedro. IV- Se a mesma face ocorrer 
consecutivamente a vez é de Antonio. Se a primeira volta for dada por Pedro, quantas voltas 
poderá dar Antonio? 
 
 
AULA 4 
 
TIPOS DE AGRUPAMENTOS. ARRANJO; PERMUTAÇÃO E COMBINAÇÃO 
 
Antes de entrarmos nos estudos de Arranjo Permutação e Combinação, vejamos os conceitos 
de Fatorial. 
 
1.2 FATORIAL 
 
Seja n um número inteiro não negativo tal que 
n
. Definimos como fatorial de n ( indica-
se desta forma n! ) por meio da seguinte relação.: 
 
n! = n ( n -1 ) ( n – 2).....3.2.1. Além disso 1! = 1 ; 0! = 1 
 
Exemplo: 1) 3! = 3.2.1 = 6 
 6! = 6.5.4.3.2.1= 720 
 10! = 10.9.8...2.1=3628800 
Alguns cálculos podem ser reduzidos por : 
 8 
!
( 10)! ( 1). .( 1)( 2)...2.1 ( 1). !
n
n n n n n n n      
 
Exemplo: 2) 7! = 7. 6!=7.720=5040 
 3) Calcule : 
10! 10.9!
) 10
9! 9!
10! 10.9.8!
) 90
8! 8!
12! 12.11.10.9! 12.11.10
) 220
9!3! 9!3! 1.2.3
a
b
c
 
 
  
 
Agora na medida em que resolvermos as questões de combinatória estaremos exercitando 
também questões de fatorial. 
 
1.3 ARRANJO 
 
Todas as questões resolvidas até agora usando o princípio fundamental da contagem serão 
agora classificadas de acordo com a organização dos agrupamentos que desejamos considerar. 
 
Com n objetos distintos tomados p a p formamos grupos de p objetos distintos, escolhidos 
dentre esses n, levando em conta a ordem (apenas) em que os elementos aparecem no grupo, 
ou seja o grupo AB será diferente de grupo BA. 
Notação : 
!
( )!
p
n
n
A
n p


, onde 
p
nA
 significa a quantidade de agrupamentos arrumados p a p. 
 
Demonstração. 
 
Vejamos através de um exemplo a comprovação da fórmula. 
Sejam as letras {a,b,c,d} . Vamos com esses elementos determinar quantos agrupamentos de 
pares de elementos distintos podemos formar. 
Solução. 
Pelo PFC sabemos que a resposta será 4.3=12 que é confirmado pela fórmula. 
 
 
! 4! 4.3.2.1
12
( )! (4 2)! 2.1
p
n
n
A
n p
   
 
 
Agora no exemplo acima se quiséssemos formar não grupos de 2 mas de 4 elementos 
( observe que neste caso todos os elementos farão parte de cada grupo). Neste caso estaremos 
tratando do que chamamos de : 
 
1.4 PERMUTAÇÃO SIMPLES: 
Assim teríamos 4.3.2.1=4! 
Logo temos como fórmula da Permutação 
!nP n
 
Veja que 
!nP n
 corresponde a: 
! !
!
( )! (0)!
n
n n
n n
A n P
n n
   

 
 
EXERCÍCIOS DA LISTA 3 
 1) Usando o Diagrama de Árvore , obtenha todos os Arranjos dos elementos {a,b,c,d} 
tomados dois a dois. 
 
2) Calcule 
3 4 1 2
6 10 20 12) b) c) d) a A A A A
 
 9 
 
3) Há 5 livros diferentes. De quantos modos é possível dispor 3 deles numa prateleira? 
 
4)Com os algarismos {1,2,3,4,5} quantos números de três dígitos distintos podemos formar de 
modo que: 
a) os números formados sejam pares. 
b) os números formados sejam ímpares. 
 
5) Uma bandeira é formada de 7 listras, que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De 
quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca 
estejam pintadas da mesma cor? 
 
6) Um cofre possui um disco de segredo marcado com os dígitos de 0 a 9. O segredo do cofre 
é formado por 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas ( no máximo ) 
deverá fazer para consegui-lo abrir. (Suponha que a pessoa sabe que segredo é formado por 
dígitos distintos). 
 
7) Qual o número de funções injetoras em A={1,2,3} com valores em B={0,1,2,3,4}? 
 
8) Com os dígitos {1,2,3,4,5,6} quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 
antes do 4? 
 
9) Com os números {1,2,3,4,5,6} são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre 
eles quantos são divisíveis por 5? 
 
10)Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtém permutando os 
algarismos 2,3,4,8 e 9 que lugar ocupará o número 43892? 
 
11) Quantos anagramas pode-se obter com a palavra FILTRO? Quantos começam por 
consoante? 
 
12) Calcule o número de anagramas da palavra república., nas quais as vogais permanecem 
nas respectivas posições? 
 
13) Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras NGM 
nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas? 
 
1.5 PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
Será o caso quando, por exemplo, tivermos que calcular o número de anagramas da palavra 
ARARA. Observe que a letra r repete 2 vezes e a letra a repete-se 3 vezes. 
 
Usaremos 
, ! 5! 5.4.3.2.1 10
!. ! 2!3! 2.1.3.2.1
n
n
P      
 anagramas. 
13) Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras NGM 
nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas? 
 10 
a) Se NGM se mantém juntos vamos considerar este bloco como apenas uma letra e restam 5 
letras AARAA. Assim teremos 
4
6
6!
5.6 30
4!
P   
. Além disso cada anagrama pode ter NGM 
permutando 
3
3! 6P  
. Logo o total de anagramas será 6. 30 = 180 
 
 
 
14)João mora na sua casa A, a algumas quadras de sua Escola B. De quantas maneiras 
distintas ele pode ir de sua casa até sua Escola, andando sempre para o Norte ou para Leste? 
 
15)Considere um teste de múltipla escolha, com 5 alternativa distintas, sendo uma única 
correta. De quantos modos distintos podemos ordenar as alternativas, de modo que a única 
correta não seja nem a primeira nem a última alternativa? 
 
16) De quantas formas 8 sinais + e 4 sinais – podem se colocados em uma seqüência? 
 
17) Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra 
ESTATISCA, quanto tempo gastará para escrever todos, se não deve parar nenhum instante 
para descansar? 
 
18) Com os dígitos 1,2,3,4,5,6, e 7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os 
números ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 
 
19) De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras dispostas se duas 
delas (Geraldo e Francisco ) se recusam a sentarem-se um ao lado do outro? 
 
20) Mostre que : 
 
)5! 7! 12! b)2.(5!) (2.5)!a   
 
 
1.6 PERMUTAÇÃO CIRCULAR 
Será o caso das questões: 
21) De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular? 
 
Quando os elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição possível 
chamamos de permutação circular. Além disso, duas permutações circulares são consideradas 
idênticas se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti horário a 
partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elemento que formam 
seqüências iguais. Por exemplo: 
 11 
1) 2) 
Tomando A a seqüência encontrada Tomando A a seqüência encontrada 
é (A,C,D,B) é (A,C,D,B) 
Logo as duas permutações circulares são iguais. 
Observe que a cada permutação circular corresponde neste caso, a 4 permutaçõesde A, B, C, 
e D. Por exemplo (A,C,D,B)=(C,D,B,A)=(D,B,A,C)=(B,A,C,D) 
A cada conjunto de 4 permutações que definem uma determinada permutação circular 
chamamos de classe. 
Assim o número de permutações circulares de n elementos será 
 Aplicação: Ver exercício 22 página 48. 
1.7 COMBINAÇÃO AULA 5 
Seja 
1 2{ , ,..., }nM a a a
. Se quizermos agrupar esses n elementos em subconjuntos de p 
elementos estaremos trabalhando o que chamamos de Combinação. 
 
Assim se M={a,b,c,d} então a Combinação deles 2 a 2 ( em grupos de 2) será 
 {a,b};{a,c};{a,d},{b,c};{b,d};{c,d} 
Observe que {a,b}={b,a} pois pela definição , combinação é um conjunto, portanto não 
depende da ordem dos elementos. 
 
