CALCULANDO INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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CALCULANDO INTEGRAIS POR SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
As substituições trigonométricas nos permitem calcular integrais que tenham radicais da forma . É necessário frisar que, em alguns casos, a integral que contenha essas funções pode ser resolvida por outro método.
A substituição trigonométrica troca o radical presente na função acima por uma das funções trigonométricas correspondente da tabela abaixo:
O objetivo principal é que, utilizando as identidades trigonométricas, possamos eliminar o radical e proceder ao cálculo comum da integral. Salienta-se que, ao utilizar-se essa técnica, aparentemente vamos ficar com uma integral mais complexa do que a original mas, no final, tudo será mais simples de resolver.
Como exemplo, vamos encontrar 
Graças à tabela de substituições trigonométricas acima, sabemos que x = 2senθ e dx = 2cosθdθ. Realizando tais substituições na equação original, a mesma se transforma em:
Que aparentemente é algo bem mais complicado que a anterior! No entanto, o “truque” da substituição trigonométrica vem agora: vamos colocar o 4 que está no radical em evidência e usar a identidade fundamental cos² x + sen² x = 1 e, com isso, obtemos:
Agora, temos um termo que pode sair pra fora do “asqueroso” radical! Retirando esse termo e fazendo as demais adaptações convenientes, temos que:
Finalmente, como todos nós sabemos (cof, cof) que 1/sen θ =cossec θ, podemos realizar uma última substituição e, finalmente, encontrar um valor para a integral procurada:
Bom, enfim terminamos a tarefa, mas se você prestou atenção, deve ter notado que a questão original pedia para calcularmos a integral em termos de x, mas acabamos calculando-a em termos de θ! Nada muito grave, pois através da trigonometria, podemos facilmente deduzir que:
  
e, portanto, a resposta final será: 
.
Integração por Substituição Trigonométrica
Há meios diferentes para integrar uma função e para cada integral, devemos identificar qual o melhor dos métodos a aplicar. Somente resolvendo diversos exemplos para podermos nos familiarizar com cada um desses métodos.
No caso de integração por substituição trigonométrica, um integrante que contenha uma das formas:
sendo a uma constante positiva e não tendo nenhum outro fator irracional, pode ser transformado numa integral trigonométrica mais familiar, utilizando substituições trigonométricas ou com o emprego de uma nova variável.
Para os três casos acima, utilizamos as identidades trigonométricas:
Vamos ver cada um desses casos separadamente.
Caso I: Para uma integral que envolva um radical do tipo , fazemos a mudança de variável de x para θ. A substituição deve ser apropriada e fica melhor observada no triângulo retângulo:
Temos que:
Assim,  substitui  por , pois:
E pela identidade trigonométrica dada em (1), obtemos:
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:
Justificando a substituição.
Caso II: Para uma integral que envolva um radical do tipo , fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:
 
Temos que:
Assim,  substitui  por , pois:
E pela identidade trigonométrica dada em (2), obtemos:
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:
Justificando a substituição.
Caso III: Para uma integral que envolva um radical do tipo , fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando o triângulo retângulo:
Temos que:
Assim,  substitui  por , pois:
E pela identidade trigonométrica dada em (3), obtemos:
Extraindo a raiz de ambos os membros da equação acima, obtemos:
Justificando a substituição.
Com base nos resultados obtidos, podemos montar uma tabela:
Vejam que, para representar graficamente as substituições sugeridas no triângulo retângulo, o radical ficará sempre no lado do triângulo que não é utilizado pela relação trigonométrica:
Caso I: Usa-se x = a sen(θ); logo, o radical aparece no cateto adjacente a θ.
Caso II: Usa-se x = a tg(θ); logo, o radical aparece na hipotenusa.
Caso III: Usa-se a sec(θ); logo, o radical aparece no cateto oposto a θ.
Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método.
Exemplo 1: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Devemos agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, devemos encontrar as relações trigonométricas que aparecem no resultado acima. Assim:
Assim:
Exemplo 2: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Vamos, agora, reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo, encontramos as relações:
Assim:
Como C é uma constante arbitrária e ln(a) também é uma constante, podemos reescrever o resultado como:
Exemplo 3: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Vamos reescrever o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo encontramos as relações:
Assim:
Exemplo 4: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo I. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Agora, reescrevemos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos a relação:
Assim:
Exemplo 5: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo II. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Reescrevendo o resultado em termos da variável x e utilizando as relações observadas no triângulo retângulo, fazemos:
Assim:
Exemplo 6: Calcule a integral abaixo:
Esta é uma integral do tipo III. Vamos fazer a representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Vejam aqui como integrar cos2(θ).
Agora, representamos o resultado em termos da variável original x. Observando o triângulo retângulo, encontramos as relações:
Assim:
Substituição Trigonométrica
Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria 
É fácil de perceber, que as funções  e  podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:
Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por 
Resultando em:
Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:
 para , sendo a uma constante positiva.
 para , com a > 0
 para , sendo a maior do que zero, constante.
Substituição inversa: Deve ser ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.
 , 
Exemplo
Considere a integral  usando a substituição , obtem-se 
A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes
Voltando a equação original
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo  para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a  igual a , consequentemente o cateto adjacente ao ângulo valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
O ângulo  pode ser expresso como Obtendo assim como resposta final:
Cálculo (Volume 1)/Técnicas de integração
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:
Se ,
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logaritmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
Assim:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.
Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais
Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:
Considerando as partes:
e:
Substituindo na fórmula de integração por partes:
O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:
Portanto:
Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2
Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:
Podemos fazer:
E aplicar a integração por partes:
E finalmente:
Com C constante.
Por substituição trigonomética
A existência de relações algébricas que nos levam a arcos nos traz a possibilidade de converter uma expressão algébrica, conseqüentemente uma função algébrica, em uma função trigonométrica. A possibilidade de lidar com certas funções de forma trigonométrica nos leva à utilizar os artifícios das identidades para a simplificação dessas.
Transformando expressões algébricas em trigonométricas
Três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para a simplificação de algumas funções, elas são:
Sendo "a" constante.
Note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os lados de um mesmo triângulo: , se escolhermos um par (variável,constante) e substituirmos na equação teremos as expressões acima como resultantes, teremos uma variável dependente para cada par (variável,constante), por exemplo: se fizermos ,  e  teremos a expressão (2) como resultante (y).
Imagine que temos uma nova variável  e que:
Sendo: 
Podemos dizer que:
Portanto:
 quando e 
O exposto acima encontra respaudo no fato de que a expressão é simplesmente a tradução da relação métrica de um triângulo retângulo para definição do cosseno a partir do seno, como segue:
Se fizermos a comparação entre as funções e o gráfico acima, substituindo as variáveis e constantes de acordo com a função dada, teremos o seguinte:
Na função  é uma tangente;
Na função  é um seno;
Na função  é uma secante.
O que nos dá as substituições:
	Expressão
	Substituição
	
	
	
	
	
	
A substituição trigonométrica na integração
Agora, considere o fato de que a função  tem como integral a função , então podemos fazer:
Uma vez, que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos  temos:
então:
Temos que encontrar :
O que nos revela algo interessante:
Ou seja:
Logo:
Exemplo 7 - Substituição por seno
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Fazendo a transformação de variáveis:
A integral será:
Como:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 8 - Substituição por secante
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
 
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 9 - Substituição por tangente
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto: