lista 4 conicas mtm131

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Quarta Lista de Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial - MTM 131 (2018/II)
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Prove que os pontos A = (a− 1, a), B = (−a, 1− a), C = (a− 2, a− 1) esta˜o alinhados para todo a ∈ R.
2. Determine k de modo que as retas de equac¸o˜es y = (3k− 1)x+1 e y = (k2− 4k+9)x+7 sejam paralelas.
3. Suponhamos que
{
x = x0 + at,
y = y0 + bt
t ∈ R, seja um par de equac¸o˜es parame´tricas de uma reta r, tal que
a 6= 0. Mostre que:
a) A reta passa pelo ponto (x0, y0).
b) O coeficiente angular m desta reta e´ m = b/a.
4. Considere duas retas paralelas r e s cujas equac¸o˜es sa˜o: r : ax+ by+ c1 = 0 e s : ax+ by+ c2 = 0. Mostre
que neste caso, a distaˆncia entre as retas r e s e´ dada por d(r, s) =
|c2 − c1|√
a2 + b2
.
5. Utilizando o sistema de coordenadas, mostre que:
a) O ponto me´dio da hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo e´ equidistante dos treˆs ve´rtices (ou seja, a
mediana relativa a hipotenusa e´ exatamente a metade da hipotenusa).
b) As diagonais de um retaˆngulo tem mesma medida.
c) A soma dos quadrados das medidas dos lados de um paralelogramo e´ igual a` soma dos quadrados das
medidas de suas diagonais.
d) Sendo D o baricentro de um triaˆngulo 4ABC qualquer, os triaˆngulos 4ABD, 4ACD e 4BCD teˆm
a mesma a´rea.
6. Escreva cada uma das equac¸o˜es abaixo na forma (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2, dizendo qual o valor do raio
e as coordenadas do Centro.
a) x2 + y2 − 4x− 6y − 3 = 0 b) x2 + y2 + 3x+ 9y + 10 = 0
c) x2 + y2 − 2ax− 2ay + a2 = 0 d) x2 + y2 − 7x− 3y + 2 = 0
7. Construa a regia˜o definida pelo sistema de desigualdades abaixo:
a) x < 1, x2 + y2 − 4x ≤ 0 b) x < 0, x+ y > 0, x2 + y2 < 4
c) x ≤ 0, y ≥ 0, 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 d) x2 + y2 − 8x− 4y + 16 < 0, x2 + y2 − 14x− 4y + 49 ≤ 0
e) 4− x2 − y2 ≥ 0, x2 + y2 − 1 > 0 f) y ≥ 0, 25− x2 − y2 ≥ 0.
8. Determine para quais valores de m e k a equac¸a˜o mx2+y2+4x−6y+k = 0 representa uma circunfereˆncia.
9. Sendo A = (3, 10) e B = (−6,−5), encontre a equac¸a˜o segmenta´ria da reta que passa por estes pontos.
10. Dadas as equac¸o˜es parame´tricas de uma reta r :
{
x = −3 + 5t,
y = 4 + 2t
t ∈ R, obtenha a sua equac¸a˜o seg-
menta´ria.
11. Encontre a equac¸a˜o da reta r em cada caso:
a) Passa por A = (2,−3) e forma com o eixo Ox aˆngulo pi/4.
b) Passa por A = (−3, 5) e por B = (4, 1).
2
c) Passa por A = (2,−1) e corta a reta de equac¸a˜o y = 4x− 2 no ponto desta cuja abscissa e´ 1.
d) E´ horizontal e passa por A = (−1, 3).
e) E´ vertical e passa por A = (−2, 5).
12. Sabendo que a x2 + y2 + 2x +my − n = 0, em que m e n sa˜o constantes, representa uma circunfereˆncia
no plano cartesiano. Sabe-se que a reta de equac¸a˜o y = −x + 1 conte´m o centro da circunfereˆncia e a
intersecta no ponto P0 = (−3, 4). Sendo assim, determine os valores das constantes m e n.
13. Determine a equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice V (0, 0), concavidade para cima e que contenha o ponto
(5, 6).
14. Determine a equac¸a˜o da para´bola cujo foco e´ F
(−1
2
, 0
)
e a diretriz e´ a reta 2x− 1 = 0.