Para calcularmos o número de grupamentos ou o número de combinações usaremos a seguinte 
notação: 
 
,
! ( 1)( 2)...( 1)
 
!( )! !
p
n n p
n n n n n n p
C ou C ou
p p n p p
     
  
 
 
Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 4 elementos {a,b,c,d} 
 
 abc 
 abd 
 acb 
 acd 
 adb 
 adc 
 bac 
 bad 
 bca 
 bcd 
 bda 
 bdc 
 cab 
 cad 
 cba 
 cda 
 cdb 
 dab 
 dac 
!
( 1)!cn
n
P n
n
  
 
 12 
 Se eliminarmos os grupos repetidos chegaremos dba 
 dbc 
 (abc);(abd);(acd) e (bcd) dca 
 Para calcularmos o número de comissões, basta calcularmos dcb 
 o número de Arranjos e dividir o resultado por 6 ( 24 /6 = 4) 
 que é o fatorial do número de elementos que compõem cada comissão(3). 
Verificamos pelo exemplo acima que : 
 
 
RECONHECIMENTO DO TIPO DE AGRUPAMENTO ENVOLVIDO EM UM 
PROBLEMA 
 
Para reconhecer se um problema envolve Arranjo ou Combinação procedemos da 
seguinte forma: 
1) Pegamos um agrupamento qualquer que satisfaça o problema. 
2) Invertemos a ordem de dois elementos desse agrupamento. 
3) Se com a inversão desses elementos encontramos um novo agrupamento, o 
problema envolvido será de ARRANJO, e, se o agrupamento envolvido for o 
mesmo, o problema envolvido é de COMBINAÇÃO. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 
frutas diferentes? 
Solução: 
Tomemos por o exemplo a salada constituída de { mamão banana,laranja e maçã} veja que se 
trocamos dois elementos quaisquer a salada permanece a mesma. Assim temos um problema 
de combinação. Além disso se considerarmos nossos conhecimentos sobre conjuntos vemos 
que temos também um mesmo subconjunto. 
Então 
4
10
10! 10! 10.9.8.7
210
4!(10 4)! 4!6! 4.3.2.1
C    

 saladas. 
 
2) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta 
1R
e 8 pontos sobre uma reta 
2R
 paralela a 
1R
. 
Quantos triângulos existem com vértices em 3 desses 13 pontos? 
 1ª Solução: 
Para formar um triângulo ou tomamos um vértice em 
1R
 e dois em 
2R
 ou tomamos um 
vértice em 
2R
 dois em 
1R
. O número de triângulos do primeiro tipo será 
2
85C
 e os do 
segundo tipo é 
2
58.C
. Assim teremos: 
2 2
8 5
8.7 5.4
5 8 5. 8. 140 80 220
2! 2!
C C     
 
2ª Solução 
Para formar um triângulo devemos escolher 3 pontos, não situados na mesma reta, entre os 13 
pontos dados. O nº de modo de escolher 3 dos 13 pontos será 
3
13C
. Desse total devemos tirar 
as 
3
5C
escolhas de 3 pontos de um reta e as 
3
8C
escolhas possíveis de 3 pontos da outra reta. 
Assim teremos : 
3 3 3
13 5 8 286 10 56 220C C C     
 
 
!
!( )!
! ! !( )!
p
p n
n
n
A nn p
C
p p p n p

  

 
 13 
3) De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, 
em um grupo de 7 homens e 4 mulheres? 
1ª Solução 
As alternativas são : 4 homens e 2 mulheres 
4 2
7 4C xC
 
 3 homens e 3 mulheres 
3 3
7 4C xC
 
 2 homens 4 mulheres 
2 4
7 4C xC
 
Então a solução será 
4 2
7 4C xC
+ 
3 3
7 4C xC
 +
2 4
7 4C xC
=35.6 + 35.4 + 21.1=371 
2ª Solução 
Poderíamos contar todas as escolhas de 6 pessoas 
6
11C
e abater as escolhas sem mulheres
6
7C
 e 
com apenas uma mulher 
5
74C
6 6 5
11 7 74 462 7 84 371C C C      
 
 
4) De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada um? 
Solução 
O primeiro grupo pode ser escolhido de 
4
8C
modos. Escolhido o 1º grupo , sobram 4 pessoas e 
só há um modo de formar o 2º grupo. A resposta parece ser 
4
8C
x1. Entretanto contamos cada 
divisão duas vezes. Por exemplo {a,b,c,d} {e,f,g,h} é idêntica a {e,f,g,h} {a,b,c,d} e foi 
contada como se fossem diferentes. Assim a resposta será: 4
8 1 35
2
C x

 
 
5)Qual o número de resultados possíveis da Megasena? 
Solução: 
O resultado final de um sorteio independe da ordem dos números, ou seja, sortear na 
seqüência os números, 10,45,56,34,1 e 26 é o mesmo que sortear 1,34,26,45,10 e 56. Logo: 
6
60
60!
50063860
6!(60 6)!
C  

 
 
LISTA 4 
1) Calcule : 
3
5
6 6 8
) b) c) d)
2 4 0
a C
     
     
     
 
 
2)Obtenha todas as combinações dos elementos de M={7,8,9,0}. 
 
3)O conjunto A tem 45 subconjunto de 2 elementos. Qual é o número de elementos de A? 
 
4) Se 
28
2
n 
 
 
, determine n. 
5)Determine x na equação 
3 26 0x xA C 
 
 
6) Resolva o sistema 78
156
p
n
p
n
C
A
 


 
 
7) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas 
ele pode escolher as 10 questões? 
 
8) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 
apertos de mão. Quantas pessoas havia na festa? 
 14 
9) Um grupo tem 10 pessoas. Quantos grupos de 4 pessoas podem ser formados, com as 
disponíveis? 
 
10) Um grupo tem 10 pessoas. Quantos grupos de no mínimo 4 pessoas podem ser formados, 
com as disponíveis? 
 
11) Um salão tem 10 portas. De quantas maneiras diferentes este salão poderá ser aberto? 
 
12) O Sr. José, dirigindo-se ao trabalho, vai encontrando seus amigos e levando-os no seu 
carro. Ao todo, 5 amigos, dos quais apenas 3 são conhecidos entre si. Feitas as apresentações, 
os que não se conheciam, apertam-se as mãos dois a dois. Qual é o total de apertos de mão? 
 
13) Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De 
quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos 10 são marido e mulher e só irão 
juntos? 
 
14) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas : 
a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas? 
b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher, na 
mesma? 
 
15)Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos extrair 2 
bolas, sem levar em conta a ordem de reposição e sem levar em conta a ordem na extração,de 
modo que : 
a) as duas sejam vermelhas? 
b) as duas sejam brancas? 
c) uma seja vermelha e a outra branca? 
 
16) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. De quantos modos distintos essas pessoas poderão 
ocupar as cadeiras? 
 
17) Quantos triângulos são determinados por n pontos distintos não alinhados? 
 
18) Há 12 pontos em um plano. Sendo 3 desses pontos nunca pertencem a um mesma reta. 
Qual é o número de triângulos que podemos formar, utilizando os 12 pontos e tendo o 
primeiro ponto como um dos vértices? 
 
19) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. 
a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas? 
b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados? 
c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados? 
 
20) Com os dígitos 1,2,3,4,5,6, e 7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os 
números ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 
 
21) São dadas duas retas paralelas. Marcam-se 10 pontos distintos sobre uma e 8 pontos 
distintos sobre a outra. Quantos triângulos podemos formar ligando 3 quaisquer desses 18 
pontos? 
 
22) Numa reta há 6 pontos e em outra reta paralela a esta, 5 pontos. Quantos triângulos 
podem ser formados com esses pontos? E quantos quadriláteros? 
 15 
23) Quantas diagonais possui um polígono convexo com 8 lados? 
 
