242662777 Pilares de Pontes pdf

Prévia do material em texto

9.1 
 
CAPÍTULO IX (2002) 
 
9. PILARES DE PONTES (mesoestrutura) 
 
 9.1 Introdução 
 A função dos pilares é transmitir as cargas da superestrutura (carga móvel, peso próprio, 
frenagem, vento, deformações, etc.) para a infra-estrutura(fundações) . 
 Após a determinação dos esforços que atuam nos pilares(esforços no topo dos pilares e 
cargas aplicadas diretamente em seu fuste), objeto desta parte do curso, o dimensionamento(dimensões, 
armaduras) dos pilares é feito da mesma forma que aquela utilizada nas disciplinas de concreto armado. 
 
 9.2 Tipos de Pilares 
 Em geral, os apoios das vigas principais são constituídos, transversalmente, por um conjunto 
de pilares isolados, por um conjunto de pilares ligados por travessa(formando um pórtico transversal), ou 
por parede transversal. 
 Abaixo, são representados alguns tipos de apoio de pontes. 
 
 
a) Pórtico transversal
transversina
travessa
transversina
b) pilares isolados
travessa
c) Pilar parede d) pórtico transversal
 
 Figura 9.1 - Tipos de pilares 
 
 SEÇÕES TRANSVERSAIS DE PILARES: 
 
 
maciças
longitudinal transversalconstante
Parede fina
costante ou
variável
 
 Figura 9.2 - Seções transversais de pilares 
9.2 
 
 
 9.3 Processos construtivos 
 
 a) Formas convencionais, com andaimes. 
 Usuais até 10m 
 b) Formas saltantes (ver Pfeil) 
 
 
estrutura de suporte
da forma
a) forma saltante b) forma deslizante
barra para suporte 
da forma
forma
 
 Figura 9.3 - Tipos de formas 
 
 9.4 Esforços atuantes, direta ou indiretamente, sobre os pilares. 
 Os pilares são submetidos, além das cargas verticais (peso da superestrutura, peso próprio, 
cargas móveis), a esforços horizontais, tais como: 
 
 a) Esforços longitudinais atuantes no tabuleiro 
 - Frenagem e aceleração de veículos 
 - Empuxo de terra e sobrecarga na cortina 
 - Componente longitudinal do vento, calculadas da seguinte forma: 
 . vento na superestrutura = 25% do esforço de vento na direção transversal 
 . vento no veículo = 40% " " " " " " " 
 b) Esforços transversais atuantes no tabuleiro 
 - Vento 
 - Força centrífuga (pontes em curva horizontal) 
 - Impacto lateral (pontes ferroviárias) 
 - Empuxo de terra nas cortinas ( pontes esconsas) 
 c) Esforços devidos a deformações impostas 
 - Efeito da temperatura nas vigas principais 
 - " " retração " " " 
 d) Esforços que atuam diretamente sobre os pilares 
 - Empuxo de terra 
 - Pressão do vento 
 - Pressão d'água 
 
 9.5 Cálculo dos esforços nos pilares 
 
 No caso de pontes em arco ou pórtico, o cálculo dos esforços não pode, em geral, ser 
dividido em dois: superestrutura de um lado, meso e infra-estrutura de outro. Nestes casos a estrutura deve 
ser calculada como um todo. 
9.3 
 
 Nas pontes de vigas, lajes ou celulares, que constituem a grande maioria das obras 
executadas, a separação acima referida pode ser feita, o que simplifica bastante o projeto. A superestrutura 
é assimilada a uma viga contínua articulada na superestrutura (pilares) através dos aparelhos de apoio. 
Essas articulações são admitidas móveis com exceção de uma, admitindo-se uma vinculação isostática. 
 Esse modelo de cálculo (Fig. 9.4) é usado para os efeitos, M,N,V e reações, das cargas 
verticais sobre a superestrutura (tabuleiro, ou estrado). 
 Para efeito das cargas horizontais esse modelo não serve, devendo ser substituído. Admite-
se (Fig. 9.5), usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rígido sobre apoios 
elásticos. Esses apoios elásticos correspondem ao conjunto: aparelho de apoio, pilar, fundação. 
 A seguir são representados os modelos de cálculo: 
 
 a) Modelo de viga contínua, para cálculo dos efeitos(esforços solicitantes e reações) das cargas. 
 verticais sobre a superestrutura. 
 
 
1 2 3
Figura 9.4 - Modelo para cargas verticais
 
 
 b) Modelo de bloco rígido sobre apoios elásticos, para cálculo dos efeitos das cargas horizontais. 
 
 
Figura 9.5 - Modelo para cargas horizontais
F
E k
k k k
ap
enc 2L 3L
k = rigidez do apoio elástico
= apoio elástico
ap = aparelho de apoio
enc = encontro
 horizontais longitudinais
a) Modelo para cargas
vento
k k k
1T 2T 3T
b) Modelo para cargas
horizontais transversais
 
 
 
 9.5.1 Distribuição das ações horizontais longitudinais nos pilares e encontros 
 (tabuleiro contínuo) 
 Nos casos em que a superestrutura se apoia nos pilares e encontros através de aparelhos de 
apoio, a distribuição dos esforços longitudinais entre os pilares é, em geral, estaticamente 
indeterminada(hiperestática). Por exemplo, na estrutura da Fig. 9.6, há 4 reações incógnitas e apenas 1 
equação de equilíbrio. 
 
9.4 
 
 
F1 Fi Fi+1 Fn
F
Fi
Fi
Fi
Fi
Pilar " i "
P1 Pi Pi+1
Pn
 
 Figura 9.6 - Superestrutura sobre aparelhos de apoio 
 
 Utilizando-se o modelo para as cargas horizontais, onde os pilares e seus respectivos 
aparelhos de apoio são considerados apoios elásticos, resulta que a superestrutura submetida a um esforço 
horizontal longitudinal F , sofre um deslocamento ∆ e, conseqüentemente, todos os topos dos pilares 
também se deslocarão de ∆ (Fig. 9.7) . Com isso, a solução do problema se torna simples, bastando para 
tanto o cálculo das rigezas dos apoios elásticos (formado pelo conjunto: pilar e aparelho de apoio) 
 
 
 
F∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
corpo rígido
apoio elástico (pilar + aparelho de apoio)
aparelho de apoio de Neoprene
pilar
∆ = deslocamento produzido pela força F, através da deformação dos apoios elásticos.
 
