AULA 002 Curvas

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Universidade Federal do Oeste da Bahia
Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias
Núcleo de Matemática, Estatística e Probabilidade (NUMEP)
Disciplina: Cálculo Diferencial II Prof.: Lauriclécio Figueiredo Lopes
1 Funções de uma variável a valores em Rn - Curvas (Parte 01)
I Curva Plana
Seja r uma função vetorial contínua em um intervalo I dada por r(t) = (f(t), g(t)) com t ∈ I.
Considere {
x = x(t) = f(t)
y = y(t) = g(t)
(1)
O conjunto dos pontos (x, y) assumidos por r para todo t ∈ I é chamado de Curva Plana.
I Curva Espacial
Seja r uma função vetorial contínua em um intervalo I dada por r(t) = (f(t), g(t), h(t)) com t ∈ I.
Considere 
x = x(t) = f(t)
y = y(t) = g(t)
z = z(t) = h(t)
(2)
O conjunto dos pontos (x, y, z) assumidos por r para todo t ∈ I é chamado de Curva Espacial.
P Teoria Geral
Denotaremos por C a curva dada por r(t), ou seja, C : r(t). Geometricamente a curva C é constituída
dos pontos finais dos vetores r(t0), com t0 ∈ I. A variável t é chamada de parâmetro da curva e a
forma como percorremos a curva C quando t cresce é chamada de orientação da curva.
Dizemos que uma curva C é suave se r′(t0) 6= ~O para todo t0 ∈ I. Se C não é suave para todos os
valores de I, mas existem curvas C1, C2, . . . , Cn suaves em seus domínios tais que C = C1∪C2∪· · ·∪Cn,
diremos que C é suave por partes, ou secccionalemente suave.
Definimos a norma (módulo) de uma curva em um ponto t0 como sendo ||r(t0)|| =
√
r(t0) · r(t0).
Geometricamente ||r(t0)|| representa a distância da extremidade do vetor r(t0) à origem do sistema,
ou seja, a distância do ponto (x(t0), z(t0), z(t0)) a origem do sistema cartesiano. Quando escrevemos
||r(t)|| < M dizemos que todos os pontos de C estão a uma distância menor que M da origem do
sistema.
Seja C uma curva dada por r(t) diferenciável em t0 com r′(t0) 6= ~O.O vetor r′(t0) é um vetor
tangente à curva C no ponto r(t0). A direção/sentido do vetor tangente r′(t0) aponta para o sentido
da orientação da curva C.
A equação da reta tangente à curva C no ponto r(t0) é dada por
rtg(t) = r(t0) + tr
′(t0), com t ∈ R.
O versor tangente (vetor tangente unitário) no sentido da orientação a curva é dado por
T (t0) =
r′(t0)
||r′(t0)||
111 Exercícios 02 ---
Questão 1. Esboce a curva dada por r(t) = (cosh t, senh t), com t ∈ R. Determine a orientação da
curva e a equação da reta tangente no ponto t = 0, ou seja, no ponto P (1, 0).
Questão 2. Para cada item: (i) esboce a curva C dada por r(t), (ii) determine a orientação da
curva, (iii) esboce o vetor tangente (com origem em r(t0), (iv) determine a equação da reta tangente
no ponto r(t0) e (v) determine o versor tangente no sentido da orientação da curso e o versor no
sentido oposta da orientação em r(t0).
(a) C : r(t) = (2 cos t, 2 sen t), com t ∈ R e t0 = pi/6.
(b) C : r(t) = (3t2, 4t3), com t ∈ [−2, 2] e t0 = 1.
(c) r(t) = (t cos t, t sen t, t), com t ∈ [0, 6pi] e t0 = 2pi.
(d) r(t) = (t cos t, t, t sen t), com t ∈ [0, 6pi] e t0 = 2pi.
(e) r(t) = (t, t, sen t), com t ∈ [0, 8pi] e t0 = pi/2..
Questão 3. Seja r(t) diferenciável. Mostre que se ||r(t)|| é constante, então o vetor posição r(t0) é
ortogonal ao vetor tangente r′(t0), ou seja, mostre que r(t0) ⊥ r′(t0).
