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INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 1 FORMAÇÃO ESPECÍFICA – QUESTÕES OBJETIVAS Questão 1 - A densidade populacional (em pessoas por milha quadrada) de uma cidade costeira pode ser modelada pela seguinte função 𝑓(𝑥,𝑦) = 15 000(𝑥+1)2 , em que x e y são medidos em milhas. Nessas condições, pode se afirmar que a população no interior da área retangular definida pelos vértices (0,0), (0,2), (2,0) 𝑒 (2,2) está mais próxima de: A) 14 000 habitantes B) 16 000 habitantes C) 20 000 habitantes D) 36 000 habitantes Questão 2 - Um reservatório de base retangular 𝐷 tem seu formato modelado conforme representado na figura a seguir Qual das integrais abaixo expressa corretamente a capacidade do reservatório em 𝑚3? A) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦4311 B) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦43 C) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥4321 D) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥21 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2 Questão 3 - A carga elétrica total líquida 𝑄 existente em uma superfície 𝑅 pode ser determinada se se conhece a distribuição superficial de carga 𝜎(𝑥,𝑦), bastando efetuar-se o cálculo 𝑄 = �𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 em que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦𝑑𝑥. Uma lâmina fina, com superfície retangular, apresenta densidade superficial de carga dada por 𝜎(𝑥,𝑦) = 𝑒−𝑥 sin 𝑦 coulombs por metro quadrado, e está situada na região 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ π} Tendo em conta que 𝑥 e 𝑦 são medidos em metros, a carga elétrica total acumulada nessa lâmina é (A) 2 − 2 𝑒 (B) 2−2𝑒 2 (C) − 2 𝑒 (D) 0 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 Questão 4 - Em uma cidade delimitada por uma região triangular (𝐴𝐵𝐶), a elevação em quilômetros acima do nível do mar no ponto (𝑥,𝑦) é modelada por: 𝑓(𝑥,𝑦) = 0,25 − 0,025𝑥 − 0,01𝑦, em que x e y são dados em quilômetros. Nessas condições, é correto afirmar que a elevação média da cidade está mais próxima de: A) 100 metros B) 200 metros C) 300 metros D) 400 metros Questão 5 - Uma placa fina cobre a região triangular de vértices (0,0); (1,0) 𝑒 (0,1). A densidade da placa é de 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑥(1+𝑦) 2 . Determine a massa desta placa. A) 1 8 B) 5 48 C) 7 24 D) 1 6 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 4 Questão 6 - Se 𝑑(𝑥,𝑦) = 102𝑥𝑒𝑦 representa a densidade ratos em uma ilha, onde x e y são medidos em quilômetros, determine a quantidade de ratos que vivem em uma região delimitada por 𝑥 = 0, 𝑥 = �𝑦, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 1. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 Questão 7 - Numa galeria de arte será reservada uma área para exposição de obras de arte de Picasso . Um engenheiro fez um projeto que limitou a região para esta exposição pelas curvas 𝑦 = −𝑥2 + 14𝑥 − 40 e 𝑦 = 5. Podemos afirmar que a integral dupla que representa tal área assim como o valor desta área em metros quadrados correspondem respectivamente a: (A) 𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥2+14𝑥−40595 𝑒 𝐴 = 5183 (B) 𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥2+14𝑥−40595 𝑒 𝐴 = 323 (C) ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 = 50 3 −𝑥2+14𝑥−40 0 5 0 (D) ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 = 220 3 −𝑥2+14𝑥−40 0 5 0 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Questão 8 - Uma função densidade de probabilidade conjunta 𝑓 de duas variáveis deve satisfazer as condições: (I) 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 (II) ∫ ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1∞−∞∞−∞ para todo (𝑥,𝑦) ∈ 𝐑2 Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = � 𝐾𝑒𝑦 𝑥⁄ 𝑠𝑒 12 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑒 𝐑2 �. Nessa função, o valor da constante 𝐾 para que 𝑓 satisfaça a condição (II) acima deve ser igual a (A) 2 2√𝑒−𝑒 (B) 2√𝑒−𝑒 2 (C) 8 3𝑒−4√𝑒 (D) 3𝑒−4√𝑒 8 Questão 9 - – Uma empreiteira foi contratada para a construção de um túnel. É exigência do contratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto, tenha o formato de um cilindro parabólico de equação 𝑧 = 10 − 0,001𝑥2, onde x e z são medidos em metros, que a pavimentação (a estrada) esteja no plano xy, que tenha 100m de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60m de largura e que o canteiro central que separa a via de ida da volta, esteja sobre o eixo y. O engenheiro responsável pelo projeto solicitou a outro membro de sua equipe a determinação exata do volume deste túnel, para poder definir a quantidade de equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para dentro do túnel, necessário a diluição de poluentes. Qual volume, em m3, foi encontrado? (A) 40.000 (B) 52.800 (C) 58.200 (D) 133.333 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 6 Questão 10 - Uma carga elétrica é distribuída sobre uma placa 𝑅 = �(𝑟, 𝜃)/ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 4 ; 1 ≤ 𝑟 ≤ 2�. A densidade da de carga é de 𝛿(𝑥,𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔 �𝑦 𝑥 � (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual é a carga total da placa? A) 1 64 𝜋2 C B) 3 64 𝜋2 C C) 5 64 𝜋2 C D) 7 64 𝜋2 C Questão 11 - A secção transversal de uma peça, utilizada no acabamento interno de um veículo, compreende a região do plano, limitada pelo eixo y e pelas circunferências, θsenr 4= e θcos4=r . Considerando as medidas em cm , qual será á área da referida secção? (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 7 Questão 12 -. Uma bala de uma determinada arma de guerra foi modelado por um engenheiro e limitado pelo plano 𝑥𝑦 e pela superfície 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2. Como a quantidade desta munição a ser produzida era muito elevada calculou- se seu volume de cada bala. Podemos afirmar que tal volume é de? .(A) 2𝜋 (B) 4𝜋 (C) 6𝜋 (D) 8𝜋 Questão 13 - O valor médio de uma função 𝑓 de duas variáveis, em uma região 𝑅 contida em seu domínio, é dado por 1 𝐴(𝑅)�𝑓(𝑥,𝑦) 𝑅 𝑑𝐴 em que 𝐴(𝑅) é a área de 𝑅. Uma lâmina circular, de raio 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, está localizada no plano cartesiano 𝑥𝑦, com centro na origem. Se a densidade de massa (medida em 𝑘𝑔/𝑚2) em cada ponto (𝑥,𝑦) dessa lâmina é igual ao triplo da distância do ponto à origem, então a sua densidade média é (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 16𝜋 Questão 14 - As coordenadas ),( yx do centro de massa de uma lâmina ocupando uma região D e tendo função densidade ),( yxρ são ∫∫= D dAyxx m x ),(1 ρ ∫∫= D dAyxy m y ),(1 ρ Onde ∫∫= D dAyxm ),(ρ INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 8 Considere D, a região triangular de vértices, (1, 1), (3, 1) e (3, 3) e a lâmina que ocupa esta região com função densidade constante, 3),( =yxρ . Nestas condições, a coordenada, x , será: (A) 8/3 (B) 7/6 (C) 4/3 (D) 7/3 Questão 15 - As coordenadas do centro de massa de uma lâmina com densidade de massa 𝜌(𝑥, 𝑦) podem ser calculadas utilizando os primeiros momentos, 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦, e a massa 𝑚, calculada como 𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 . Os momentos são dados por 𝑀𝑥 = �𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 e 𝑀𝑦 = �𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 𝑅 e as coordenadas, por�̅� = 𝑀𝑦 𝑚⁄ e 𝑦� = 𝑀𝑥 𝑚⁄ . Se uma placa metálica fina está no primeiro quadrante do plano 𝑥𝑦, abaixo da curva 𝑦 = sin 𝑥 e contida no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, apresentando uma densidade de massa constante e igual a 16, indique abaixo a relação correta entre a abscissa �̅� e a ordenada 𝑦� do seu centro de massa. (A) �̅� = 𝜋𝑦� (B) 𝑦� = 𝜋�̅� (C) 𝑦� = 4�̅� (D) �̅� = 4𝑦� INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 9 Questão 16 - Determine a massa de um sólido com densidade constante, isto é, ρρ =),,( zyx e é limitado pelo cilindro parabólico 2yx = e pelos planos ,1 e 0 , === xzzx conforme figura abaixo: (A) ρ 5 4 =m (B) ρ 5 3 =m (C) ρ 5 2 =m (D) ρ 5 1 =m Questão 17 - A integral tripla pode ser utilizada para determinar o volume de alguns sólidos. O volume da região entre cilindro z = y2 e o plano xy que é delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = - 1 e y = 1, é igual a (A) (B) (C) 6 1 (D) 12 1 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 10 Questão 18 - O tetraedro é um sólido geométrico composto por quatro faces triangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. Pedro precisa calcular ∫∫∫EzdV , onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatros planos 0,0,0 === zyx e ,1=++ zyx conforme abaixo (Figura 1). Ao lado foi dada a projeção do tetraedro no plano xy (Figura 2). O resultado obtido por Pedro foi? Figura 1 Figura 2 (A) 24 1 (B) 24 1 − (C) 12 1 (D) 12 1 − INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 11 Questão 19 - Foi dado o seguinte sólido: A integral que calcula o volume de tal sólido é: (A) ∫ ∫ ∫ − −−1 0 1 0 1 0 y yx dzdxdy (B) ∫ ∫ ∫ − −−1 0 1 0 1 0 x yx dzdxdy (C) ∫ ∫ ∫ −−1 0 1 0 1 0 yx dzdxdy (D) ∫ ∫ ∫ − −− 1 0 1 0 1 1 x yx dzdydx Questão 20 - Para desenvolver um certo protótipo é necessário fazer o seguinte cálculo .1 1 1 1 2 3 dxdydz xyz e e e ∫ ∫ ∫ Qual será o valor obtido? (A) 6e (B) 16 −e (C) 12 (D) 6 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 12 Questão 21 - Pode-se afirmar que o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 como da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 é igual a (A) 4 3 𝜋(8 − 33 2� ) (B) 2 3 𝜋(8 − 33 2� ) (C) 5 3 𝜋(8 − 33 2� ) (D) 𝜋(8 − 33 2� ) Questão 22 - Um sólido tem a forma da região delimitada pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑥𝑦. A densidade em 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) é proporcional à distância de 𝑃 até a origem. Em coordenadas cilíndricas podemos encontrar a massa por meio da integral (A) M= ∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟20102𝜋0 r dz dr d𝜃 (B) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟2010𝜋20 r dz dr d𝜃 (C) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟2010𝜋0 r dz dr d𝜃 (D) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2)121−𝑟2𝑟102𝜋0 r dz dr d𝜃 Questão 23 - Um reservatório para armazenamento de água é constituído por um corpo cilíndrico e um tampo curvo. O reservatório ocupa a região do espaço limitada pelo plano xy, pelo parabolóide de equação, 228 yxz −−= , e pelo cilindro de equação, 422 =+ yx . Nestas condições, o volume do reservatório será. (A) 340π (B) π24 (C) 380π (D) π36 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 13 Questão 24 - Para resolver um determinado problema é necessário fazer o seguinte cálculo: Vdyx E∫∫∫ + .)