 
 Figura 9.7 -Modelo de cálculo da distribuição de forças longitudinais entre os 
 apoios elásticos 
 
 
 
 9.5.1.1 Cálculo das rigezas dos apoios elásticos 
 
 Por definição, rigidez é o esforço que provoca deslocamento unitário. Assim, como o topo 
do apoio "i" sofre o deslocamento ∆ , a rigidez ki deste apoio é dada por : ki = Fi / ∆ 
 
 
 
 
Fi ∆
Neoprene
pilar
Rigidez do apoio elástico 
∆ki =
Fi
=
apoio elástico é o conjunto pilar + aparelho de apoio de Neoprene
 
 Figura 9.8 - Rigidez do apoio elástico 
 
 
9.5 
 
 a) Rigidez do pilar 
 
Fi
pilar
dpi
rigidez do pilar = kpi=
Fi
dpi
 
 Figura 9.9 -Rigidez do pilar 
 
Da fig.9.9, tem-se: 
k pi
Fi
pi
=
=
=
=
= ∴ = =
δ
δmas pi
Fi lpi
E piI pi
k pi
E piIpi
lpi
rigidez do
onde
l comprimento do pilar i
I momento de inércia do pilar i
E módulo de elasticidade do pilar i
pi
pi
pi
,
,
3
3
3
3 pilar (9.1)
 
 
 b) Rigidez do aparelho de apoio 
 
δ
γh
Fi
ai
ai
Figura 9.10 - Rigidez do aparelho de neoprene
 
 
kai
Fi
ai
mas pela lei de Ho ke,
Gai
e
Fi
Aai
Fi
GaiAai
pela Fig tem se hai
hai
kai
GaiAai
hai
ai ai
i
ai ai
F
G A
Por to
= = = ∴ =
− =
= =
∴ =
δ γ
τ
τ γ
γ δ δ
,
. . :
( . )tan ,
O
rigidez do aparelho de apoio 
710
9 2
 
 
 c) Rigidez do apoio elástico (pilar + aparelho de apoio) 
 
 Da associação do pilar com o aparelho de apoio resulta (fig. 9.11), 
 
ki
∆
δ δpi ai
 
 Figura 9.11 - Rigidez do apoio elástico ( pilar + aparelho de apoio ) 
 
9.6 
 
∆
∆
= + = + = + − = +
− +
=
=
+
= +
δ δai pi
Fi
kai
Fi
k pi
Fi kai k pi
definindose
k i kai k pi
tem se em cada conjunto pilar aparelho de apoio
Fi k i
k i
kai k pi
rigidez do apoio elástico pilar aparelho de apoio i 
( ) , : ) ,
,
( )
( )
1 1 1 1 1
1
1 1
 (9.3)
onde,
 (9.4) 
 
 
 9.5.1.2 - Força absorvida pelo apoio elástico (pilar+aparelho de apoio) i 
 
 Por equilíbrio, da superestrutura vem,
 F (9.5)
substituindo - se (9.5) em (9.3), tem - se :
 F (9.6)
onde, 
 
= � = � = � =
�
=
�
= +
=
=
Fi k i k i então
F
ki
i
k i
k i
F 
Fi parcela de F absorvida pelo apoio elástico pilar aparelho de apoio i
F força
rigidez do
∆ ∆ ∆, ,
( )
horizontal longitudinal aplicada no tabuleiro (ex. frenagem, vento, etc. )
k i apoio elástico, dada pela expressão (9.4)
 Note - se que a distribuiçã o da carga F, que atua no tabuleiro, para os apoios elásticos 
ocorre na proporção de suas rigezas.
 
 Deve-se também observar que, caso o apoio elástico seja constituído por mais de um pilar, 
na direção transversal, a carga absorvida por cada pilar será igual a (Fi / n), onde n é o número de pilares 
naquele apoio elástico. Pois, na dedução da expressão (9.6) foi considerado, no equilíbrio, que o apoio 
elástico continha, na direção transversal, apenas um pilar (ver eq. (9.5)). Se, o apoio fosse constituído por 
"n" pilares, ele absorveria, considerando F
 i a força absorvida por cada pilar do apoio, nFi , 
conseqüentemente, o equilíbrio seria escrito da seguinte forma: F=###nFi . Portanto, a carga em cada pilar 
seria: 
 
F
n
k
k
F
F
n
F
i
i
i
i i
=
=
1
1
Σ
substituindo - se na expressão acima a eq.(9.6), tem - se:
 ...... c.q.d.
 
 
 9.5.1.3 - Caso de deformações impostas(retração, temperatura, protensão). 
 
 Estes casos não se incluem no procedimento de cálculo visto anteriormente, pois não há 
força resultante aplicada na superestrutura, apenas deformações longitudinais impostas. 
 Para efeito de projeto, considera-se a variação de temperatura e a retração reunida numa 
única variação de temperatura equivalente: 
 
 ∆T f iaçãoeq = (var de temperatura, retração) 
9.7 
 
 Em geral, admite-se uma variação de temperatura ∆T Ceq o= ±25 , que engloba a variação de 
temperatura e a retração. 
 
 Sob a ação da retração, o tabuleiro se encurta. Sob a ação da temperatura o tabuleiro encurta 
ou se alonga, conforme a temperatura diminui ou aumenta. Dada a sua ligação com o tabuleiro, os pilares 
são obrigados a acompanhar esses movimentos, resultando esforços aplicados nos topos dos pilares. 
 Se todos os apoios forem elásticos, os movimentos de alongamento ou de encurtamento do 
tabuleiro se processam nos dois sentidos da direção longitudinal do tabuleiro, e há, evidentemente, um 
plano vertical transversal, no qual o deslocamento é nulo. Considerando-se esta propriedade, o 
deslocamento oiδ em um apoio elástico "i" é função da sua distância até o plano de deslocamento nulo. 
Obtido o deslocamento oiδ , o esforço correspondente a esse deslocamento é dado por : Fi = ki oiδ . 
 
 A solução desse problema se obtém superpondo-se duas soluções: uma em que se aplica 
∆Teq à superestrutura com uma extremidade fixa (deslocamento nulo, com isso, os deslocamentos e os 
esforços correspondentes nos topos dos apoios elásticos são determináveis)e outra em que se devolve à 
superestrutura a reação do apoio (Fig. 9.12) . 
 
