resumo.conicas.quadricas

Prévia do material em texto

Curvas e Superf´ıcies
do 1o e 2o graus
Equac¸a˜o de reta no plano
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2 -1 0 1 2 3 4
2x+3y=4
(0,4/3)
(2,0)
ax + by = c
Equac¸o˜es de curvas Coˆnicas
1. Elipse.
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
(5,0)
(0,3)
(-5,0)
(0,-3)
(x2/25)+(y2/9=1)
x2
a2
+
y2
b2
= 1
2. Para´bola.
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=x2
y
b
− x
2
a2
= 0
3. Hipe´rbole.
-8
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 8
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
(-5,0) (5,0)
(x2/25)-(y2/9)=1
x2
a2
− y
2
b2
= 1
4. Coˆnicas degeneradas.
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2 -1 0 1 2
x2-y2=0
x2
a2
− y
2
b2
= 0
x2
a2
+
y2
b2
= 0 (ponto)
Equac¸a˜o do plano no espac¸o
(R3)
-2
-1
 0
 1
 2 -3
-2
-1 0
 1 2
 3
-10
-5
 0
 5
 10
 15
 20
a=2,b=3,c=-1,d=-4
1
ax + by + cz = d
Equac¸o˜es das superf´ıcies
qua´dricas
1. Elipso´ide
-4-3-2
-1 0 1
 2 3 4
 5
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2
 0
 2
a=5,b=3,c=2
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
2. Parabolo´ide El´ıptico
-15 -10 -5 0 5 10 15-10
-5
 0
 5
 10
 0
 2
 4
 6
 8
a=5,b=3
z =
x2
a2
+
y2
b2
3. Parabolo´ide Hiperbo´lico
-8 -4
 0 4
 8
-4
-2
 0
 2
 4
-4
-2
 0
 2
 4
a=5,b=3
z =
x2
a2
− y
2
b2
4. Hiperbolo´ide de 1 folha
-15-10
-5 0
 5 10
 15
-10-5 0
 5 10
-4
-2
 0
 2
 4
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
5. Hiperbolo´ide de 2 folhas
-10 -5 0
 5 10
-10-5
 0 5
 10
-12
-8
-4
 0
 4
 8
 12
a=3,b=3,c=4
2
x2
a2
− y
2
b2
− z
2
c2
= 1
6. Cone
-10 -5
 0 5
 10
-5 0
 5
-4
-2
 0
 2
 4
a=5,b=3,c=2
z2
c2
=
x2
a2
+
y2
b2
7. Superf´ıcies Cil´ındricas
-2
-1
 0
 1
 2 -2
-1
 0
 1
 2
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
x2+y2=1/2
z = x2, x2 + y2 = 1, etc.
8. Superf´ıcies Degeneradas
x2 + y2 + z2 = 0 (ponto)
x2 + z2 = 0 (reta)
Exerc´ıcios:
1) Esboce e classifique o lugar geome´trico das se-
guintes equac¸o˜es.
a)
x2
16
+
y2
9
+
z2
4
= 1 b)
x2
16
− y
2
9
− z
2
4
= 1
c)
x2
16
+
y2
9
− z
2
4
= 1 d)
x2
16
− y
2
9
+
z2
4
= 1
e)
x
4
=
y2
4
+
z2
9
f) z2 = 4x2 + 4y2
2) Ache a equac¸a˜o do plano:
a) Passando por P = (0, 2,−1) e ortogonal ao
vetor (3,−2,−1).
b) Passando por P = (1,−1, 3) e paralelo ao
plano 3x+ y + z = 7.
c) Passando por P1 = (1, 1,−1), P2 = (2, 0, 2) e
P3 = (0,−2, 1).
3) Classifique e esboce as curvas abaixo:
a) 3x2 − 5y2 = 10 b) − y2 + 4x2 = −3
c) 3x− y
2
16
= 0 d) 4x2 = 8y2
4) Cada um dos seis pontos abaixo pertence a
uma das superf´ıcies do exerc´ıcio 1). Encontre-a.
A = (2
√
6,
3
2
√
2, 2), B =(4
√
6, 3, 4)
C = (−1, 2, 2
√
5), D =(−2, 3
√
2/2,−1)
E = (6,
3
2
√
6, 1), F =(5,
√
3,
3
2
√
2)
Respostas:
1)a)elipso´ide b)hiperbolo´ide duas folhas c)hiperb.
uma folha d)hiperb. uma folha e)parabolo´ide el´ıptico
f)cone circular.
2)a)3x−2y−z = −3 b)3x+y+z = 0 c)7x−5y−4z = 6
3)a)hipe´rbole (corta eixo x) b)hipe´rbole (corta eixo
y) c)para´bola (ao longo eixo x) d)coˆnica degenerada
(par de retas).
4) A→ c) B → b) C → f) D → a) E → d) F → e).
3