Lista 5 Álgebra II

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5a Lista de A´lgebra II
1. Mostre que a composic¸a˜o de homorfismos e´ ainda um homorfismo.
2. Mostre que os u´nicos ideais de um corpo K sa˜o o {0} e K. Conclua que qualquer
homorfismo definido de K num anel B, ou e´ identicamente nulo ou e´ injetivo.
3. Determine todos os homomorfismos de Q em Q.
4. Considere I o ideal gerado por 2 no anel Z10, determine o anel quociente Z10/I.
5. Seja φ : R → M2x2(R) um homomorfismo de R no anel das matrizes dois por
dois com entradas reais definido por: φ(x) =
(
x 0
0 0
)
. Mostre que φ e´ um
homomorfismo de ane´is tal que φ(1) 6= 1 e φ(1) 6= 0.
6. Seja ϕ : A → B um homomorfismo de ane´is e I ⊆ A e J ⊆ B ideiais de A e B
respectivamente.
a) Mostre que ϕ(I) e´ um ideal de A.
b) Mostre que se ϕ e´ sobrejetivo, enta˜o ϕ−1(J) e´ um ideal de A contendo Nucϕ.
7. Seja α ∈ C e considere o homomorfismo de evaluac¸a˜o ϕ : Q[x] → C, ϕ(f(x)) =
f(α).
a) Determine Im(ϕ) ⊆ B, a imagem da ϕ e mostre que e´ um domı´nio.
b) Mostre que se α = 7, enta˜o Im(ϕ) = Q.
c) Mostre que se α = 2
√
3, enta˜o Im(ϕ) = {a+ b√3|a, b ∈ Q}.
d) Mostre que se α =
√
2+
√
3, enta˜o Im(ϕ) = {a0+a1
√
2+a2
√
3+a3
√
6|a, b, c, d ∈
Q}.
e) Mostre que o Nuc(ϕ) = {a ∈ A|ϕ(a) = 0} ⊆ A e´ um ideal do anel de
polinoˆmios Q[x].
f) Para cada um dos valores de α acima, determine o nu´cleo do homomorfismo.
g) Use o Teorema dos Isomorfismos, e conclua que o conjuntos imagens obtidos
nos itens b), c) e d) sa˜o corpos contendo os racionais e contidos nos complexos.
8. Seja A um anel e Aut(A) = {φ : A → A |φ e´ um automorfismo de A }. Mostre
que Aut(A) e´ um anel na˜o comutativo com as operac¸o˜es de soma e composic¸a˜o
de func¸o˜es.
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