MODELO DE MALTHUS APLICADO AO CRESCIMENTO POPULACIONAL NA CIDADE DE CONCÓRDIA

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MODELO DE MALTHUS APLICADO AO CRESCIMENTO POPULACIONAL NA CIDADE DE CONCÓRDIA/SC
Vilmar José Pedron – vilmar.fisica.ifc.cdia@gmail.com
Instituto Federal |Catarinense – Campos Concórdia
Resumo: Com este trabalho pretende-se investigar o modelo matemático que possa descrever os fenomenos reais. Dessa forma serão aplicadas as teorias de cresuimento populacional. Assim partimos do principio de que investigar é compreender de uma forma mais ampla as contribuições que a matemática pode oferecer a sociedade. Este tema foi escolhido por facilitar a aplicação da Teoria Malthusiana de cresimento populacional a dados reais, em um pequeno intervalo de tempo. Para tal, aplicaremos o Modelo Malthusiano para o crescimento populacional, buscando fazer uma comparação dos resultados obtidos pelo modelo, com os dados colotados pelo IBGE, de 2010 a 2017. Atraves dos resultados que foram obtidos com a aplicação de uma modelagem certa, para o crescimento populacional, verifica-se a validação do modelo e tambem da teoria de Malthus. Tal trabalho se torna uma pequena parcela no estudo das aplicações das equações diferenciais a problemas reais, procurando dar significado a teorias matemáticas que são estudadas no processo de formação do futuro docente. 
Palavras-chave: Modelo de Malthus, Crescimento Populacional, Matemática Aplicada
1. INTRODUÇÃO 
 Constantemente se busca a compreensão dos fenomenos que acontecem na natureza, com a intenção de proporcionar uma vida melhor do ser humano em sociendade. Assim, a procura por alternativas que melhorem o desenvolvimento populacional e social se tornam muito importantes. Na historia, tais questões sempre foram tratadas realacionadas as ciencias humanas, no estudo geografico.
 Thomas Malthus em meados do seculo XVIII, desenvolveu um metodo matemático com o intuito de estudar o crescimento populacional em todo o mundo, estudando a dinâmica das populações. Malthus com seu modelo propoe uma equação diferencial ordinária bem simples, onde se resolve pelo método de separação de variáveis. Posterior a Malthus, muitas outras teorias para os estudos populacionais foram criadas, contudo está teoria mostra-se uma das mais simples quando se procura estudar uma porção pequena de população. 
 Partidno desse presuposto, esta proposta, procura estudar com o modelo de Malthus, o crescimento da população do município de Concórdia, SC. Para tal, se utilisou os dados demográficos obtidos atraves do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatistica (IBGE) dos anos de 2010 e 2017. Sendo a teoria aplicada, foi feita a comparação procurando identificar se o modelo de crescimento populacional de Malthus poderia ser usado para prever a população de Concórdia nos anos seguintes.
2. REFERENCIAL TEÓRICO 
 
 A matemática aplicada e muito utilizada nos dias de hoje no estudo dos fenõmenos naturais, sendo a modelagem forma mais utilizada para desenvolver tal processo. A partir da modelagem é possivel analizar o que acontece com determinado fenômeno, possibilitando o estudo dos mesmos. Ao que aponta Chevallard (2001): 
 
Um aspecto essencial da atividade matemática consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as questões inicialmente apresentadas. Grande parte da atividade matemática pode ser identificada, portanto, com uma atividade de Modelagem Matemática. (CHEVALLARD, 2001, p. 50). 
 
 A modelagem tem como objetivo principal representar os problemas que não são matemáticos por meio de modelos matemáticos, segundo Ferruzzi (2003): 
 
O objetivo da Modelagem Matemática é solucionar ou representar por meio de um modelo um problema não-matemático. A Modelagem Matemática possibilita a aproximação de situações do cotidiano com a Matemática, a interpretação e a análise de vários fenômenos naturais e sociais. Ela é entendida como uma atividade de construção, validação e aplicação de modelos de uma situação problemática, utilizando-se para isso conceitos matemáticos. (FERRUZZI, 2003, p. 36).
Equação Diferencial Ordinária 
É a equação que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma variável independente. 
3. METODOLOGIA
Este trabalho foi feito a partir da coleta da pagina eletronica do IBGE, buscando analizar o crescimento da população da cidade de Concórdia, utilizando tabelas para analizar os dados obtidos atraves do modelo de Malthus.
4. EQUAÇÃO DO MODELO DE MALTHUS
 