15. Determine o ve´rtice, o foco e a diretriz da para´bola x2 + 4x− 4y = 0.
16. Determine o foco e a equac¸a˜o da diretriz das para´bolas x2 = 8y e y2 = −2x.
17. Os ve´rtices de um triaˆngulo esta˜o sobre a para´bola de equac¸a˜o y = x2 + x − 12. Sabendo que dois dos
ve´rtices esta˜o sobre o eixo dos x e que o terceiro ve´rtice tem coordenadas (x, y), em que x e´ o ponto de
mı´nimo de y = x2 + x− 12. Calcule a a´rea do triaˆngulo.
18. Conduza por P (0, 0) as tangentes a` para´bola λ : x =
y2 + 3
3
e calcule o aˆngulo θ entre elas.
19. Obtenha a equac¸a˜o da mediatriz do segmento cujas extremidades sa˜o ve´rtices das para´bolas y = x2+6x+4
e y = x2 − 6x+ 2.
20. As retas r : x = 1 e s : y = −2 sa˜o, respectivamente, as diretrizes das para´bolas p1 e p2 que possuem
ve´rtice na origem. Determine o ponto de intersec¸a˜o entre p1 e p2.
21. Determine a equac¸a˜o da para´bola P de ve´rtice V = (3, 4) e foco F = (3, 2). Determine tambe´m a equac¸a˜o
de sua diretriz.
22. Sejam V = (−2,−1) o ve´rtice de uma para´bola P e a equac¸a˜o de sua diretriz d : x+ 2y = 1. Encontre a
equac¸a˜o da para´bola e seu foco.
23. Determine o foco e a diretriz da para´bola y2 = 6x.
24. Determine o foco e a equac¸a˜o da diretriz das para´bolas x2 = 8y e y2 = −2x. Construa o gra´fico.
25. Determine a equac¸a˜o da para´bola de foco em F = (1, 2), sendo x = 5 a equac¸a˜o da diretriz.
26. Obtenha o ve´rtice, foco e diretriz das para´bolas (y − 2)2 = 8(x+ 1) e y = 2x2 − 6x+ 4.
27. Determine a equac¸a˜o da para´bola com ve´rtices em (−4, 2), eixo paralelo ao eixo x e que conte´m o ponto
(−5, 12).
28. Encontre a medida dos semi-eixos, os focos, a excentricidade e esboce o gra´fico da func¸a˜o 9x2+25y2 = 225.
29. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior e´ 8. Determine a
sua equac¸a˜o.
3
30. Uma elipse, cujo eixo maior e´ paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4,−2), excentricidade e = 1
2
e eixo
menor de medida 6. Qual a equac¸a˜o desta elipse?
31. Determine o centro, os ve´rtices, os focos e a excentricidade da elipse de equac¸a˜o 4x2+9y2−8x−36y+4 = 0.
32. Mostre que 9x2+4y2 = 36 representa uma elipse e determine seus ve´rtices, focos, excentricidade e diretrizes.
33. Determine a excentricidade da elipse de equac¸a˜o 16x2 + 25y2 − 400 = 0.
34. Obtenha as tangentes a` elipse λ : 4x2 + 9y2 = 36 que passam por P (7, 2).
35. Considere a elipse que passa por
(
3
√
2
2
,−1
)
e que possui eixo menor com extremos em (0, 2) e (0,−2).
Determine a equac¸a˜o, os focos e o eixo maior dessa elipse.
36. Encontre a equac¸a˜o da elipse que tem como eixo maior a distaˆncia entre as ra´ızes da para´bola de equac¸a˜o
y = x2 − 25 e excentricidade e = 3
5
.
37. Determine os focos, ve´rtices e medidas dos eixos da elipse
x2
16
+
y2
9
= 1.
38. Determine os focos, ve´rtices, excentricidade e medidas dos eixos de
(x− 1)2
16
+
(y + 2)2
25
= 1.
39. Determine a equac¸a˜o reduzida da elipse 2x2 + 3y2 − 8x+ 6y − 7 = 0, depois que a origem foi transladada
para o ponto O1 = (2,−1).
40. Uma elipse possui como focos os pontos F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0) e o eixo maior 12. Determine uma de
suas equac¸o˜es.
41. Tangenciando externamente uma elipse E1 tal que E1 : 9x
2+4y2− 72x− 24y = 144, considere uma elipse
menor, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de E1 e cujos eixos teˆm a mesma medida que
os eixos de E1. Sabendo que E2 esta´ internamente contida no primeiro quadrante, qual o centro de E2?
42. Um arco e´ uma semi-elipse e o eixo maior e´ o va˜o. Se este tiver 40m e a flecha 10m, calcular a altura do
arco a 10m do centro da base.
43. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de ve´rtices A1(1,−2) e A2(5,−2) sabendo que F (6,−2) e´ um de seus
focos.
44. Determine o centro, um esboc¸o do gra´fico, os ve´rtices e os focos da hipe´rbole de equac¸a˜o 9x2−4y2−54x+
9y + 113 = 0.
45. Considere a reta r de equac¸a˜o 2x− 2ky − 1 = 0 e a hipe´rbole H de equac¸a˜o (y − 1)
2
2
− x2 = 1. Para que
valores de k real a reta r e´ tangente a` hipe´rbole H?
46. Deˆ a equac¸a˜o da ass´ıntota a` hipe´rbole
x2
16
− y
2
64
= 1 que forma aˆngulo agudo com o eixo x.
47. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de ve´rtices V1 = (1,−2) e V2 = (5,−2), sabendo que F = (6,−2) e´ um
de seus focos.
48. Encontre a equac¸a˜o cartesiana de duas hipe´rboles que teˆm ass´ıntotas nas retas 2y = x, 2y + x = 0 e cuja
distaˆncia focal e´ 2c =
√
5.
4
49. Determine a medida dos semi-eixos, os ve´rtices, focos e fac¸a um esboc¸o do gra´fico da hipe´rbole x2− 4y2+
16 = 0.
50. Determine a excentricidade da hipe´rbole de equac¸a˜o 25x2 − 16y2 − 400 = 0. Determineas equac¸o˜es das
ass´ıntotas e represente-as graficamente para toda ass´ıntota real.
51. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de excentricidade 2 e focos iguais aos focos da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1.
52. Encontre a medida dos semi-eixos, os ve´rtices, focos, excentricidade e as equac¸o˜es das ass´ıntotas da
hipe´rbole 9x2 − 7y2 − 63 = 0. Fac¸o um esboc¸o do gra´fico.
53. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de ve´rtices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2) sabendo que F1 = (6,−2) e´ um
de seus focos.
54. Determine a equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole com eixo real 6, focos F1 = (−5, 0), F2 = (5, 0). Fac¸a um
esboc¸o do gra´fico.
55. Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole cujos focos sa˜o F1 = (0, 4), F2 = (0,−4) e a diferenc¸a dos raios focais e´
6. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
56. Qual a coˆnica que representada pela equac¸a˜o 9x2 + 16y2 − 90x− 160y + 481 = 0?
57. Usando uma rotac¸a˜o de eixos convenientes transforme a equac¸a˜o 4x2+ y2+4xy+ x− 2y = 0 em uma que
na˜o contenha o termo em xy.
58. Determine o aˆngulo segundo o qual os eixos devem ser rotacionados para eliminar o termo xy na equac¸a˜o
7x2 − 6√3xy + 13y2 = 16.
59. Usando uma rotac¸a˜o de eixos convenientes, transforme a equac¸a˜o 5x2 + 5y2 − 26xy + 72 = 0 em uma que
na˜o contenha o termo em xy. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico com todas informac¸o˜es pertinentes, inclusive os
eixos anteriores e os obtidos apo´s a rotac¸a˜o.
60. Encontre a medida dos semi-eixos, os ve´rtices, focos, excentricidade e as equac¸o˜es das ass´ıntotas da
hipe´rbole 9x2 − 7y2 − 63 = 0. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico com todas informac¸o˜es pertinentes.
61. Considere a coˆnica de equac¸a˜o 4y2 + x2 + 8x+ 16y + 28 = 0. Determine:
a) As coordenadas dos ve´rtices, focos e extremos do eixo menor.
b) As equac¸o˜es do eixo focal e eixo normal.
c) Esboce a coˆnica com todos os elementos determinados.
62. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole que passa pelo ponto P = (0, 2+2
√
2) e que tem como ass´ıntotas y = x
e y = −x+ 4.
63. Em relac¸a˜o a um sistema XoY , onde o eixo dos X e´ uma reta que passa pelo ponto (2, 1) do sistema xOy,
uma para´bola tem a equac¸a˜o Y 2 + 4X + 12 = 0. Em relac¸a˜o ao sistema xOy, determine:
a) As coordenadas do ve´rtice e do foco.
b) Uma equac¸a˜o da reta diretriz e do eixo focal.
c) Esboce a para´bola destacando o ve´rtice, foco e diretriz.
64. Detemine uma equac¸a˜o da coˆnica que tem ve´rtices V1 = (−
√
3, 3), V2 = (
√
3, −3) e excentricidade e = 1/2.