 
Uma das grandes aplicações da análise combinatória na criptologia, e talvez a primeira que 
nos ocorre, é o número de alfabetos cifrantes possíveis. Se considerarmos o alfabeto ocidental 
da atualidade, com 26 letras, quantos alfabetos cifrantes podem ser obtidos? 
Sabemos que um alfabeto cifrante não pode ter letras repetidas e precisa conter todas letras do 
alfabeto original. Se apenas as posições das letras são alteradas, sabemos que se trata de uma 
permutação simples. Então vamos ao cálculo das possibilidades: 
P26 = 26! 
P26 = 26 · 25 · 24 · ... · 3 · 2 · 1 
P26 = 403.291.461.126.605.635.584.000.000 
Ou seja, o número de alfabetos cifrantes possíveis é maior que espantosos 400 septilhões! Se 
alguém quiser encontrar um determinado alfabeto cifrante através da "força bruta", ou seja, 
tentando cada uma das possibilidades, e gastar apenas 1 minuto para cada possibilidade, 
precisaria de pelo menos... a eternidade para encontrar o alfabeto cifrante correto. 
403.291.461.126.605.635.584.000.000 min = 6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas 
6.721.524.352.110.093.926.400.000 horas = 280.063.514.671.253.913.600.000 dias 
280.063.514.671.253.913.600.000 dias = 9.335.450.489.041.797.120.000 meses 
9.335.450.489.041.797.120.000 meses = 777.954.207.420.149.760.000 anos 
Se considerarmos que a solução seja encontrada a "meio do caminho", ainda restam cerca de 
390 quatrilhões (388.977.103.710.074.880) de milênios! É claro que a força bruta, neste caso, 
é uma sandice. 
 
 
BINOMIAL (AULA 6/7) 
 
2.1 BINÔMIO DE NEWTON. 
 
Toda potência da forma 
( ) , , e nx y com x y n   
, é conhecida como binômio de 
Newton e seu desenvolvimento é simples quando a potência é baixa 0, 1, 2 e 3. Quando n 
começa crescer fica trabalhoso determinar todas as suas parcelas. 
As parcelas podem ser obtidas pelo diagrama de árvore, o que também dá bastante trabalho. 
 
Vamos observar como é possível , por meio de um exemplo particular, e em seguida vamos 
generalizar o resultado obtido: 
 
Seja desenvolver 
3( ) ( )( )( )x a x a x a x a    
. Vamos escolher um elemento de cada 
parênteses . 
Os tipos de produtos que podemos obter são : 
3 2 2 3; . ; . ;x x a x a a
. 
1)Assim temos para 
3x
: só existe uma maneira de se obter 
3x
;é escolhendo somente o termo 
x de cada fator. Logo o coeficiente de 
3x
no desenvolvimento do binômio será 
3
1
3
 
  
 
 
2)Para 
2.x a
: a quantidade de produtos do tipo 
2.x a
 é o mesmo que o número de seqüências 
de três letras em que duas são iguais a x e uma é “a “. Isto é 
2,1
3
33!
12!1!
P
 
   
 
 
3)Para 
2.x a
: a quantidade de produtos do tipo 
2.x a
 é o mesmo que o número de seqüências 
de três letras em que duas são iguais a “a “ e uma é “ x “. Isto é 
1,2
3
33!
21!2!
P
 
   
 
 
 16 
4)Para 
3a
: só existe uma maneira de se obter
3a
;é escolhendo somente o termo a de cada 
fator. Logo o coeficiente de 
3a
no desenvolvimento do binômio será 
3
1
3
 
  
 
 
 
Em resumo: 
3 3 2 2 3
3 3 3 3
( ) .
0 1 2 3
x a x x a xa a
       
           
       
 
 
Exemplo: 
 
1) Desenvolver: 
2 4 2 4 2 3 1 2 2 2 2 3 4
2 4 4 6 1 4 2 2 3 4
4 4 4 4 4
)(3 ) (3 ) (3 ) . (3 ) . (3 ) .
0 1 2 3 4
(3 ) 81 108 54 12
a x a x x a x a x a a
x a x x a x a x a a
         
              
         
     
 
 
4 4 4 3 1 2 2 3 4
4 4 3 1 2 2 3 4
4 4 4 4 4
)( 2 ) [ ( 2 )] ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
0 1 2 3 4
( 2 ) 8 24 32 16
b x y x y x x y x y x y y
x y x x y x y x y y
         
                     
         
     
 
 
2.2 TERMO GERAL DE UM BINÔMIO DE NEWTON 
 
Vimos que 
1 1( ) ... ...
0 1
n n n n p p n
n n n n
x a x x a x a a
p n
                     
       
 
O termo 
n p p
n
x a
p
 
 
 
 é chamado de TERMO GERAL. 
Se fizermos p variar de 0 a n obtemos todos os termos do desenvolvimento. 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE. 
A soma dos expoentes de x com os expoentes de “a “ é sempre n. 
O expoente de x é sempre a diferença entre o numerador e o denominador do coeficiente 
binomial. 
 
Exemplos: 
1) Qual o coeficiente de 
8x
 no desenvolvimento de 
2 6( 1)x 
? 
O termo geral será 
2 6 12 2
6 6
( ) .1p p px x
p p
       
   
. Então para 
8 12 2 8 2x p p    
 
Assim 
12 2 12 2.2 8
6 6
15
2
px x x
p
        
   
. O coeficiente será 15. 
 
2) Qual o termo independente do desenvolvimento de 81
x
x
 
 
 
? 
O termo geral será 
8 8 8 2
8 8 81
.( ) .( 1) . ( 1)p p p p p p px x x x
p p px
                 
     
 
Para que este termo independa de , devemos ter 8 – 2 p = 0, isto é p = 4 . 
 17 
Assim o termo procurado será : 
4 8 2.4
8 8
( 1) 70
4 4
x 
   
     
   
 
3) Desenvolvendo 
 
10
x y
em potências de expoentes decrescente de x , qual será o 6º 
termo ? 
 
O 1º termo conterá
10x
; o 2º termo conterá 
9x
 ; .... o 6º termo conterá 
5x
.Assim o termo 
procurado será: 
5 5 5 5
10
. 252
5
x y x y
 
 
 
 
Aplicações: 
1) Calcule aproximadamente 
 
20
1,002 ?
 
Vamos mostrar que 
 1 1 .
n
x nx para nx pequeno  
 
Veja que 
2
2 3
(1 ) 1 ...
1 2
( 1) ( 1)( 2)
1 ...
2 3!
n n
n
n n n
x x x x
n
n n n n n
nx x x x
     
          
     
  
     
 
Se nx é pequeno quanto mais será 
2 2 3 3; ;n x n x etc
. Assim podemos por uma aceitável 
aproximação assumir que 
 1 1 .
n
x nx para nx pequeno  
 
Então 
   
20 20
1,002 1 0,002 ~ 1 20(0,002) 1,04    
 
 
2)Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento 
 
4 4 3 1 2 2 4(2 3 ) (2 ) 4.(2 ) .3 6.(2 ) .(3 ) 4.2 .3 (3 )x y x x y x y x y y     
. Essa igualdade vale para 
todo x real. Se fizermos x = 1 e y = 1 veja que no 2º membro da igualdade só teremos apenasos coeficiente de cada termo. Então 
4 4 4(2 3 ) (2.1 3.1) (5) 625x y    
 
 
LISTA 5 DE EXERCÍCIOS 
 
1) Desenvolva os binômios: 
 
 
3
) 3a x b
 
 
5
2) 1b x
 
 
2) Quantos termos têm o desenvolvimento? 
 
 
7
)a x y
 
 
47
)b x y
 
 
3)No desenvolvimento de 
 
1000
x y
qual o centésimo termo se o desenvolvimento for feito 
em potências decrescente de x? 
 
