Lista Transformações Lineares

Prévia do material em texto

MAB 115 - A´lgebra Linear Algor´ıtmica Luziane F. de Mendonc¸a
Lista de Exerc´ıcios - Transformac¸o˜es Lineares
1. Assinale V para verdadeiro e F para falso:
( ) T (x, y, z) = (x, x+ y + z) e´ um operador linear.
( ) T (x, y, z) = (y2, xy, z) e´ um operador linear.
( ) T (x, y) = (0, x) e´ um operador linear.
( ) T (x, y, z) = (1, 1, 1) e´ um operador linear.
( ) T (x, y) = (0, 0) e´ um operador linear.
( ) T (x, y) = (1, 1) e´ um operador linear.
( ) Existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn tal que T (−v) = −T (v) para todo v ∈ Rn.
( ) Existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn tal que T (u + v) = T (u − v) para todo
u, v ∈ Rn.
( ) Existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T : Rn → Rn tal que T (−v) = −T (v) para todo v ∈ Rn.
( ) Se T : Rn → Rn e´ injetora e T (u− v) = 0, enta˜o u = v.
( ) Se T : Rn → Rn, T (x) = Ax, e´ tal que det(A) = 0, enta˜o T na˜o e´ injetora nem sobrejetora.
( ) Se T : Rn → Rn na˜o e´ injetora, enta˜o o nu´cleo de T conte´m infinitos vetores.
( ) Se T1 : Rn → Rm e T2 : Rm → Rk sa˜o transformac¸o˜es lineares, com T2 na˜o sobrejetora, enta˜o
T2 ◦ T1 tambe´m na˜o sera´ sobrejetora.
2. Encontre o domı´nio e a imagem das transformac¸o˜es lineares:
(a) T (x1, x2, x3) = (3x1 − 2x2 + 4x3; 5x1 − 8x2 + x3)
(b)
 w1 = 5x1 − x2 + x3w2 = −x1 + x2 + 7x3
w3 = 2x1 − 4x2 − x3
3. Encontre a transformac¸a˜o linear tal que T (1, 0) = (3, 2, 4) e T (0, 1) = (−1, 3, 0).
4. Use a multiplicac¸a˜o por matrizes para encontrar a imagem do vetor x = (3, 4)T de acordo com a
transformac¸a˜o a seguir:
(a) Rotac¸a˜o de 30o em torno da origem.
(b) Reflexa˜o em torno da reta que passa pela origem e faz um aˆngulo de 120o com o semi-eixo positivo
x.
(c) Projec¸a˜o ortogonal sobre a reta encontrada no item (b).
5. Considere o operador T (x, y) = (s, t) definido por{
s = 2x+ y
t = 6x+ 2y
Encontre a imagem da reta x+ y = 1.
6. Com suas palavras, descreva o efeito geome´trico da multiplicac¸a˜o de um vetor (x, y)T por uma matriz[
cos2(θ)− sin2(θ) −2 cos(θ) sin(θ)
2 cos(θ) sin(θ) cos2(θ)− sin2(θ)
]
7. Seja r uma reta no Rn, r = x0 + αv (com x0, v ∈ Rn e α escalar). Se T : Rn → Rm e´ um operador
linear, quais os tipos de objetos geome´tricos a imagem da reta r pode ser?
8. Quais condic¸o˜es a, b e c devem satisfazer para que a matriz seja ortogonal? Os valores de a, b e c sa˜o
u´nicos?
W =
[
a+ b b− a
a− b b+ a
]
9. Dados que matrizes ortogonais preservam a norma, o que podemos falar sobre os autovalores λ de uma
matriz ortogonal?
10. Descreva o efeito geome´trico obtido ao multiplicar um vetor no R2 pela matriz a seguir:
(a)
[
1 0
0 2/3
]
(b)
[
1 0
3 1
]
11. Para cada matriz, determine se a multiplicac¸a˜o por ela promove uma rotac¸a˜o em torno da origem (caso
I) ou uma reflecc¸a˜o em torno de uma reta que passa pela origem (caso II). Se for caso I, encontre o
aˆngulo de rotac¸a˜o; se for caso II, encontre o aˆngulo que a reta faz com o eixo x positivo.
(a)
[
1/2 −√3/2√
3/2 1/2
]
(b)
[
1/2
√
3/2√
3/2 −1/2
]
12. Encontre a matriz associada a` transformac¸a˜o linear:
(a) T : R2 → R2 reflete um vetor em relac¸a˜o a` reta y = −x, depois projeta o vetor resultante sobre o
eixo y, e por fim reduz o tamanho do vetor por um fator 1/2 na direc¸a˜o y.
(b) T : R3 → R3 reflete um vetor em relac¸a˜o ao plano xy, depois reflete o vetor resultante em relac¸a˜o
ao plano xz, e por fim projeta o vetor ortogonalmente no plano yz.
13. Encontre o nu´cleo e a imagem de cada uma das transformac¸o˜es:
(a) T e´ a projec¸a˜o ortogonal do R2 sobre o eixo x.
(b) T : R3 → R3 e´ uma rotac¸a˜o em torno do eixo y
(c) T : R2 → R2 e´ uma contrac¸a˜o T (x) = (1/2)x
14. Encontre o nu´cleo de cada uma das transformac¸o˜es (excreva no formado espac¸o gerado por vetores):
(a) T : R3 → R2; T (x, y, z) = (x+ 2y + z, x− y + z)
(b) T (x) = Ax com A =
 1 0 22 1 −1
1 −1 7

15. Verifique se as transformac¸o˜es sa˜o injetoras e/ou sobrejetoras:
(a)
 w1 = x1 + 2x2 + 3x3w2 = 2x1 + 5x2 + 3x3
w3 = x1 + 8x3
(b)
 w1 = x1 − 2x2 + x3w2 = 5x1 − x2 + 3x3
w3 = 4x1 + x2 + 2x3
16. Sejam T1(x1, x2, x3) = (4x1, −2x1 + x2, −x1 − 3x2) e T2(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, −x3, 4x1 − x3).
(a) Encontre as matrizes A e B associadas a`s transformac¸o˜es.
(b) Encontre as matrizes associadas a`s transformac¸o˜es T2 ◦ T1 e T1 ◦ T2.
17. Use multiplicac¸a˜o de matrizes para encontrar a matriz associada a` composic¸a˜o das transformac¸o˜es
lineares:
(a) Em R2, uma rotac¸a˜o de 90o no sentido anti-hora´rio, seguido por uma reflexa˜o em torno da linha
y = x.
(b) Em R3, uma rotac¸a˜o de 60o no sentido anti-hora´rio, seguido por uma projec¸a˜o ortogonal no eixo
x, seguido por uma reflexa˜o em torno da linha y = x.
(c) Em R3, uma projec¸a˜o ortogonal no plano xz, seguido por uma reflexa˜o em relac¸a˜o ao plano xy.
18. Descomponha a matriz A como um produto de matrizes elementares, e as utilize para descrever o efeito
da multiplicac¸a˜o de um vetor por A:
(a)A =
[
1 −3
4 6
]
(b)A =
[
0 1
1 2
]
19. Encontre a matriz associada a` transformac¸a˜o linear inversa, caso exista.
(a)
{
w1 = x1 + 2x2
w2 = x1 + x2
(b)
 w1 = x1 + 2x2 + x3w2 = 2x1 + x2 + 4x3
w3 = 7x1 + 4x2 + 5x3