( 22 , onde E é a região sólida e a sua projeção sobre o plano xy é o disco ,422 ≤+ yx conforme figura abaixo. Qual será o valor obtido? (A) π 3 8 (B) π 5 16 (C) π 3 16 (D) π 5 8 INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 14 Questão 25 - Todas as aplicações de integrais duplas que foram estudadas no Cálculo de Várias Variáveis podem ser estendidas para as integrais triplas. Na Física, por exemplo: se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é ),,( zyxρ em unidades de massa por unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z) então sua massa é dVzyxm E ∫∫∫= ),,(ρ . Com base nessas informações, a integral tripla que representa a massa de um sólido com densidade 1, delimitado inferiormente pelo disco R: x2 + y2 ≤ 4 no plano z = 0 e superiormente pelo paraboloide z = 4 – x2 – y2 será (A) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 (B) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃40202𝜋0 (C) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 (D) ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 Questão 26 - Um determinado tijolo retangular possui dimensões a, b, c, massa M e densidade constante. O centro deste sólido está localizado na origem e suas arestas paralelas aos eixos coordenados. Nessas condições qual integral representa o momento de inércia em relação ao eixo x? (A) Ix= ∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝑎0𝑏0𝑐0 (B) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑎20𝑏20𝑐20 (C) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑎2−𝑎 2 𝑏 2 − 𝑏 2 𝑐 2 − 𝑐 2 dx dy dz (D) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑐2−𝑐 2 𝑏 2 0 𝑎 2 0 dz dy dx INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 15 Questão 27. A altitude de um certo relevo no ponto (𝑥, 𝑦) é dada pela função ℎ(𝑥, 𝑦). Sabendo-se que ℎ(0,0) = 0 e que ∇ℎ(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦),−𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑦)) podemos afirmar que A) ℎ(3,0) = (6,0). B) ℎ(3,0) = 6. C) ℎ(3,0) = 9. D) ℎ(3,0) = (0,−9). Questão 28 - Partículas movem-se no espaço de modo que o vetor velocidade de cada partícula, num certo instante, depende apenas da posição (𝑥,𝑦, 𝑧) em que ela se encontra. O vetor velocidade na posição (𝑥, 𝑦, 𝑧) é 𝑉(𝑥,𝑦, 𝑧) =(𝑒𝑥(𝑦2 − 𝑧), 𝑒−𝑥(𝑧 − 𝑦4),𝑥 − 𝑦). Podemos então afirmar que só permanecem paradas as partículas que estiverem nas posições A) (1,1,1) e (−1,−1,1). B) (0,0,0), (1,1,1) e (−1,−1,−1). C) (0,0,0) e (1,1,1). D) (0,0,0), (1,1,1) e (−1,−1,1). INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 16 FORMAÇÃO ESPECÍFICA – QUESTÕES DISSERTATIVAS Questão 1 - Uma empresa vende dois produtos (A e B) em que a quantidade vendida de cada um em função do preço de comercialização é dada por: 𝑥 = 500 − 3𝑎, em que 𝑥 é a quantidade de produtos A vendida e 𝑎 é o preço cobrado por unidade de A. 𝑦 = 750 − 2,4𝑏, em que 𝑦 é a quantidade de produtos B vendida e 𝑏 é o preço cobrado por unidade de B. Sabendo que a receita total da empresa, em reais, é dada por: 𝑅 = 𝑥.𝑎 + 𝑦.𝑏 Determine o valor médio da receita para quando o preço de A variar entre 5 e 10 reais e o preço de B variar entre 0 e 2 reais. Questão 2- Um engenheiro projetou uma peça para uma determinada estrutura. O sólido tridimensional representado na figura abaixo foi delimitado sob a superfície 𝑧 = 𝑒−𝑥𝑒−𝑦 e acima do triângulo cujos vértices estão em (0, 0), (1,0) e (0,1). Utilize integral tripla para determinar o volume deste sólido. INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 17Questão 3 – Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟒 de modo que a densidade de carga em um ponto (𝒙,𝒚) seja dada por 𝝈(𝒙,𝒚) = 𝒙 + 𝒚 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 (medida em coulombs por metro quadrado). Qual a carga total no disco? Questão 4 - Uma lâmina fina tem sua forma determinada pela região delimitada por 𝑦 = 𝑥/2 ,𝑦 = 3 − 𝑥, 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2. Se a densidade da placa dada por 𝛿(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦. Encontre seu centro de massa em relação aos eixos coordenados. Questão 5 - Determine o volume do sólido delimitado inferiormente por z = 3 − y 2 , superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que contorna a região R delimitada por y = x2 e y = 4. Questão 6 - Determine a massa do sólido, com densidade 𝛿 = 1, delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 4, delimitado superiormente pela paraboloide z = x2 + y2 e delimitado inferiormente pelo plano xy. Questão 7 - Uma fábrica de produtos químicos possui um tanque usado durante o processo de misturas de substâncias. Este tanque possui uma tampa metálica com densidade de massa igual a 1 kg/m2 e tem o formato de uma calota. Adotando um sistema de coordenadas retangulares, a tampa deste tanque pode ser descrita pela superfície delimitada por 1222 =++ zyx e z = 0. Use uma integral tripla para encontrar a massa da tampa. INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 18 Questão 8 - Um dispositivo mecânico possui um sistema pendular. A esfera do pêndulo é metálica e tem densidade de massa igual a1kg/m2. Este sistema tem a função de fazer um contra peso quando o dispositivo estiver em funcionamento. Determine o momento de inércia da esfera do pêndulo, em relação ao seu diâmetro vertical, supondo que a esfera tem representação cartesiana 1222 =++ zyx . Questão 9 - Um tanque de armazenagem está completamente cheio de grãos. A densidade de massa deste tanque cheio é constante igual 4kg/m2. Adotando um sistema de coordenadas retangulares, o tanque assemelha-se à superfície acima de 22 yxz += e abaixo de 4=z . Ache o centro de massa deste tanque. Questão 10 - Determine os momentos de inércia para um cubo com densidade constante k e lados de comprimento L se um vértice está localizado na origem e três arestas estão nos eixos coordenados. Questão 11. Partículas movem-se no plano sob a ação do campo de velocidades 𝑉(𝑥,𝑦) = (2,3𝑥2). A trajetória �𝑥(𝑡),𝑦(𝑡)� da partícula que no instante 𝑡 = 0 passa no ponto (0,1), em que ponto estará no instante 𝑡 = 2? Questão 12 - Calcular o trabalho realizado pela força constante 𝑓 = 𝚤 − 𝚥 para deslocar uma partícula ao longo da reta 𝑥 + 𝑦 = 2 de 𝐴(0,2) até 𝐵(2,0). INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 19 Questão 13 - Calcular o trabalho realizado pela força constante 𝑓 = (𝑦, 𝑧,𝑥) para deslocar uma partícula ao longo da hélice 𝑟 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑡) de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 𝜋. Questão 14 - Um arame com o formato de um semicírculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo. Encontre as coordenadas do centro de massa deste arame, considerando a densidade linear em qualquer ponto 𝜌(𝑥, 𝑦) = 4(1 − 𝑦). Gabarito das questões objetivas 1 – C 2 – C 3 – A 4 – A 5 – B 6 – D 7 – B 8 – C 9 – C 10 – B 11 – B 12 – B 13- B 14 – D 15 – D 16 – A 17 – A 18 – A 19 – A 20 – D 21 – A 22 – A 23 – B 24 – B 25 – C 26 – C 27 – C 28 - D INSTITUTO POLITÉCNICO - Centro Universitário UNA LISTÃO - CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 20 Respostas das questões dissertativas 1. R$ 4321,80. 2. 𝑉 = −2𝑒−1 + 1 𝑢.𝑣 3. 8𝜋 Coulombs 4. (3/4 , 3/2) . 5. 224 5 6 - 8𝜋 7. 3 2π =m unidades de massa 8. 15 8π =zI 9. Centro de massa �0, 0, 8 3 � 10. I𝑥 = I𝑦 = I𝑧 = 2𝐾𝐿53 11. No ponto (4,33). 12. 𝑇 = 4 13. 𝑇 = −𝜋 2 − 4 14. �0, 4−𝜋 2(𝜋−2)�
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