 Portanto, o problema é resolvido da seguinte forma: 
 
FoFo
∆Teq
∆Teq
xi
oiδ onδo1
δ
k1 k ki n
FonFo1 Foi
δ δ δo1 oi on= α ∆ Teq xi
Fi∆F1∆ Fn∆
apoio introduzido
r)
a) b)
estrutura real submetida a variação de temperatura ∆Teq,
estrutura com apoio introduzido e com ∆Teq estrutura submetida à força Fo
Fi FnF1
 
 
 Figura 9.12 - Forças nos apoios elásticos devido a ∆Teq 
 
 
 a) Efeito de ∆Teq , com extremidade fixa (Fig.9.12a) 
 
 Sendo o deslocamento da extremidade da superestrutura nulo, então, o deslocamento 
do topo do apoio "i" , devido à variação de temperatura, é dado por : 
 
 δ αoi Teq xi= . .∆ (9.7) 
onde, 
 α = coeficiente de dilatação térmica , para o concreto, α = − −10 5 1oC , 
 ∆Teq = variação de temperatura equivalente à retração e temperatura, 
 xi = distância da extremidade fixa até o apoio "i" . 
 A força no topo do apoio "i" devido ao deslocamento oiδ , produzido por ∆Teq , é 
dada por, 
 F k T xoi i eq i= . . .α ∆ (9.8) 
9.8 
 
 
Por equilíbrio, da estrutura da Fig.9.12a, tem-se: 
 
 Fo = � oiF (9.9) 
 
Substituindo-se (9.8) em (9.9), resulta, 
 
 ix.eqT..ikoF ∆α�= (9.10) 
 
 
 b) Efeito da devolução de Fo à estrutura 
 
 
 A força no apoio "i" , devido a Fo , é dada por ,
 ∆
Σ Σ
Σ ∆
Σ
∆ Σ ∆ Σ
Σ
F k
k
F k
k
k T x k
k
T k x k T k x
ki
i
i
o
i
i
i eq i
i
i
eq i i i eq
i i
i
= = = =( . . . ) . . . . . . .α α α (9.11) 
 
 
 c) Superposição dos efeitos 
 
F F Fi oi i= + ∆ (9.12) 
 
 Substituindo-se (9.8) e (9.11) em (9.12) tem-se o esforço no apoio "i”: 
 
 
 F k T x k x
ki i eq i
i i
i
= −. . .( . )α ∆ Σ
Σ
 (9.13) 
 
 
onde, 
 
 Fi = força correspondente a cada aparelho de apoio , pois, nasce caso não foi utilizado a equação 
 de equilíbrio, e só depende da deformação produzida pela variação de temperatura no 
 aparelho de apoio. 
 ki = é a rigidez do conjunto (aparelho de apoio + pilar) 
 xi = é a distância da origem "o" , do sistema de coordenadas oxy, colocada na extremidade da 
 viga com deslocamento nulo, até o apoio "i". 
 
 
 
 9.5.2 - Distribuição de esforços horizontais transversais nos pilares 
 (tabuleiro contínuo) 
 
 
 Neste caso, também, pode ser considerada a superestrutura como rígida apoiada 
sobre apoios elásticos (aparelho de apoio + pilar), devido à grande rigidez das lajes no plano horizontal. 
 
 Nas Figs. 9.13a 9.13c representam-se tabuleiros solicitados por esforços horizontais 
transversais. 
9.9 
 
a) Ponte reta(cortina perpendicular ao eixo)
Fc
E
E
w
w(vento)
(força centrífuga)
(empuxo)
pilar
tabuleiro
b) Ponte curva horizontal
w
E
E
c) Ponte esconsa
α
xi
α x i
Pi
d) Deslocamento do pilar Pi provocado pela rotação
α do tabuleiro em torno do ponto "o" 
o
 
 
 Figura 9.13 - Forças horizontais transversais 
 
 Essas ,ações referidas a um ponto "o"do plano horizontal, produzem os esforços 
resultantes Fres e Mres , respectivamente, força e momento fletor resultantes. 
 Considerando-se, inicialmente, apenas a ação do momento Mres, o tabuleiro gira em 
torno de um ponto "o",de um ângulo α, provocando em cada pilar um deslocamento αxi e, 
conseqüentemente, uma força Fi = ki.α.xi . 
 Do equilíbrio do tabuleiro, sem considerar a força Fres, resulta: 
 
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ
F F k x k x
M F x k x k x M
i i i i i
i i i i i i res
= � = = =
= � = = =
0 0
0 2 2
. . .
. . .
α αΣ
α αΣ(9.14)
 (9.15)
 
 
 As equações (9.14) e (9.15) são idênticas àquelas da flexão simples da Resistência 
dos Materiais, deduzidas a seguir (Fig.9.14): 
 
LN
CG
dA
M
σy y σy = c.y
onde,
c = coeficiente de
proporcionalidade
y
x
 
 Figura 9.14 - flexão simples 
 
 Por equilíbrio, tem-se: 
 
9.10 
 
 (9.16)
 (9.17)
Σ
Σ
F dA c y dA
M dA y c y dA M c M
y dA
M
I
y= � = =
= � = = � = =
� �
� �
�
0 0
0 2 2
σ
σ
. .
. . .
.
 
Das eqs. (9.16) e (9.17) resultam, respectivamente: 
 y dA. = �� 0 momento estático nulo ( origem "o" do sistema de eixos oxy em que o momento 
estático é nulo corresponde ao centro de gravidade (CG) da seção transversal); 
 σy
M
I
y= �. onde, I = momento de inércia em relação ao CG da seção. 
 y = distância do CG da seção até o ponto onde se quer a tensão. 
 