4) Determinar o valor da expressão: 
5 4 3 299 5.99 10.99 10.99 5.99 1    
 
 
 18 
5) Calcule o valor de 
2 19 20
20 20 20 20 20
2 2 ... 2 2
0 1 2 19 20
S
         
              
         
 
6)Qual é o valor de 
0
(2) (3)
n
x n x
x
n
x


 
 
 

? 
7)Desenvolvendo 
 
9
3x y
, qual o termo que contém 
4x
? 
8) No desenvolvimento de 
 
5
21 2x
, qual o coeficiente de 
8x
? 
9) Determine o coeficiente numérico do termo de 4º graúdo desenvolvimento do binômio de 
Newton 
 
7
2x 
. 
10) Qual o coeficiente numérico do termo de 1º em x, no desenvolvimento de 62
x
x
 
 
 
? 
11) No desenvolvimento de 
 
100
x a
, qual o coeficiente do termo que contém 
60x
? 
12) Um dos termos do desenvolvimento de 
 
5
3x a
 é 
3360x
. Sabendo que a não depende de 
x, determine o valor de a? 
 
13) Determine o valor de a , de modo que um dos termos do desenvolvimento de 
 
5
x a
 seja 
2270x
. 
 
14) Quantos termos racionais tem o desenvolvimento de 
 
100
32 3
 
 
15) Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de 
   
10 8
) 3 2 b) 5a x y x y 
? 
 
16) Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de 
   
5 4
) b) 3a x y x y 
? 
 
17) Sendo 1024 a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de 
 3 1
m
x 
, calcule 
m? 
 
 
2.3 TRIÂNGULO DE PASCAL E POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS (AULA 9) 
Os coeficientes dos desenvolvimentos abaixo podem ser 
colocados na seguinte forma triangular 
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3
( ) 1
( ) 1 1
( ) 1 2 1
( ) 1 3 3 1
( ) 1 4 6 4 1
x y
x y x y
x y x x y y
x y x x y x y y
x y x x y x y xy y
 
  
   
    
     
 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1














 
0
0
1 1
0 0
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
 
 
 
   
   
   

     
     
     
       
       
       

         
                  
 19 
 
Esta maneira de dispor tais coeficientes é conhecida como Triângulo de Pascal. 
 
1ª Propriedade: Numa mesma linha dois coeficientes binomiais 
eqüidistantes do extremo têm o mesmo valor.
3 3 4 4
; 
1 2 1 3
       
        
       
 
2ª Propriedade: A soma dos coeficientes de uma mesma linha k ( 
mesmo numerador) é dada por
2k
. 
0 1 21; 2; 4; 2
n
nS S S S   
 
 
3ª Propriedade: Relação de Stifel : A soma dos coeficientes 
consecutivos de uma mesma linha produz o coeficiente imediatamente 
abaixo do 2º coeficiente. 
1 1
1 
n n n
p p p
      
      
     
 EX: 
4 3 3
3 2 3
     
      
     
 
4ª Propriedade:
 n n
p n p
   
   
   
 
 
2.4 POTENCIAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
Como determinar os coeficientes de 
( ) ,( ) , n nx y z x y z t com n     
? 
Exemplo: 
5
5
( ) ( )( )( )( )( )
fatores
x y z x y z x y z x y z x y z x y z            
. Pela propriedade 
distributiva da multiplicação devemos tomar um termo de cada fator (x,y,z) e em seguida 
multiplicá-los. Os tipos de produtos obtidos são da forma 
i j kx y z
em que i+j+k = 5. Para cada 
i,j e k fixados o coeficiente do termo 
i j kx y z
será o número de seqüências de cinco letras ; i 
letras x, j letras y e k letras z. Assim teremos 
, ,
5
5!
! ! !
i j kP
i j z

 e o coeficiente de 
i j kx y z
será
, ,
5
5!
! ! !
i j kP
i j z

. Por exemplo : o coeficiente de 
2 2x y z
 será 
2,2,1
5
5!
30
2!2!1!
P  
 
 
 
LISTA 6 DE EXERCÍCIOS 
 
1)Assinale Verdadeiro ou Falso: 
0 8 4 4 8 8 9 7 7 8 15
) 0 b) =1 c) = d) + = e) = f)
0 8 0 4 5 4 5 4 3 0 0
a
                     
                      
                     
 
 
2) Demonstre a 2ª propriedade dos Números Binomiais. 
 
3)Calcule: 10 10 10
0 1 2
10 10 10
) b) c)
 
a
i i i
     
     
     
  
 
 
5) Sendo 
 10 10
3 3p p
   
   
    
, calcule p. 
6) Qual o coeficiente de xyz no desenvolvimento de 
2 3(1 )x x 
? 
 
7) Qual o coeficiente de 5x no desenvolvimento de 10( )x y z  ? 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
.............................















 20 
UNIDADE III 
3.0 PROBABILIDADE (AULA 10) 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 
 
 
ESPAÇO AMOSTRAL (Ω) 
 
 
 
EXEMPLO: 
Lançamento de um dado Ω={1,2,3,4,5,6} 
Sexo de um recém nascido Ω={m,f}; m: masculino e f: femenino 
 
EVENTO 
 
EXEMPLO: Experimento: Lançamento de um dado honesto: 
Evento A: Números Pares 
Evento B: Números Impares 
Evento C: Número menor que 7. ( Evento certo C=Ω) 
Evento D: Números maior que 8 ( Evento impossível,ou seja D=

 
Eventos mutuamente exclusivos : A e B ;
A B  
 
Eventos Complementares A e B pois 
A B 
 ou seja A’= B 
 
EXEMPLO: 
Em uma Urna são colocadas 10 bolas numeradas de 1 a 10, sendo que as bolas de 1 a 5 são 
vermelhas e as bolas de 6 a 10 são azuis. Realiza-se os eventos : 
A : retiradas as bolas vermelhas A={v1,v2,v3,v4,v5}; 
B : retiradas as bolas azuis B={a6,a7,a8,a9,a10}; 
C : retiradas as bolas pares C={v2,v4,a6,a8,a10}; 
Então 
a) escreva o espaço amostral Ω; 
b) escreva e interprete o evento 
D B C 
; 
c) escreva e interprete o evento F = C’; 
Solução : 
a) O espaço amostral é dado por Ω={v1,v2,v3,v4,v5, a6,a7,a8,a9,a10}; 
b) O evento D é composto pelos elementos de B e C, ou seja as bolas azuis e pares que serão 
 D={a6,a8,a10} 
c) O evento F será dado pelo complemento de C, ou seja as bolas Impares; 
F={v1,v3,v5,a7,a9} 
3.1 PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 
 
É O CONJNTO DE TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
É AQUELE PRODUZ RESULTADOS IMPREVISÍVEIS, MESMO QUANDO 
REPETIDO EM SEMELHANTES CONDIÇÕES. 
É TODO SUBCONJUNTO DO ESPAÇO AMOSTRAL RELACIONADO A UM 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
A probabilidade de um evento F ocorrer será a razão entre o número de elementos de 
A, n(A) pelo número de elementos do Espaço Amostral Ω (n (Ω)) 
( )
( )
( )
n F
P F
n


 
 21 
Exemplos: 
1) No experimento do lançamento do dado o espaço amostral é: 
Ω={1,2,3,4,5,6} e n(Ω)=6 
Seja o evento A: ocorrência de um número impar. 
Vê-se que A={1,3,5} e n(A)=3 
Logo, aprobabildade de ocorrer o evento A será 
( ) 3 1
( ) 0,5 50%
( ) 6 2
n A
P A
n
    

 
2) A probabilidade de ganhar na Megasena com um cartão de 6 números é de 1 em50 063860=
6
60C
. Se for feito um jogo com 7 números em quanto aumenta a chance de se 
ganhar? 
Solução: 
Espaço amostral n(Ω)=50063860 
A: evento resultantes de com 6números num cartão de 7 jogos 
6
7 7C 
 
Assim a probanilidade de será 
( ) 7 1
( )
( ) 50063860 7151980
n A
P A
n
  

, ou seja a chance de 
seganhar aumenta 7 vezes. 
 