 Uma população P qualquer, onde t é o tempo onde a razão entre a variação da população (P) e a variação do tempo (t) é proporcional à população atual. Pode-se expressar esta proposição pela seguinte equação: 
 
sendo k uma constante. Podemos observar que se k é positiva a população crescerá e se k for negativo ela diminuirá (podendo diminuir mas sem chegar a zero). “Algumas vezes também é chamada de lei do crescimento natural (se k>0) ou lei do decaimento natural (se k<0 )” (STEWART, 2007). Sendo possivel utilizar este modelo para vários fenõmenos.
Manipulando o modelo de Malthus apresentado na equação (1) temos: 
Esta é uma equação diferencial de variáveis separáveis, para chegar em uma função da população, precisamos resolver essa equação. Para isso primeiramente iremos separar as variáveis.
 
Integrando os dois lados da igualdade, temos:
 
 
 
 Onde são constantes arbitrárias; logo: 
 
 
Colocando os dois lados na base e, temos: 
 
 
Chegamos a equação: 
 Pode ser escrita:
 
Onde é a população inicial, que depende do tempo t, e k é a constante de crescimento. Esse modelo leva ao crescimento exponencial, mas como dito anteriormente isso é valido para populações pequenas onde quase não se tem limitantes naturais para o crescimento desta população. Dessa forma se percebe que esse modelo exponencial não trata um quadro real, pois ao aplicar esse modelo, não seria possivel haver limite para o numero de membros de uma certa espécie. Ao ser aplicado tal modelo para a cidade de Concórdia, sera necessario calcular a taxa de crescimento anual. Portanto iremos calcular a porcentagem de crescimento anual, com base nos dados do IBGE, da tabela 1.
Calculo da taxa de crescimento anual:
	Ano
	População
(Dados do IBGE )
	Taxa de crescimento
anual
	2000
	63058
	
	2007
	67.140
	0,00900
	2010
	68.621
	0,00849
	2017
	73.766 (estimado)
	0,00926
Tabela 1: Fonte IBGE
Aplicando o modelo de Malthus para calcular o crescimento populacional desta cidade, analisaremos os resultados obtidos, se serão coerentes com o modelo seguido. Utilizaremos iremos calcular a população para os anos de 2007, 2010 e 2017. Podemos perceber que em 2010 passaram 7 anos, 2010 10 anos e 2017 17 anos. 
População em 2007:
 
Podemos perceber que a população em 2007 é bem próxima a população calculada pelo modelo de Malthus.
População em 2010:
 
Podemos perceber que a população em 2010 é bem próxima a população calculada pelo modelo de Malthus.
População em 2017:
 
Os dados referentes a 2017 trazidos pelo IBGE, são apresentados como estimativa, não sendo um dado conclusivo, mas podemos concluir que para a população de 2017 o modelo Malthus 
pode ser usado para estimar a população de Concórdia, por mais alguns anos, até que os fatores naturais não sejam limitantes para o crescimento da população. Na tabela 2 serão apresentados algumas estimativas de alguns anos subsequentes, utilizando uma media da taxa de crescimento anual obtida na tabela 1. (k = 0.00891)
	Ano
	População (Aproximada)
	2019
	74690
	2021
	76033
	2023
	 77400
	2025
	 
78791
Tabela 2 : População aproximada para os proximos anos da cidade de Concórdia, SC.
5. CONCLUSÃOCom a utilização do modelo de Malthus, podemos chegar a conclusão de que para estimar pequenas populações tal metodo pode ser viavel, mas sempre levando em consideração que exista poucos limitantes naturais. Onde podemos citar como limitadores naturais a demissão em massa de funcionarios de uma empresa de grande porte o que acarretaria um crescimento populacional menor do que o previsto pelo modelo de Malthus.
 
REFERÊNCIAS 
 
CHEVALLARD, Y. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Trad. Daysy Vaz de Niraes. Porto Alegre: Artmed Editora, 2001. 
 
FERRUZI, E.C. A Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral nos Cursos Superiores de Tecnologia. 2003. 154 f.
Dissertação (Mestrado). Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. 
IBGE. População Concórdia. Disponível em: http://www.ibge.gov.br/ . Acesso em 28/04/2014
STEWART, James. Cálculo. Tradução: Antonio Carlos Moretti; Antonio Carlos Gilli Martins. Vol. II, 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2007.
ZILL, D. G. e CULLEN, M. R. Equações diferenciais Vol. 1, 3a Edição. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.