 Portanto, pode-se estabelecer uma analogia entre os dois problemas: 
 
Analogia 
 
Problema de flexão simples da resistência dos 
materiais 
Problema de cargas transversais horizontais 
de pontes 
dA = área elementar da seção ki = rigidez de cada apoio(pilar+ aparelho de 
apoio) 
 y = distância do CG até a área elementar xi = distância do centro de gravidade das 
rigezas ki 
 até a rigidez ki do apoio "i" 
CG = centro de gravidade das áreas 
elementares 
 da seção 
CGr = centro de gravidade das rigezas dos 
apoios 
 
 Do exposto, pode-se escrever: 
 
A k
I k x
i
i i
=
=
Σ
Σ . 2 (9.18)
 
onde, 
 A = somatório das rigezas dos apoios(pilar + aparelho de apoio) 
 I = momento de inércia das rigezas ki 
 
 Se, no ponto CGr (centro de gravidade das rigezas) for aplicado a força Fres , o sistema 
sofrerá uma translação. Nessas condições, se todas as cargas transversais horizontais aplicadas forem 
referidas ao CGr das rigezas dos pilares, resulta um problema análogo ao de flexão composta da 
resistência dos materiais, cuja expressão da tensão σi em um ponto "i" , é dada por : 
 
 (9.19)
 
 M e = excentricidade de F em relaçã o ao CG
 distância do CG ao apoio " i"
 
res r
r
σ i
res res
i
res res
i
F
A
M
I
x
onde
F e :
x
= ±
=
=
.
,
.
_
_
 
 
 Como a área elementar é análoga à rigidez ki de cada apoio "i" , do problema de pontes, 
então, considerando-se (9.18) e (9.19) ,a força correspondente ao apoio "i" é dada por : 
 
9.11 
 
 
F k
x
i i
i
= . = (9.20)σ k ( F
A
M
I
. x ) = k . F .( 1
A
e. x
k
) i res res i i res i
i
± ±
� . 2
 
 
 
OBS. a) Fi é a força recebida pelo conjunto de "n" pilares (pórtico transversal) do apoio elástico "i" , se 
houver mais de um pilar nesse apoio na direção transversal, então, a força recebida por cada pilar do 
apoio será Fi /n . Pois, na dedução da expressão (9.20), foi considerada aplicada na estrutura total a 
força resultante Fres . Para que a força Fi representasse a carga recebida por cada pilar do apoio 
elástico "i", a força Fres teria que ser dividida pelo número "n" de linhas longitudinais de 
pilares. 
 b) A parcela, da eq. (9.20), devido ao momento, pode ter direção diferente daquela devido à força, 
por isso o sinal vetorial. 
 c) De forma análoga ao que é feito com áreas, pode-se calcular o centro de gravidade das rigezas, 
da seguinte forma: 
 
 
 x (9.21)CG i i
ir
k x
k
=
Σ
Σ
.
 
 
 
 d) É usual se adotar para estruturas contínuas, o critério simplificado de distribuição de esforços 
utilizados em estruturas isostáticas, o qual consiste em distribuir a carga transversal horizontal, 
para cada apoio, proporcionalmente ao comprimento de influência do mesmo.Esse comprimento é 
igual, para cada apoio, à soma das metades dos vão adjacentes ao apoio(ver Fig.9.15). Os 
resultados obtidos, às vezes, são muito diferentes dos reais. 
 
 
a 2 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2
P1 P2 P3 P4
juntas de
dilatação
ELEVAÇÃO
PLANTA
w(vento)
 
 
 Figura 9.15 - Comprimentos de influências dos apoios 
 
 Segundo a fig. 9.15, os comprimentos de influência de cada apoio são dados por: 
 
9.12 
 
 
apoio l a
apoio l a b l a b c
apoio l b c
apoio l c
i
1
2
2
2
3
2
4
2
1
2
3
4
→ =
→ =
+
= + +
→ =
+
→ =
; Σ
 
 e, a força absorvida por cada apoio Fi , da resultante Fw , devido à pressão do vento w, é dada por 
: 
 F l
l
Fi i
i
w= Σ
. 
 
 9.5.3 - Forças aplicadas diretamente nos pilares 
 
 9.5.3.1 - Pilares com apoio móvel no topo 
 
 Os aparelhos móveis podem ser de rolo, de deslizamento(camada de teflon) ou de 
pêndulo. Neste caso as cargas são resistidas pelo próprio pilar, não havendo "ajuda"de outros pilares, figura 
(9.16). 
 
 
E
P P P1 2 3
E
P1
O apoio superior do pilar P1 não oferece resistência ao deslocamentoObs.:
 
 
 Figura 9.16 - Cargas em pilares com apoio móvel no topo 
 
 
 
 9.5.3.2 - Pilares com apoio elástico no topo 
 
 Neste caso (figura 9.17) , a carga aplicada no pilar provoca no apoio superior uma 
reação horizontal R11 , devido à resistência ao movimento do apoio de concreto ou elástico. 
 
 
E
P P P1 2 3
apoio de concreto apoio de neopreneapoio de concreto
R11
 
 
 Figura 9.17 - Cargas em pilares com apoio elástico no topo 
 
 O problema é resolvido com o auxílio do artifício de separar a 
deslocabilidade(fig.9.18): 
9.13 
 
 a) Inicialmente, coloca-se um apoio para impedir o deslocamento na direção horizontal. Obtém- 
 se assim, uma reação R11 no topo do pilar carregado(pilar P1) , figura (9.18a). 
 b) Aplica-se na estrutura real , apenas a força (- R11), do item anterior, obtendo-se no pilar P1 a 
 reação R21 , figura (9.18b) 
 c) Por superposição dos efeitos, tem-se: 
 
 R R R11 11 21= − (9.22) 
 
E E
apoio introduzido R11
R11
P1 P2 P3P3P3 P1 P2P1 P2
E
R11 R21
P1P1
b) estrutura submetida a R11a) estrutura fixada submetida a Er) estrutura real 
 
 
 Figura 9.18 - Procedimento para a solução de problemas com cargas 
 aplicadas diretamente em pilar com apoio elástico no topo. 
 
 A) Cálculo da reação R11 (figura 9.18a) 
 
 A reação R11 é obtida através das tabelas de momentos de engastamento perfeito, 
para as seguintes vinculações: 
 
E
R11 R11
E
a) apoio superior = Freyssinet b) apoio superior contínuo = engaste
E
R11 R11
E
A
B
A
B
MA
MA
M B
MA = momento de engastamento perfeito , M B = momentos de engastamentos perfeitos
MA
 
 Figura 9.19 - cálculo da reação R11 
 
 OBS. : Os esforços nos outros apoios do problema da Figura(9.18a) , são nulos, pois esses apoios 
 não sofrem deslocamentos e os pilares correspondentes estão descarregados. Chamando-se 
 esses esforços de R i1 , tem-se que para i 1 , R i1 = 0 . 
 