 1ª PROPRIEDADE: 
 
Aplicações: 
1) Num dado não honesto1, a probabilidade de se obter os números 5 ou 6 é o dobro de obter 
os outros números. Calcule a probabildade de se obter cada um dos números. 
Solução: 
Seja x a probabilidade de obter em um lançamento os números 1,2,3 ou 4. Logo será 2x a 
probabilidade de se obter 5 ou 6. 
Assim P(Ω)=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6) = 1 ( 1ª Propriedade ) 
 x + x + x + x + 2x + 2x =1 
 8x = 1; x = 1/8 = 12,5 % 
 
2) Numa corrida, com 4 cavalos, para cada real apostado num cavalo paga-se um valor 
invarsamente proporcional à propbabilidade de esse cavalo vencer a corrida. Calcule a 
probabilidade de o cavalo A vencer a corrida, sabendo que : 
a) paga-se R$ 2,00 para cada real apostado em A. 
b) paga-se R$ 5,00 para cada real apostado em B. 
c) paga-se R$ 5,00 para cada real apostado em C. 
d) paga-se R$ 10,00 para cada real apostado em D. 
Solução: 
A probabilidade de vencer é inversamente proporcional ao valor pago. Então : 
P(B) = P(C) = 2 P(D) e P(A) = 5 P(D) 
Assim P(A)+P(B)+P(C)+P(D) = 1 
 5 P(D)+2 P(D)+2 P(D)+P(D) = 1 
 10 P(D) = 1: P(D) = 1/10; 
 P(B) = P(C) = 2 P(D) = 2 . 1/10 = 2/10 =20% e P(A) = 5 P(D) = 5. 1/10 = 5/10 = 50 % 
 
 
 
1 Dado honesto é aquele cuja chance de qualquer um dos números ocorrer é a mesma. Caso contrário diz-se que 
o mesmo é viciado. 
Se um evento A está contido num espaço amostral Ω, então o número P(A) é tal que 
seu valor varia de 0 a 1 ou seja 
0 ( ) 1P A 
. 
 22 
2ª PROPRIEDADE 
 
Sabemos da Teoria dos conjuntos que 
( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B    
. 
Pela definição de probabilidade temos: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ( ( )
n A n B n A B n Bn A B n A n A B
P A B
n n n n n
   
     
    
 
 
Exemplo: 
Em uma pesquisa com 150 estudantes constatou-se: 
40 estudantes gostam de Matemática ( conjunto A ) 
70 gostam de Biologia. ( conjunto B ) 
20 gostam de Matemática e Biologia. 
Qual a probabilidade de escolhido ao acaso o estudante goste de Matemática ou de Biologia? 
Solução: 
A: ocorrência de estudantes que gostam de Matemática: n(A) = 40. 
B: ocorrência de estudantes que gostam de Biologia: n(B) = 70 
A B
 : ocorrência de estudantes que gostam de Matemática e Biologia: 
( ) 20n A B 
 
A B
: ocorrência de estudantes que gostam de Matemática ou de Biologia. 
40 70 90 3
( ) ( ) ( ) ( ) 60%
150 150 150 5
P A B P A P B P A B         
 
 
Exemplo: 
A probabilidade de ganhar na Megasena apostando com 5 cartões diferentes: 
1 1 1 1 1 5
( )
50063860 50063860 50063860 50063860 50063860 50063860
P B      
, que é 5 
vezes maior. 
 
Exemplo 2. 
Uma urna contém 12 bolas brancas, 6 bolas vermelhas, e 2 bolas azuis. Qual a probabilidade 
de se retirar uma bola vermelha ou uma bola azul ? 
Solução: 
Ω: retirada de bolas ; n(Ω)=20 
V: retirada de bolas vermelhas n(V)=6 
A: retirada de bolas azuis n(A)=2 
Então: 
( ) 6 3 ( ) 2 1
( ) ( )
( ) 20 10 ( ) 20 10
n V n A
P V P A
n n
     
 
 
Como são eventos mutuamente exclusivos : 
( ) ( ) 3 1 4
( ) 40%
( ) ( ) 10 10 10
n V n A
P V A
n n
      
 
 
 
 
 
A probabilidade de ocorrerem dois eventos A e B é dada pela soma de suas 
probabilidades subtraindo-se a probabilidade da Interseção desses eventos 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B    
 
A probabilidade de ocorrerem dois ou mais eventos mutuamente exclusivos é dada pela 
soma das probabilidades de ocorrer cada um dos eventos de forma independente. 
 23 
3ª PROPRIEDADE 
 
Seja um dado honesto. A probabilidade de ocorrer cada um dos números é a mesma, isto é: 
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6 
 
4ª PROPRIEDADE 
 
Exemplo: 
Uma equipe de Basquete inicia o jogo com 5 jogadores. Sabendo que a equipe tem 10 
jogadores, calcule: 
a) qual a probabilidade de os atletas A e B estarem entre os 5 escolhidos para iniciarem o 
jogo? 
b) qual a probabilidade de A ou B figurarem na equipe para iniciar o jogo? 
Solução. 
Cálculo do espaço amostral Ω. 
O nº total de possibilidades de se escolher a equipe inicial de 5 jogadores de um total de 10: 
5
10
10!
( ) 252
5!5!
n C   
 
a) Evento X: A e B iniciam na equipe: 
 
3
8
8!
( ) 56
3!5!
56 2
 ( )
252 9
n X C
Logo P X
  
 
 
b) Evento Y: A ou B figuram na equipe: 
 
4
9
4
9
3
8
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
126
( ) 126 ( ) 50%
252
126
( ) 126 ( ) 50%
252
2
( ) 56 ( )
9
1 1 2 7
( )
2 2 9 9
Y A B P Y P A B P A P B P A B
n A C P A
n B C P A
n A B C P A B
P Y
        
    
    
     
   
 
 
3.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Eventos condicionados ou Dependentes 
P(A/B) indicará a probabilidade do evento A, uma vez tenha ocorrido o evento B. 
 
Exemplo: 
Numa urna com 10 bolas numeradas, qual a probabilidade de ocorrer o número 8, 
sabendo que, ao retirar a bola, anuncia-se “O número sorteado é par”. 
A soma das probabilidades de todos os eventos elementares de um experimento é 1 
Se dois eventos são complementares num espaço amostral Ω, então a soma das 
probabilidades desses eventos é 1 
 24 
Antes de se anunciar que o número é par a probabilidade de ser 8 o número sorteado 
era de 1/10. 
No entanto, após se declarar que o número é par, a probabilidade passa a ser 1 em 5, 
isto é 1/5. 
 
Então podemos considerar que P(A/B) tem um espaço amostral reduzido a B dentro do 
qual calcularemos P(A/B). 
 
Como o evento A está condicionado ao evento B, ou seja, devem ocorrer os eventos A 
e B,os resultados favoráveis são dados por 
A B
. Logo: 
 
nº de resultados favoráveis : 
( )n A B
 
 
( )
( / )
( )
n A B
P A B
n B


 
Assim : 
( )
( ) ( )( )
( / )
( )( ) ( )
( )
n A B
n A B P A Bn
P A B
n Bn B P B
n

 
  

 
 
3.3 EVENTOS INDEPENDENTES 
( ) ( ). ( )P A B P A P B 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral E, dizemos que A e B são 
independentes se e somente se, P(A/B) = P(A), o que vale dizer que A independe de B. 
 
Então como A independe de B, então B também independe de A. 
( ) ( / ). ( )
( / )
( ) ( )
( / ). ( ) ( ). ( )
 ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )
( ) ( )
P A B P A B P B
P B A
P A P A
P A B P B P A P B
mas P A B P A P B A P B P B A P B
P A P A

 
      
 
Então : 
 
 
3.4 LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE. 
Sejam experimentos que consistem em ensaios ou tentativas independentes, isto é , ensaios 
nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados 
ocorridos nos ensaios anteriores nem nos ensaios posteriores. 
Em cada ensaio só pode ocorrer sucesso (S) ou fracasso (F). 
A probabilidade de ocorrer sucesso é sempre p e consequentemente a de ocorrer fracasso q é 
q=1-p. 
Este tipo de ensaio recebe o nome de Ensaio de Bernoulli. 
Seja uma seqüência de n ensaios de Bernoulli. 
Qual será a probabilidade deocorrer k sucessos? 
 
