GEOMETRIA_ANALITICA_-_Aula_8

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Aula 8
ELIPSE
Vamos então estudar esta forma matemática chamada elipse. Considere dois pontos F1 e F2 em um plano α tais que a distância entre eles seja igual a 2c, e outra distância 2a tal que 2a > 2c.
Chama-se elipse o lugar geométrico dos pontos do plano α cuja soma das distâncias
a F1 e F2 é constante igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c). Observe a figura abaixo e identifique o que você acaba de ler.
Assim temos:
E assim sucessivamente com os demais pontos.
E ainda as distâncias:
Veja agora os elementos da elipse:
Focos: São os pontos F1 e F2.
Distância Focal: É a distância dos focos, que pela definição é igual a 2c.
Eixo maior: É o segmento A1A2.
Eixo menor: É o segmento B1B2. (mediatriz do segmento F1F2)
Centro: É o ponto O, ponto médio do segmento F1F2 e o ponto de intersecção dos
eixos.
Vértices: São os pontos A1, A2, B1 e B2, isto é, são as extremidades dos eixos.
Conforme já afirmamos anteriormente, todo ponto P pertencente a uma elipse obedece à relação , onde 2a é uma distância dada. 
Assim, 2a é a medida do eixo maior, 2b é a medida do eixo menor e 2c é a distância entre os focos.
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c
Veja que a, b e c representam, respectivamente, as medidas da metade do eixo maior, metade do eixo menor e metade da distância focal.
Vamos agora voltar à figura e observar uma relação importante no estudo da elipse.
Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo B1OF2 temos:
a2 = b2 + c2
EQUAÇÃO DA ELIPSE
Vamos considerar a elipse com centro em O (0, 0), conforme representado na sequência.
Já vimos anteriormente que: PF1 + PF2 = A1F1 + A1F2 = A1A2 = 2a
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da elipse, podemos escrever:
Vamos agora elevar ambos os membros da última linha ao quadrado:
Eliminando os termos opostos e fatorando os produtos notáveis, temos:
Mais uma vez, vamos elevar ambos os membros da equação ao quadrado para eliminarmos a raiz:
Agora lembre-se da relação importante vista anteriormente, onde a2 = b2 + c2. Vamos então substituir c2 por a2 – b2.
Finalmente, vamos dividir a última igualdade por a2b2:
Acabamos de obter a equação reduzida de uma elipse com centro na origem do sistema de coordenadas e cujos focos estão no eixo Ox.
Se os focos da elipse estiverem no eixo Oy, a equação reduzida da elipse é dada
por: 
Nem sempre a elipse tem seu centro na origem do sistema cartesiano. O centro pode estar em qualquer ponto do sistema. Neste caso, se o eixo maior for paralelo ao eixo Ox, sua equação será:
 
Se o eixo maior for paralelo ao eixo Oy, sua equação será: 
Onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da elipse.
Agora já temos condições de fazermos alguns exemplos para que você entenda melhor tudo o que vimos até aqui.
Exemplo 1: Os eixos de uma elipse medem 26 cm e 24 cm. Qual é a distância focal
dessa elipse?
Vamos juntos interpretar o problema apresentado no exemplo 1. O eixo maior mede
26 cm, isto é A1A2 = 26.
O eixo menor mede 24 cm, isto é B1B2 = 24. O que queremos descobrir é F1F2.
Bem, sabemos que:
A1A2 = 2a
B1B2 = 2b
F1F2 = 2c
Então:
2a = 26 
a = 13
2b = 24 
b = 12
Assim, conhecendo a e b, só falta encontrar o valor de c para descobrirmos a distância
focal. Este cálculo é possível usando Pitágoras:
Se c = 5 e a distância focal é igual a 2c, então F1F2 = 10 cm.
Exemplo 2: Numa elipse o eixo maior mede 8 cm e a distância focal é igual a 4 cm. Calcule a medida do eixo menor.
Vamos iniciar levantando os dados fornecidos pelo problema:
A1A2 = 8 
a = 4
B1B2 = 2b (é o que estamos procurando)
F1F2 = 4 
c = 2
Pelo teorema de Pitágoras, vamos encontrar o valor de b:
Como a medida do eixo menor é 2b, então temos B1 B2 = cm.
Exemplo 3: Encontre a equação da elipse de focos F1(-2, 0) e F2 (2, 0), sabendo que
seu semieixo menor é b = 3.
Note inicialmente que os focos da elipse pertencem ao eixo Ox, e que a semidistância
focal é 2. Com estes dados já é possível encontrar a terceira medida, ou seja, a medida a. 
Assim, a equação da elipse é:
Exemplo 4: Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 25x2 + 4y2 = 100. De início, vamos dividir ambos os membros da equação por 100:
Observe que o denominador sob y2 é maior que o denominador sob x2. Quando isso
acontece significa que a elipse tem o eixo maior vertical, isto é, os focos estão no eixo Oy. Assim sendo:
Então a2 = 25 e b2 = 4.
Podemos assim calcular o valor de c:
Exemplo 5: Determine a equação da elipse com centro em (2, -1), eixo maior medindo
6 cm e foco F1 = (0, -1).
Pelos dados da situação-problema, podemos identificar a posição da elipse. Ela está
abaixo do eixo de Ox, paralela a ele, com um foco no eixo Oy. Então usaremos a equação:
Sabemos ainda que se o eixo maior mede 6 cm, a = 3.
Vamos então calcular a distância do centro da elipse ao foco F1 e teremos assim o
valor de c.
Agora, por Pitágoras, encontraremos o valor de b2:
Substituindo o que temos, obteremos a equação:
Exercícios
1 Determine a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e vértices, que são as
extremidades do eixo maior A1 (5, 0) e A2 (-5, 0).
2 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses de equações:
a) 
b) 4x2 + 3y2 = 12
3 Em uma elipse, o centro é (-2, 4), um dos focos é (-2, 7) e uma das extremidades do eixo menor é (-3, 4). Determine a equação dessa elipse.