 
 B) - Cálculo da reação R21 (figura 9.18b) 
 
 No problema da Figura 9.18b , o apoio "i" absorve uma parcela de R11 , como visto na eq. 
(9.6), dada por: 
9.14 
 
 
 R k
k
Ri i
i
2 11= Σ
. (9.23) 
particularmente, o apoio 1 (P1), absorve : 
 
 R k
k
R
i
21
1
11= Σ
. (9.24) 
 
 Por superposição dos efeitos (eq. 9.22), tem-se, para o apoio 1: 
 
R R R R k
k i
para o pilar carregado diretamente cujo aparelho
de apoio é do tipo Freyssinet ou contínuo
11 11 21 11
11 1= − = −( ) ; ,
.
Σ (9.25) 
 
 Para os demais apoios (exceto aquele que suporta carregamento direto, que no caso é o 
apoio 1 , (P1) ) 
 
 R R R k
k
R k
k
R para ii i i i
i
i
i
1 1 2 11 110 1= − = − = − ≠Σ Σ
; (9.26) 
 
 Se no topo do pilar carregado diretamente (pilar P1) existir ,um aparelho de apoio de 
Neoprene, a reação R11 será menor que nos casos de aparelho de Freyssinet ou de aparelho contínuo, 
devido à deformação do Neoprene. 
 
R11
E
R11
E
.(
k a1
k a1 + kp1
)
a) Reação sem a deslocabilidade do
aparelho de apoio
b) Reação com a deslocabilidade do
aparelho de apoio de NeopreneNeoprene
 
 
 Figura 9.20 - Reação no aparelho de apoio de Neoprene 
 
 A figura 9.20a representa a reação R11 obtida sem a deslocabilidade do aparelho de 
apoio ( idêntico à reação do problema da figura 9.19a). Como o aparelho de apoio de Neoprene se deforma, 
então, a reação absorvida pelo Neoprene será proporcional à sua rigidez, figura 9.20b, e é dada por: 
 
 
Neoprene de for apoio de aparelho o uandoq
9.18a,figura da problema do carregado apoio no reação ; 
kk
k
.RR
1p1a
1a
1111
+
=
 (9.27) 
 
 Conseqüentemente, a expressão (9.25) será alterada para, 
 
R R k
k i
R ka
ka kp
k
k i
para o pilar carregado diretamente cujo
aparelho de apoio é de Neoprene
11 11 1 1 11 1
1 1
1 1 1= − =
+
−( ) . . ( ) ; ,
.
Σ Σ (9.28) 
 
onde, 
9.15 
 
 
 ka kp1 1, são, respectivamente, a rigidez do aparelho de Neoprene e a rigidez do pilar 
 correspondentes ao apoio carregado diretamente (apoio P1 da figura 9.18a) 
 
 9.5.3.3 - Pressões de vento e água aplicadas diretamente nos pilares 
 
 Estes problemas podem ser resolvidos de forma análoga aos itens 9.5.3.1 e 9.5.3.2. 
Porém, é comum, para esses carregamentos, dimensionar os pórticos transversais(pilares ligados por 
travessas) como sendo independentes do tabuleiro (ver fig. 9.21). 
 
 
w (vento)
p (pressão d'água)
travessaaparelho de Neoprene
 
 
 Figura 9.21 - Pórtico transversal independente do tabuleiro, submetido a pressões 
 do vento e d'água. 
 
 
 9.5.4 - Considerações adicionais 
 
 a) Em geral, o conjunto de pilares na direção transversal, por apoio, constituem um 
pórtico transversal (pilares ligados por travessas). Este pórtico comporta-se como engastado na base 
(fundação) e no topo, elasticamente ligado à superestrutura através de aparelhos de apoio. Os itens 
anteriores permitem o cálculo das reações no topo dos pórticos transversais, para cargas horizontais 
atuando diretamente sobre os mesmos ou indiretamente quando as cargas atuam na superestrutura. 
 
 b) Quanto ao modelo de se adotar engastamento dos pilares na fundação deve ser 
feita de acordo com a situação real. Por exemplo, se a fundação for de tubulão parcial ou totalmente 
enterrado, a consideração, para o cálculo de esforços solicitantes nos pilares, de engaste na interface entre o 
pilar e o tubulão é uma simplificação grosseira. Neste caso, se possível, deve-se considerar o engaste não 
na interface e sim em uma seção do tubulão distante acima de 3,0 metros (ou determinada mais 
realisticamente pela mecânica dos solos) desta interface, sem levar em conta as reações do solo (fig.9.22a). 
Entretanto, para o cálculo dos esforços no tubulão, as reações laterais do solo devem ser consideradas (fig. 
9.22b). 
 
 
9.16 
 
 
pilar
tubulão
travessa
reações da superestrutura
vento
rigidez do solo
esforços transmitidos pelo pilar
b) modelo para o cálculo dos esforçosa) modelo para o cálculo dos esforços
solicitantes nos pilares solicitantes nos tubulões
 
 
 Figura 9.22 - Modelos de cálculos para pilares e tubulões 
 
 c) Os esforços longitudinais horizontais, provenientes do tabuleiro, aplicam-se no 
topo do pilar. Os momentos fletores associados com a transferência desses esforços, da pista de rolamento 
ou do eixo da viga principal para o nível do topo dos pilares, são, em geral, de importância secundária, 
alterando muito pouco as reações nos apoios (fig. 9.23). 
 
 
F
M
F
h
M = F.h
ELEVAÇÃO
Momento fletor transferido para o nível
do topo dos pilare :
 
 
 Figura 9.23 - Transferência de esforços longitudinais 
 
 d) Os esforços transversais, provenientes do tabuleiro tal como a força centrífuga ou 
do centro de gravidade da área que obstrui o vento, são também transferidos para o nível do topo dos 
pilares, produzindo-se um momento que é equilibrado por reações dos pilares. 
 