O evento “ocorre k sucessos em n ensaios” é formado por todas as enuplas ordenadas em que 
existem k sucessos e n-k fracassos. 
Assim teremos que o número de enuplas é 
, !
!( )!
k n k
n
nn
P
kk n k
     
  
 
( ) ( ). ( / ) ( ). ( )P A B P A P B A P A P B  
 
 25 
Então cada enupla tem como probabilidade de ocorrer 
 
. . .... . . . ....
k vezes n k vezes
p p p p q q q q

 e como cada 
enupla é um evento independente a probabilidade de ocorrer todas as enuplas será 
.k n kk
n
P p q
k
   
 
. 
Exemplo: 
1)Uma Urna tem 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e 
reposta na Urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observamos 
exatamente 3 vezes bolas vermelhas? 
Solução: 
Em cada ensaio consideremos como sucesso o resultado “bola vermelha” e fracasso “bola 
branca”. 
4 2 6 3
 = 
10 5 10 5
p q  
 n = 5 3 5 3
3
5 2 3 720
3 5 5 3125
P

 
   
 
 
 
2) Numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas 
ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro da 
marca A? 
Solução: 
Sucesso: “a pessoa tem carro da marca A” 
Fracasso: “a pessoa não tem carro da marca A” 
Assim p = 0,1 e q = 0,9 e n = 30 
Então 5 30 5
5
30 1 9
. 0,102
 5 10 10
P

 
  
 
 
 
 
LISTA 7 DE EXERCÍCIOS. 
 
1) Um par ordenado (a,b) é escolhido entre 20 pares ordenados do produto cartesiano A x B 
em que A={1,2,3,4} e B={1,2,3,4,5}. 
Considere Ω = {(a,b) | 
a A b B  
}. Descreva o evento: 
a) A={(x,y)|x=y} d) D={(x,y)|y=
2x
} 
b) B={(x,y)|x>y} e) E ={(x,y)|x=1} 
c) C={(x,y)|x + y = 2} f) F ={(x,y)|y=3} 
 
2) Temos duas moedas, das quais uma é perfeita e a outra tem duas caras. Uma das moedas, 
tomada ao acaso, é lançada. Qual a probabilidade de se obter cara? 
 
3) Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a 
mesma, e a de observarmos qualquer número impar é também a mesma. Porém um número 
par é três vezes mais provável de ocorrer do que um número impar. Lançando-se esse dado 
qual a probabilidade de : 
a) ocorrer um número primo? 
b) ocorrer um múltiplo de 3? 
c) ocorrer um número menor ou igual a 3? 
 
4) Se A e B são eventos tais que : P(A) = 0,2 , P(B) = 0,3 , 
P(A B)=0,3
, calcule: 
a)P(A B) b)P(A') c)P(B')
 
 
 26 
5) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de cada um dos 
eventos abaixo: 
a) Ocorre Damas de Copas. 
b) Ocorre Dama. 
c) Ocorre carta de naipe”Paus” 
d) Ocorre Dama ou Rei ou Valete.. 
e) Ocorre uma cartas que não é rei 
 
6)Um número é escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade de o 
número escolhido: 
a) ser par c) ser primo 
b) se impar d) quadrado perfeito. 
 
7) Os coeficientes a e b da equação ax = b são escolhidos ao caso entre os pares ordenados do 
produto cartesiano A x A sendo A ={1,2,3,4}, sendo a o primeiro elemento do par e b o 
segundo . Qual a probabilidade de a equação ter raízes inteiras? 
 
8) Jogando-se 3 dados ( ou um dado 3 vezes ), qual a probabilidade de se obter soma menor 
ou igual a 4? 
 
9) Numa cidade 30% dos homens são casados, 40% são solteiros, 20% são desquitados e 10% 
são viúvos. Um homem é escolhido ao acaso: 
a) qual a probabilidade de ele ser solteiro? 
b) qual a probabilidade de ele não ser casado? 
c) qual a probabilidade de ele ser solteiro ou desquitado? 
 
10) De um grupo de 200 pessoas, 160 tem fator Rh positivo, 10 tem sangue tipo O e 80 tem 
fator Rh positivo e sangue tipo O. Se uma destas pessoas for selecionada ao acaso qual a 
probabilidade de: 
a) seu sangue ter fator Rh positivo 
b) seu sangue não ser do tipo O. 
c) seu sangue ter fator Rh positivo ou ser do tipo O? 
 
11) Um colégio tem 1000 alunos. Destes : 
200 estudam Matemática 
180 estudam Física. 
200 estudam Química. 
20 estudam Matemática, Física e Química. 
50 Física e Química. 
70 somente Química. 
50 Matemática e Física. 
Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de: 
a) ele estudar só Matemática? 
b) ele estudar só Física? 
c) Ele estudar Matemática e Química? 
 
12) Tirando ao acaso, 5 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de saírem 
exatamente 3 valetes? 
 
13) Em uma Urna existem 6 bolinhas numeradas, de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que a seqüência de números observados seja crescente? 
 
 27 
14) Nove livros são colocados ao acaso em uma estante. Qual a probabilidade de que 3 livros 
determinados fiquem juntos? 
 
15) Uma Urna contém 5 bolas vermelhas e 7 brancas. Duas bolas são extraídas 
sucessivamente ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade de: 
a) ambas serem brancas? 
b) ambas serem vermelhas? 
c) uma vermelha, outra branca (sem levar em conta a ordem)? 
 
16) Uma Urna contém 4 bolas brancas, 2 vermelhas e 3 azuis. Cinco bolas são selecionadas 
ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que 2 sejam brancas, uma vermelha e 2 
azuis? 
 
17) De um baralho de 52 cartas, duas são escolhidas ao acaso e sem reposição. Qual a 
probabilidade de observarmos dois Reis ou duas cartas de Copas? 
 
18) Um homem encontra-se na origem de um sistema ortogonal cartesiano.Ele só pode andar 
uma unidade de cada vez, para cima ou para direita. Se ele andar 10 unidades, qual a 
probabilidade de chegar no ponto P(7,3)? 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
19) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100. 
a) qual a probabilidade de o número ser par? 
b) qual a probabilidade de o número ser par, dado que ele é menor que 50? 
c) Qual a probabilidade de o número ser divisível por 5, dado que é par? 
 
20) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos olhos de 
cada moça, segundo a tabela: 
 
 Olhos Olhos 
Cabelos Azuis Castanhos 
Loira 17 9 
Morena 4 14 
Ruiva 3 3 
a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a 
probabilidade de ela ser : 
1) Loira? 2) Morena de olhos azuis? 3) morena ou ter olhos azuis? 
b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, 
mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade que ela seja morena? 
 
21) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída e observa-se que seu número está entre 4 e 10 
( 4 e 10 inclusive). Qual é a probabilidade de que o número seja 6? 
 
22) Um lote contém 50 peças boas(B) e 10 peças defeituosas(D).Uma peça é escolhida ao 
acaso e, em seguida, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a 
probabilidade de ambas as peças sejam defeituosas? 
 
23) Uma Urna I tem 2 bolas vermelhas(V) e 3 brancas(B); outra Urna II tem 3 bolas 
vermelhas e uma branca e a Urna III te 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Uma Urna é 
selecionada ao acaso e dela extraída uma bola. Qual a probabilidade de a bola ser vermelha? 
 
 28 
24) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. 
Qual a probabilidade de não chover nos dias 1 e 2 de outubro? 
 
25) Uma moeda é lançada 3 vezes. Sejam os eventos: 
A: ocorrem pelo menos duas caras. 
B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. 
Prove que A e B são eventos independentes.26)Duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade de a primeira atingir o alvo é 
P(A)=1/3, e a probabilidade de a 2ª atingir o alvo é P(B)=2/3. 
Admitindo A e B independentes, se os dois atiram, qual a probabilidade de : 
a)ambos atingirem o alvo? 
b) ao menos um atingir o alvo? 
 
27) Numa sala existem 4 homens e 6 mulheres. Uma mosca entra na sala e pousa numa 
pessoa, ao acaso. 
a) Qual a probabilidade de que ela pouse num homem P(H)? 
b) Qual a probabilidade de que ela pouse numa mulher P(M)? 
c) Os evento H e M são independentes? 
 
28) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o 4 apareça exatamente 3 vezes? 
 
29) Uma pessoa tem probabilidade de 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Suponha 
que as vezes que ela atira são ensaios independentes. Qual a probabilidade de ela acertar no 
alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros? 
 
30) A probabilidade de que um homem de 45 anos viva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 
homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? 
 
31)Um teste tipo certo ou errado consta de 6 questões. Se um aluno “chutar”as respostas ao 
acaso, qual a probabilidade de que ele acerte mais do que 2 questões? 
 
32) Um casal planeja ter 5 filhos. Admitindo que sejam igualmente prováveis os resultados: 
ter filho do sexo masculino ou feminino, qual a probabilidade de o casal ter: 
a) 5 filhos do sexo masculino? 
b) exatamente 3 filhos do sexo masculino? 
c) no máximo um filho do sexo masculino? 
d) o 5º filho do sexo masculino, dado que os outros 4 são do sexo feminino? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 1 
 
1)Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal 
homem-mulher? 
 
Chamando os homens de 
1 2 3 4, , ,h h h h
 e as mulheres de 
1 2 3 4, , ,m m m m
 é fácil ver que há 4 
casais nos quais o homem é 
1h
 outros 4 nos quais o homem e 
2h
, 4 
3h
 e 4 
4h
. O número de 
casais é portanto 4.3=12 
 
2) Para fazer uma viagem RIO-SÃO PAULO-RIO posso usar como transporte o Trem, o 
Ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher o transporte se não desejo usar na volta 
o mesmo meio de transporte usado na ida? 
 
Há 3 maneiras de escolher o transporte de ida . Depois disso, há duas alternativas para a 
volta. Portanto a resposta é 3.2=6 
 
3) Uma bandeira é formada por 4 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores 
amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes terem a mesma cor. De quantos 
modos pode ser colorida a bandeira? 
 
A primeira listra pode ser colorida de 3 modos diferentes. A segunda de 2 modos pois as cores 
adjacentes não podem se repetir. Para a terceira listra teremos também 2 alternativas pois não 
poderemos repetir a cor da segunda listra. A quarta listra 2 alternativas pois não podemos 
empregar a mesma cor da terceira listra. Então a resposta será 3x2x2x2=24. 
 
4) Quantos números naturais de três algarismos distintos ( na base 10 ) existem? 
 
O algarismo da centena pode ser escolhido de 9 maneiras diferentes, pois não pode ser 0. 
O algarismo da dezena, dentre os algarismos 0,1,2...9 temos 9 maneiras de escolhê-lo. Para o 
algarismo da unidade nos 8 alternativas, pois já escolhemos dois. 
Assim a resposta será 9x9x8=648 
 
5) Quantos números naturais de 4 algarismos na base 10 que sejam menores que 5000 e 
divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
Temos: 
Último algarismo : 1 modo ( só pode ser o alg. 5) 
Primeiro algarismo : 3 modos ( não pode ser o 5, pois deve ser menor que 5000) 
Segundo algarismo : 4 modos 
Terceiro algarismo : 4 modos 
Logo a resposta é : 1x3x4x4=48 
 
6) As placas dos automóveis são formadas por 3 letras ( K,Y e W inclusive) seguidas por 4 
algarismos. Quantas placas podem ser formadas? 
 
Cada letra pode ser escolhida de 26 modos diferentes e cad algarismo de 10 modos. 
Logo a resposta é : 26x26x26x10x10x10x10=175 760 000 
 
7) Quantos são os números naturais pares que se escrevem ( na base 10) com três algarismos 
distinto? 
Primeira solução: 
 30 
O último algarismo do número pode ser escolhido de 5 modos diferentes (0,2,4,6,8). O 
primeiro pode ser escolhido de .... depende! Se o zero foi usado como último algarismo, o 
primeiro algarismo pode ser escolhido de 9 modos. Se o zero não foi usado com último 
algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos ( não podemos usar nem o zero nem 
o algarismo já empregado na última casa). Para vencer esse impasse temos duas alternativas: 
a) dividir o problema em dois casos : primeiro considerando como escolha do zero para a 
unidade e segundo não o considerando como algarismo da unidade. 
Primeiro caso: Temos 1 forma de escolher o alg. da unidade (zero), 9 maneiras de escolher o 
da centena e 8 de escolher o da dezena. Assim temos um subtotatal de 1x9x8 = 72 números 
Segundo caso: Terminando com um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher o 
algarismo da unidade, 8 modos de escolher o algarismo da centena, e 8 modos de escolher o 
da dezena. Este outro sub total será 4x8x8 = 256. 
Assim a resposta será então 72 + 256= 328. 
 
 
Segunda solução: 
Vamos ignorar o fato de o primeiro algarismo não poder ser zero. 
A solução seria: 5x 9 x 8= 360. 
Como o zero não pode iniciar um número, teríamos começando por zero: 1 x 8 x 4=32. 
Então a resposta será : 360 – 32 = 328. 
 
Terceira solução: 
Todos os números com algarismos distintos menos os ímpares. 
Todos os algarismos: 9 x 9 x 8 = 648 
Todos os ímpares: 5 x 8 x8 = 320. 
A resposta então será : 648 – 320 = 328. 
 
8) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 
letras? 
 
Temos 26 maneiras de escolher a primeira, 25 a segunda e 24 a terceira . 
A resposta será26 x 25 x 24 = 15600 
 
9) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha, com 5 
alternativas por questão? 
 
Temos 5 maneiras de escolher a primeira resposta, 5 para a segunda, 5 para a terceira e assim 
sucessivamente. Logo teremos 5 x 5 x ...5=
105
 gabaritos. 
 
10) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos? 
 
Temos 9 maneiras de escolher o algarismo da milhar, 9 para o da centena, 8 para a dezena e 7 
para a unidade. Logo teremos 9 x 9 x 8 x 7 = 4536 
 
11) De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um 
conselho que tem 12 membros? 
 
Temos 12 maneiras de escolher um membro para presidente e escolhido um para presidente 
teremos 11 alternativas para escolher um secretário. 
 
 
12) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila? 
 31 
 
Para primeira pessoa da fila temos 5 alternativas. Para a segunda teremos 4 alternativas e 
finalmente para a terceira pessoa da fila teremos 3 alternativa . Assim o total de Alternativas 
será de 5 x 4 x 3 = 60 
 
13) Quantos divisores naturais possui o número 360?Quantos são pares? 
 
Os fatores primos de 360 são 2,3 e 5 então seus divisores são múltiplos desses fatores. 
Como 
360 2 .3 .5 {0,1,2,3}; {0,1,2}; {0,1}          Assim existe 4 alternativa para 
o primeiro expoente, 3 alternativa par ao segundo e duas para o terceiro o que produzirá 4 x 3 
x 2 = 24 divisores. 
 
 
 
 
14) Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos? 
 
Para formarmos os subconjuntos tomamos cada elemento do conjunto e com ele tomamos 
duas decisões : fará ou não parte do subconjunto. Assim se o conjunto tem n elementos onúmero total de subconjuntos será 
2n
. Exemplo {a,b,c}: Primeira decisão: Nem a,nem b nem 
c : este será o vazio. Outra decisão: o primeiro fará parte, o segundo não e o terceiro não ; 
teremos o subconjunto {a} e assim sucessivamente. 
 
15) Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos? 
 
