Lista 1 Álgebra II

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1a Lista de A´lgebra II - IM - UFRJ
1. Mostre que num anel A sa˜o u´nicos o elemento neutro aditivo, o elemento neutro
multiplicativo e o inverso aditivo.
2. Seja p um nu´mero primo e A = {m
n
∈ Q|mdc(p, n) = 1} . Mostre que A e´ um
anel com as operac¸o˜es usuais de frac¸a˜o.
3. Mostre que o conjunto C[0, 1], das func¸o˜es cont´ınuas no intervalo [0, 1] em R, e´
um anel com as operac¸o˜es usuais de soma e produto de func¸o˜es. Mostre tambe´m
que este anel possui divisores de zero.
4. Mostre que o anel Zn e´ corpo se e somente se n e´ primo. Determine o inverso de
cada um dos elementos de Z5∗ = Z5\{0¯} e Z7∗.
5. Considere p um nu´mero primo e Q[√p] = {a+ b√p | a, b ∈ Q} com as operac¸o˜es
usuais de soma e produto.
i) Mostre que Q[√p] e´ um corpo.
ii) Conclua que existem infinitos corpos K satisfazendo Q ⊆ K ⊆ R.
iii) Se p=7, calcule o inverso dos elementos 3+2
√
7 e 4−√7. Tambe´m determine
(3− 5√7) ∗ (1 + 6√7) no corpo Q[√p].
6. Mostre que o anel comutativo A e´ um domı´nio se e somente se ∀a, b, c ∈ A com
a 6= 0 a relac¸a˜o ab = ac implica b = c.
7. Seja A um anel tal que x2 = x,∀x ∈ A. Mostre que o anel e´ comutativo.
8. Seja D um domı´nio e a ∈ D∗. Prove que a func¸a˜o φa : D → D, φa(x) = ax e´
injetiva. Use este fato para provar que todo domı´nio finito e´ um corpo.
9. Considere o conjunto Q[i] = {a + bi| a, b ∈ Q, i2 = −1}. Mostre que Q[i] e´ um
corpo com as operac¸o˜es de soma e produto herdadas dos complexos.
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