H1
H2
H1
H2M M
H1+H2 H1+H2h2
h1
b)pórtico transversal - transferência de esforçosa) Pilar parede- transferência de esforços
M = H1.h1 +H2.h2
Rp . b = M
b
Rp Rp
M = H1.h1 +H2.h2
Obs. O momento M solicita o pilar parede
de forma constante
 
 
9.17 
 
 Figura 9.24 - Transferência de esforços transversais 
 9.5.5 Exemplo de cálculo dos esforços no topo dos pilares, devido às cargas 
 horizontais (Pfeil - vol. 1 - pág 87 e vol. 2- pág. 247). 
 
 Calcular para a ponte de classe 45 da fig.9.25, de tabuleiro contínuo, os esforços nos 
topos dos pilares. 
 
neoprene Freyssinet neoprene
5,0m
0,80
2,25
8,0m
2,0m
P1 P2 P3 P4
5,0 20,0m 25,0m 20,0m 5,0
( φ = 1,0m) ( φ = 1,0m) ( φ = 1,0m) ( φ = 1,0m)
0,10m
0,80m
2,25m
6,40m 6,40m
6,0m
0,40m
defensa
viga
VISTA
LONGITUDINAL
CORTE TRANSVERSAL
0,40 0,40m
 
 
 Figura 9.25 - Ponte com tabuleiro contínuo ( Ponte classe 45) 
 
 
 9.5.5.1 - Características dos pilares e dos aparelhos de apoio 
 
 a) Pilares 
 
 Ep = 2.100kN/cm2 = 2,1x107 2kN m/ 
 
d=1m
 A d m I d x mp p= = = = −
pi pi2 2
4
2 4
4
0 785
64
4 91 10, ; , 
 
 
 -Rigezas dos pilares 
 
 Considerando-se a expressão (9.1) da rigidez do pilar "i”, tem-se: 
 Pilar P1 = P3 : m/kN10x42,608
10x91,4x10x1,2x3kk 23
27
3p1p ===
−
 
 Pilar P2 : m/kN10x93,3010
10x91,4x10x1,2x3k 23
27
2p ==
−
 (9.29) 
9.18 
 
 
Pilar P4 : m/kN10x46,2475
10x91,4x10x1,2x3k 23
27
4p ==
−
 
 
 b) Aparelho fretado de Neoprene (Pilares P1 e P4) 
 
 
900mm
250mm
3mm 3mm
3mm
2mm
12mm
3mm
12mm
2mm
3mm
37mm
chapa de aço neoprene
 
 Figura 9.26 - Aparelho fretado de Neoprene 
 
 O aparelho de neoprene fretado, em geral, é revestido com uma camada protetora de 
neoprene, que no exemplo é de 3mm. A dimensão útil a serem consideradas nos cálculos não leva em conta 
a camada protetora, resultando com isto: 
 
Área útil de apoio A x cm x m
Altura útil h x mm m
Módulo de elasticidade transversal do Neoprene G kN m
a
aa
==== ==== ==== ====
==== ==== ==== ====
==== ====
−−−−24 4 89 4 2181 36 2181 4 10
2 12 24 0 024
1000
2 4 2
2
, , , ,
,
/
 
 
 -Rigezas dos aparelhos de apoio de Neoprene 
 
 Considerando-se a expressão (9.2) da rigidez do aparelho de apoio de Neoprene, tem-se: 
 
 Apoio de Neoprene de P1=P4 : k k
x x kN ma a1 4
4 32181 4 10 10
0 024
9089 17==== ==== ====
−−−−
,
,
, / (9.30) 
 
 c) Aparelho de apoio de Freyssinet (pilares P2 e P3) 
 
 -Rigezas dos apoios Freyssinet 
 
 Este aparelho não deforma na direção horizontal, portanto, a rigidez é infinita: 
 
 Apoio de Freyssinet de P2=P3 : k ka a2 3= = ∞ (9.31) 
 
 -Rigezas dos apoios elásticos (pilar +aparelho de apoio) 
 
 Considerando-se a expressão (9.4) da rigidez do apoio elástico Pi , tem-se : 
 Apoio P1 : k
x
kN m1
2
1
1
9089 17
1
60 42 10
3629 38=
+
=
, ,
, / 
 Apoio P2 : m/kN30,3093k
10x93,30
11
1k 2p
8
2 ==
+
∞
= 
9.19 
 
 Apoio P3 : m/kN60,6041k
10x42,60
11
1k 3p
8
3 ==
+
∞
= (9.32) 
 Apoio P4 : k
x
kN m4
2
1
1
9089 17
1
247 46 10
6647 54=
+
=
, ,
, / 
 9.5.5.2 - Cálculo dos esforços horizontais 
 
 a) Frenagem ou aceleração de veículos 
 Ponte classe 45: peso do veículo = 450 kN ; q = 5 kN/m2 
 
 Nas pontes rodoviárias considera-se o maior valor entre: 
 - 5% da carga móvel total = 0,05[(75x12,80-3x6)5+450]=258,0kN 
 - 30% do peso do veículo-tipo = 0,30x450 = 135kN 
 Então, a força de frenagem Ff , vale, 
 
 Ff = 258,0 kN (9.33) 
 
 b) Força horizontal transversal devido ao vento ,F
v
t
 
 b.1) Ponte descarregada F
v
td
 
 - pressão do vento, w = 1,5kN/m2 
 - altura do tabuleiro = 2,25 + 0,80 = 3,05m 
 - comprimento do tabuleiro = 75m 
 - Área de obstrução ao vento = 75x3,05=228,75m2 
 então, 
 F
v
td
 = 1,5x228,75 = 343,13 kN (9.34a) 
 
 b.2) Ponte carregada, F
v
tc
 
 - pressão do vento = w = 1,0 kN/m2 
 - altura da pista de rolamento = 2,25+0,10 = 2,35m 
 - altura do veículo (norma) = 2,00m 
 - altura total = 4,35m 
 - comprimento da ponte = 75m 
 - área de obstrução ao vento = 4,35x75=326,25m2 
 então, 
 F
v
tc
 = 1,0x326,25 = 326,25kN (9.34b) 
 Portanto, a força transversal do vento a considerar será: 
 
 F
v
t
 = 343,13kN (9.35) 
 
 c) Força horizontal longitudinal devido ao vento, F
v
l
 
 Segundo a norma americana AASHTO, considera-se atuando na ponte, 
simultaneamente, à força transversal do vento, uma força longitudinal composta pelas seguintes parcelas: 
 - vento na superestrutura = 25% da força do vento transversal 
 - vento na carga móvel = 40% do vento transversal 
 
 c.1) Ponte descarregada 
 F
v
ld
 = 0,25xF
v
td
 = 0,25x343,13 = 85,78kN (9.36a) 
9.20 
 
 c.2) Ponte carregada 
 F
v
lc
 = w ( Atab x 0,25 + Aveic x 0,40) onde, 
 Atab = Área de obstrução ao vento correspondente ao tabuleiro; 
 Aveic = Área de obstrução ao vento correspondente ao veículo. 
 