Questão 4. Esboce a curva das pelas equações paramétricas abaixo, indicando sua orientação, e
determine sua equação cartesiana.
(a) C : r(t) = (−1 + t, 2− t), com t ∈ R.
(b) C : r(t) = (−1 + t2)~i+ (2− t2)~j, com t ∈ R.
(c) C : r(t) = (cos2 t, sen2 t), com t ∈ R.
(d) C : r(t) = t2~i+ t3~j, com t ∈ R.
(e) C : r(t) = (t2 − 4, 1− t), com t ∈ R.
(f) C : r(t) = (x(t), y(t)), em que x(t) = sen t e y(t) = cos 2t, com t ∈ [0, 2pi].
(g) C : r(t) = (cos t,−3 + sen t), com t ∈ [0, 2pi].
(h) C : r(t) = (3 cos t, 2 sen t), com t ∈ [0, 2pi].
(i) C : r(t) = (sec t, tg t), com t ∈ (−pi/2, pi/2).
(j) C : r(t) = (1− t)(1, 2) + t(2, 0), com t ∈ R.
(k) C : r(t) = (1− t)(1, 2) + t(2, 0), com t ∈ [0, 1].
2
Questão 5. Faça o esboço das curvas dada abaixo, indicando sua orientação:
(a) C : r(t) = (2, 1, t), com t ∈ R.
(b) C : r(t) = (2, t, 1), com t ∈ R.
(c) C : r(t) = t~i+ t~j + t~k, com t ∈ R.
(d) C : r(t) = 2 cos t~i+ 3 sen t~j + 5~k, com t ∈ [0, 2pi].
(e) C : r(t) = 3 sen t~i+ 2 cos t~j + 5~k, com t ∈ [0, 2pi].
(f) C : r(t) = 2 cos t~i+ 5~j + 3 sen t~k, com t ∈ [0, 2pi].
(g) C : r(t) = 5~i+ 3 sen t~j + 2 cos t~k, com t ∈ [0, 2pi].
(h) C : r(t) = (t2 − 1, 2, t), com t ∈ [0,∞).
Questão 6. Esboce e parametrize as curvas abaixo, indicando a orientação escolhida.
(a) C é a reta 2x− 3y = 6
(b) C é a parabola x2 = 4ay
(c) C é a circunferência (x− a)2 + (y − b)2 = r2
(d) C é a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(e) C é o ramo da hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1
(f) C é a reta
x− 1
2
=
y + 1
3
+
x− 1
2
.
(g) C é o segmento de reta com extremidade inicial em A(−1, 0, 2) e final em B(2, 3, 3).
(h) C é o segmento de reta com extremidades final em A(−1, 0, 2) e inicial em B(2, 3, 3).
(i) C é o segmento de reta com extremidades final em A(5, 1) e inicial em B(−1, 1).
(j) C é o segmento de reta com extremidades inicial em A(5, 1) e final em B(−1, 1).
(k) C é a parte da circunfência x2 + y2 = 4 que une o ponto A(
√
2,
√
2) ao ponto B(−√2,−√2)
passando pela parte positiva do eixo y (sentido anti-horário).
(l) C é a parte da circunfência x2 + y2 = 4 que une o ponto A(
√
2,−√2) ao ponto B(−√2,−√2)
passando pela parte negativa do eixo y (sentido horário).
(m) C é a parte da circunfência x2 + y2 = 4 que une o ponto A(
√
2,−√2) ao ponto B(√2,√2)
passando pela parte positiva do eixo y (sentido horário).
(n) C é a parte da circunfência x2 + y2 = 4 que une o ponto A(−√2,√2) ao ponto B(√2,√2)
passando pela parte negativa do eixo y (sentido anti-horário).
Questão 7. Seja C a curva dada por r(t) = (2 cos t, 1 + 2 sen t). Determine uma equação para a
reta tangente e uma equação para a reta normal à curva no ponto (
√
3, 2).
Questão 8. Considere a curva definida por σ(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)2), com t > −1.
(a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2).
(b) Dê uma equação cartesiana para a curva, esboçando-a se possível.
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