Os três últimos algarismos só podem ser {1,3,5,7,9}, então temos 5 modos de escolher o 
algarismo da unidade, 8 modos de escolher o da centena e 8 modos de escolher o algarismo da 
dezena. Portanto o total de números será 5 x 8 x 8 = 320. 
 
 
 
Solução da lista 2 
 
1)Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só 
sobremesa. O cardápio oferece 8 pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de 
sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 
 
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC) termos 5 x 8 = 40 Refeições possíveis. 
 
2)Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes. E o encosto 5 
posições, independentemente da posição do assento.Combinando assento e encosto quantas 
posições diferentes esse banco pode assumir? 
 
Pelo PFC teremos :6 x 5 = 30 posições distintas. 
 
3) Um homem possui 10 ternos 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas ele 
poderá vestir um terno uma camisa e um sapato? 
 
Uma forma de se vestir pode ser indicada pelo terno (a,b,c) em que a representa o terno, b a 
camisa e c o par de sapatos: Temos portanto 10 x12 x 5 = 600formas de vestir. 
 
 32 
4)De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas 
para cada pergunta são : sim ou não? 
Cada resposta do teste é uma seqüência do tipo 
1 2 3 20( , , ,... )a a a a
 em que cada 
ia
 vale V ou F. 
Portanto, o número total de possibilidade é 
20
20
2 2 2 ... 2 2
vezes
x x x x 
 
5) Em um computador digital um bit é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma 
sucessão de bits. Qual é o número de palavras distintas de 32 bits? 
 
Qualquer palavra consiste em uma seqüência 
1 2 3 32( , , ,... )a a a a
 em que cada 
ia
 é um bit e vale 
0 ou 1. Daí há 
32
32
2 2 2 ... 2 2
vezes
x x x x 
palavras 
6) De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um 
grupo de 6 estudantes? 
 
Usando a convenção 0 : o aluno não é escolhido e 1 : o aluno é escolhido notamos que cada 
aluno será identificado por 0 ou 1. Se considerarmos a situação em que nenhum aluno é 
escolhido, teremos pelo PFC 
6
6
(2 2 2 ... 2) 1 2 1 63
vezes
x x x x    
possibilidades. 
7)Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A 
comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher 
exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser 
dados? 
 
Todas as possibilidades serão 3x3x3x3x3 = 243. 
 
8) Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas seqüências de resultados são possíveis, 
se considerarmos cada elemento da seqüência como o número obtido em cada dado? 
 
Cada resultado consiste de uma seqüência 
1 2 3 6( , , ,... )a a a a
em que 
ia
representa o número 
obtido no lançamento do i-ésimo dado.Assim, há 
66 6 6 ... 6 6x x x x 
resultados possíveis. 
 
9) As letras em código Morse são formadas por seqüências de traços ( - ) e pontos ( . ) , sendo 
permitidas repetições. Por exemplo: ( -; . ; - ; - ; . ; . ) Quantas letras podem ser representadas : 
a) usando exatamente 3 símbolos? 
b) usando no máximo 8 símbolos? 
 
a) Cada letra é uma seqüência 
1 2 3( , , )a a a
 em que 
ia
 vale ( - ) ou ( . ). Assim temos 2x2x2=8 
letras. 
b) O total de letras será dado pela soma das letras que apresentam 1,2 ..., ou 8 símbolos , isto é 
2 3 8
8
2+ 2.2 + 2.2.2 + ...+ 2.2...2=2+2 2 ... 2  
 que é uma PG de razão q = 2. Assim 
8
1( 1) 2(2 1) 510
1 2 1
n
n
a q
S
q
 
  
 
letras poderão ser representadas. 
10) Um homem encontra-se na origem de sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox e Oy. Ele 
pode dar um passo de cada vez, para o norte(N) ou para o leste (L).Quantas trajetórias ele 
pode percorrer se der exatamente 4 passos? 
 
 Observe que cada trajetória consiste em uma 
 quádrupla ordenada
1 2 3 4( , , , )a a a a
 em que 
cada 
ia
só pode N ou L. Por exemplo ( N, L,N,N ) 
 33 
como na figura. Logo pelo PFC o número de trajetória 
( quádruplas ordenadas) é 2x2x2x2 = 16 
11) Caminhando sempre para direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras 
se pode ir do ponto A até o segmento BC? 
 
Cada trajetória consiste em uma seqüência de 8 passos 
1 2 3 8( , , ,... )a a a a
 em que 
ia
pode ser dado para cima ou para 
A direita. Pelo PFC existem 
8
8
2 2 2 ... 2 2x x x x 
caminhos. 
 
12)Quantos divisores positivos tem o número 
4 53888 2 .3
? 
 
Da mesma forma que o exercício 13 da lista 1 teremos (4+1)(5+1)=30 divisores. 
 
13) A e B são conjuntos tais que n(A) = n e n(B)= r . Quantas funções 
:f A B
existem. 
Quantas são injetoras? 
 
Escolhida a imagem 
1r
 esta pode ser imagem de 
1 2 3, , ... nn n n n
. Isto também vale para 
2 3, ,... rr r r
 
Assim pelo PFC o total de funções será 
1 2 3. . .....
n
nr r r r r
 
Se a função for injetora cada imagem depois de ser escolhida deve ser descartada pois na 
função injetora uma mesma imagem não pode ter duas origens. Assim o nº de f unções 
injetora será 
( 1)( 2)....[ ( 1)]r r r r n   
 
 
14) Uma moto tem combustível para dar somente 3 voltas num circuito. Pedro, Manoel e 
Antonio disputam, por meio do lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, 
do seguinte modo: I- o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta. II- Se Coroa, a 
vez é de Manoel: III- Se cara a vez é de Pedro. IV- Se a mesma face ocorrer 
consecutivamente a vez é de Antonio. Se a primeira volta for dada por Pedro, quantas voltas 
poderá dar Antonio? 
 
Seja Cara K e Coroa C 
Se ocorrer (K,K,K) teremos Pedro, Antonio e Antonio 
Se ocorrer (K,K,C) teremos Pedro, Antonio e Manoel 
Se ocorrer (K,C,K) teremos Pedro, Manoel e Pedro 
Se ocorrer (K,C,C) teremos Pedro, Manoel e Antonio 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA LISTA 3 
 1) Usando o Diagrama de Árvore , obtenha todos os Arranjos dos elementos {a,b,c,d} 
tomados dois a dois. 
 
 
Resposta: Arranjos: 
{a,b};{a,c};{a,d};{b,a};{b,c};{b,d};{c,a};{c,b};{c,d}; 
{d,a};{d,b};{d,c} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
 
2) Calcule 
 
3
6
6! 6.5.4.3.2.1
120
(6 3)! 3.2.1
A   

 
4
10
10! 10.9.8...2.1
b) = = =10.9.8.7= 5040
(10-4)! 6.5.4....2.1
A
 
 
1
20
20! 20.19....2.1
c) = = =20
(20-1)! 19.28...2.1
A
 
2
12
12! 12.11....2.1
d) = = =12.11=121 
(12-2)! 10.9....2.1
A
 
 
3) Há 5 livros diferentes. De quantos modos é possível dispor 3 deles numa prateleira? 
Pelo PFC temos 5.4.3 = 60 modos de arrumá-los ou 
3
5
5! 5.4.3.2.1
5.4.3 60
(5 3)! 2.1
A    

 
4)Com os algarismos {1,2,3,4,5} quantos números de três dígitos distintos podemos formar de 
modo que: 
a) os números formados sejam pares. 
b) os números formados sejam ímpares. 
 
a) Pelo PFC
2.4.3 24 
 ou seja temos duas maneiras de escolher o algarismo da 
unidade;escolhido o algarismo da unidade nos resta 4 alternativas para o algarismo da centena 
e finalmente 3 para o algarismo da dezena ou 
2
4
4!
2. 2 2.4.3 24
(4 2)!
A   

 
b) Pelo PFC
3.4.3 36 
 ou seja, temos 3 maneiras de escolher