 F
v
lc
 = 1,0(2,35x75x0,25+2x75x0,40) = 104,06kN (9.36b) 
 Portanto, 
 F
v
l
 = 104,06kN (9.37) 
 
 d) Empuxo de terra nas cortinas, E. 
 
 De acordo com a teoria de Rankine, 
 E p b hmáx=
1
2
. . (9.38) 
onde, 
 pmáx = ka.γ.h ; ka= coeficiente de empuxo ativo = tg o2 45 2= −( )
ϕ
 
em pontes considera-se, 
 peso específico do solo = γ = 18 3kN m/ e, 
 ângulo de atrito do solo = ϕ = ∴ =30 1 3o ak / , 
então, 
 E = 1
2
1
3
18 13 6 2 206 552× × × × =, ,25 , kN (9.39) 
OBS. Como a ponte é contínua e possui cortinas idênticas em ambas as extremidades, os empuxos se auto 
 equilibram, não produzindo esforços nos pilares. 
 
 e) Empuxo de terra provocado pelas cargas móveis sobre o aterro, Eq. 
 
 Supondo-se que a pista de rolamento de acesso tenha largara m6,13l p = , tem-se(ver cap. II) 
: 
 
)45classe(m/kN5adistribuídmóvelaargcq
m/kN25
63
450
veículoaoeequivalentadistribuidaargcq,onde
l
)0,3l(q3.q
q;h.b.q.kE
2
2
v
p
pv
aq
==
=
×
==
−+
==
 (9.40) 
então, 
 E x x kNq = ×
× + −
=
1
3
25 3 0 5 13 6 3
13 6
13 6 2 96 00[ , ( , )]
,
, ,25 , (9.41) 
 
 9.5.5.3 - Cálculo da distribuição das forças horizontais longitudinais entre os pilares 
 
 A) Forças de frenagem+empuxo de carga móvel e de vento 
 
 Considerando-se as rigezas dos apoios elásticos, eqs. (9.32), a eq. (9.6) que calcula a força em 
 cada apoio elástico "i”, e também que: 
 
 a.1) a ação simultânea da frenagem, eq.(9.33) e do empuxo da carga móvel, eq.(9.41): 
9.21 
 
 kN25,33275,785,253EFF qffe =+=+= , produzirá no apoio elástico "i" , a força 
 
fe
iF 
 a.2) a ação do vento na direção longitudinal, eq. (9.37): 
 
l
vF = 104,06kN , produzirá no apoio elástico "i" , a força lviF , 
 pode-se construir a tabela 9.1 , que fornece as forças feiF e lviF em cada apoio elástico "i" . 
 
 
 Tabela 9.1 - Distribuição entre os apoios elásticos dos esforços 
 longitudinais de frenagem+empuxo e de vento 
 
 Distribuição das forças Ff e e F
v
l
 entre os apoios elásticos "i" 
Apoio 
elástico 
 ki 
 
 (kN/m) 
 
ki
kiΣ
 Fi
f e ki
ki
Ff e=
Σ
. 
 (kN) 
 Fi
vl ki
ki
F
v
l
=
Σ
. 
 (kN) 
 1 
 2 
 3 
 4 
 3629,38 
 3093,00 
 6042,00 
 6647,54 
 0,19 
 0,16 
 0,31 
 0,34 
 67,26 
 56,64 
 109,74 
 120,36 
 19,88 
 16,74 
 32,43 
 35,56 
 Σ 19411,92 1,00 354,00 104,60 
 OBS. Os esforços das duas últimas colunas atuam 
longitudinalmente em cada apoio elástico "i" que, no exemplo, 
é composto de dois pilares. Portanto, para o dimensionamento 
de cada fuste dos pilares, tomar-se-á a metade do esforço (ver 
item 9.5.1.2). 
 
 
 B) Forças devido à variação de temperatura +retração 
 
 A força absorvida por cada apoio elástico é dada pela expressão (9.13). Adotando-se a 
extremidade esquerda da viga principal como a origem do sistema de coordenadas oxy, e considerando-se: 
 
∆ T C
C
eq
o
o
= ±
=
− −
25
10 5 1
 ( efeito conjunto da temperatura e retração )
α
 , 
pode-se construir a tabela 9.2 , que fornece a força Fi
T
 , em cada apoio elástico "i" . 
 
 Tabela 9.2 - Esforços nos pilares, devido a 
 
∆ T C
C
eq
o
o
= ±
=
− −
25
10 5 1
 ( efeito conjunto da temperatura e retração )
α
 
apoio 
elástico 
 xi 
 (m) 
 ki 
 (kN/m) 
 Fi
T
 
 (kN) 
 1 
 2 
 3 
 4 
 5 
 25 
 50 
 70 
3629,38 
3093,00 
6042,00 
6647,54 
−35,80 
−15,04 
 8,38 
 42,46 
 Σ 19411,92 
 Obs. A última coluna já fornece 
a força para o dimensionamento 
de cada fuste de pilar 
 
 
 9.5.5.4 Cálculo da distribuição das forças transversais horizontais entre os pilares 
9.22 
 
 
 Na ponte em questão, a única força transversal horizontal a considerar é a força 
relativa ao vento, kN13,343F tv = , eq.(9.35). De acordo com o item 9.5.2, os efeitos dessa carga nos pilaressão calculados em relação ao centro de gravidade das rigezas dos mesmos, através das expressões (9.20) e 
(9.21). Para isto, considere-se a fig. 9.27, onde a origem do sistema de coordenadas é adotada no pilar P1. 
 
 
O
x
k1 k2 k3 k4
P1 P2 P3 P4
20,0m 25,0m 20,0m
 
 Figura 9.27 - Rigezas dos pilares para o cálculo do centro de gravidade das 
 rigezas, CGr 
 
 
 
A partir da figura 9.27 e dos dados anteriores pode-se obter os valores da tabela 9.3, 
que são representados na figura 9.28. 
 
 Tabela 9.3 -Cálculo do centro de gravidade das rigezas, CGr 
Pilar ki 
 
(kN/m) 
xi = distância 
das rigezas à 
origem do 
sistema oxy
 
 
(m) 
 ki xi 
 
 
 k xi i
2
 
 xi = distância 
das rigezas ao 
CGr 
 (m) 
 1 
 2 
 3 
 4 
 3629,38 
 3093,00 
 6042,00 
 6647,54 
 0 
 20 
 45 
 65 
 0,0 
 61.860,0 
271.890,0 
432.090,0 
 0,0 
 1.237.200,0 
12.235.050,0 
28.085.857,0 
 - 39,45 
 - 19,45 
 5,55 
 25,55 
Σ 19411,92 765.840,0 41.558.107,0 
 
x
k x
k
mCG
i i
ir
= = =
Σ
Σ
765 840 0
19 92
39 45. ,
.411,
, = distância do CGr à origem de oxy 
 
 
O
x
k1 k2 k3 k4
P1 P2 P3 P4
20,0m 25,0m 20,0m
x
y
CGr
y
e
F t
v
12,5m 12,5m
19,45m 5,55m
39,45m 25,55m
25,0m 25,0m
x CGr
=
e = 12,5 - 5,55 = 6,95m = excentricidade da carga do 
vento em relação ao CGr
 
 
 Figura 9.28 - Centro de gravidade das rigezas, CGr , e o ponto de aplicação 
 da força correspondente ao vento, Fvt . 
9.23 
 
 
 
 Para o cálculo dos esforços em cada pilar, utiliza-se a expressão (9.20). De forma 
análoga à resistências dos materiais, o momento de inércia das rigezas, em relação ao CGr , é dada por : 
 
 
2
yy d.AII −= 
onde, 
 
2
iiy xkI Σ= = momento de inércia em relação ao sistema oxy 
 ikA Σ= = soma das rigezas 
 d = distância entre os centros "o" e "CGr" 
então, a partir da tabela 9.3, tem-se: 
 0,047.347.1145,39x71,411.190,540.557.41I 2y =−= 
e, da expressão (9.20), repetida abaixo, resultam as cargas absorvidas pelos pilares: 
 
 (7.20) )
x.k
xe.
A
1
.(.Fk=)x.
I
M
A
F(k=k.=F 2
ii
i
resii
resres
iii
�
±±σ (9.20) 
 
apoio P1 kN24,94)047,347.11
45,39x95,6
71,411.19
1(24,629.3x13,343F vt1 =+=� 
apoio P2 kN32,67)047,347.11
45,19x95,6
71,411.19
1(30,093.3x13,343Fvt2 =+=� (9.42) 
apoio P3 kN75,99)047,347.11
5,5x95,6
71,411.19
1(60,041.6x13,343F vt3 =−=� 
apoio P4 kN81,81)047,347.11
55,25x95,6
71,411.19
1(57,647.6x13,343F vt4 =−=� 
 
 Como cada apoio é constituído por dois pilares, a força recebida por cada um deles é obtida 
dividindo-se os resultados anteriores por 2, que são as forças para o dimensionamento dos pilares (ver item 
9.5.2). 
 
 
 
 A título de ilustração, calculam-se as cargas anteriores (9.42) pelo critério simplificado exposto no 
item (9.5.2): 
apoio P1 kN63,6813,343x75
15Fvt1 ==� 
apoio P2 kN94,10213,343x75
5,22Fvt2 ==� (procedimento simplificado) (9.43) 
apoio P3 kN94,10213,343x75
5,22Fvt3 ==� 
apoio P4 kN63,6813,343x75
15Fvt4 ==� 
Observa-se que os valores obtidos para os pilares 1 e 4, pelo processo simplificado, são contra a 
segurança. 
 
 
 
 
9.24 
 
 
 9.5.4 Solicitações nos pilares de pontes com tabuleiros descontínuos (juntas 
 deslocáveis) 
 
 Quando as pontes são muito longas (> 100,0m) deve-se provê-las de juntas de dilatação, a 
fim de aliviar os efeitos devidos à retração e à variação de temperatura. Nas pontes pré-moldadas as juntas 
são espaçadas, naturalmente, com vãos da ordem de 15 a 20m, por motivos estéticos ou construtivos 
(montagem, transporte, etc.). 
 
 9.5.4.1 Distribuição dos esforços transversais horizontais 
 Utiliza-se, em geral, neste caso o critério simplificado exposto no item 9.5.2, que atribui a 
cada apoio, o esforço transversal correspondente ao seu comprimento de influência( comprimento 
compreendido entre os pontos médios dos tramos adjacentes ao apoio). 
 
 9.5.4.2 Distribuição dos esforços longitudinais horizontais 
 No caso de pontes com trechos hiperestáticos, separados por juntas, é usual distribuir os 
esforços longitudinais, proporcionalmente aos seus comprimentos, figura 9.29. Cada trecho é calculado 
isoladamente (despreza-se a interferência dos esforços nas juntas) da forma estabelecida para tabuleiros 
contínuos no item 9.5.1 
 
Neoprene
F F1 F2
L1 L2
F = F1 + F2 F1 = L1+L2
L1
F F2 =
L1+L2
L2
F; ;
 
 Figura 9.29 - Tabuleiro com trechos hiperestáticos 
 
 Nas pontes com tramos biapoiados (fig.9.30), pode-se também distribuir o esforço 
longitudinal proporcionalmente aos seus comprimentos, e o esforço de cada tramo é dividido, em partes 
iguais, entre seus dois apoios. 
 
 
F
F1 F2 F3
F3
2
F2
2
F1
2
F1
2
F2
2
F3
2
onde,
F = força longitudinal total
Fi = parcela de F correspondente ao tramo i =
 Li
Σ Li
 F=
L1 L2 L3
 
 Figura 9.30 - Tabuleiro com trechos isostáticos 
 
 Existem formulações mais rigorosas, para estes casos, como, por exemplo, aquela que leva 
em conta a rigidez dos aparelhos de apoio (ver Pfeil, vol. 2, pág.258).