Funções_cap_5

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CAPÍTULO 5 
Função Exponencial 
 
 
 
5.1 – Potência com Expoente Natural 
 
Dado um número real a e um número natural n (n ≠ 0), definimos a potência a n como o 
produto de n fatores iguais ao número a. 
n
n vezes
a a a a a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋯
�����
 
Onde: 
na potência→ 
n expoente→ 
a base→ 
 
Convenção: 0a 1, com a 0= ≠ 
 
5.2 – Potência com Expoente Inteiro Negativo 
 
n * *
n
1
a ; com n e a .
a
−
= ∈ ∈ℕ ℝ 
 
5.3 – Potência com Expoente Racional 
 
m n m * * *na a ; com n , m e a .= ∈ ∈ ∈ℕ ℕ ℝ 
 
5.4 – Propriedades das Potências 
 
8.4.1 m n m na a a +⋅ = 
8.4.2 m n m na a a −÷ = 
8.4.3 ( )m m ma b a b⋅ = ⋅ 
8.4.4 
m m
m
a a
; sendo b 0
b b
 
= ≠ 
 
 
8.4.5 ( )nm m na a ⋅= 
 
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5.5 – Função Exponencial 
 
Definição Informal: Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a 
variável aparecendo em expoente. 
 
Definição Formal: Chama-se função exponencial, a função *f : +→ℝ ℝ cuja regra é 
xf(x) a= . O número real a é uma constante real positiva e diferente de 1, isto é : 
] [ ] [a 0; 1 1;∈ ∪ + ∞ . 
 
 Quando analisamos uma função exponencial, temos dois casos a considerar: 
a) Quando a > 1 
b) Quando 0 < a < 1 
 
Exemplos: 
a) xf(x) 2= é uma função exponencial (com a = 2), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
x1
f(x)
2
 
=  
 
é uma função exponencial (com 
1
a
2
= ), cujo gráfico é : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x xy 2= 
 -3 1/8 
 -2 1/4 
 -1 1/2 
 0 1 
 1 2 
 2 4 
 3 8 
x 
x1
y
2
 
=  
 
 
-3 8 
-2 4 
-1 2 
0 1 
1 1/2 
2 1/4 
3 1/8 
*
Dom(f)
Im(f) +
=
=
ℝ
ℝ
 
f é crescente em todo 
seu domínio. 
 
*
Dom(f)
Im(f) +
=
=
ℝ
ℝ
 
f é decrescente em todo 
seu domínio. 
 
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Nos dois exemplos, podemos observar que: 
 
• O gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes (Assíntota no eixo x); 
• O gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); 
• Os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o 
conjunto imagem é *Im += ℝ . 
 
5.6 – Equação Exponencial 
 
Uma equação é denominada equação exponencial quando a incógnita aparece no expoente. 
Exemplos de equações exponenciais: 
 
a) 3x = 81 (a solução é x = 4) 
b) 2x – 5 = 16 (a solução é x = 9) 
c) 16x – 42x-1 – 10 = 22x-1 (a solução é x = 1) 
d) 32x-1 – 3x – 3x-1 + 1 = 0 (as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1) 
 
Em alguns casos a resolução de uma equação exponencial baseada na propriedade: 
 
x ya a x y; com a 0 e a 1= ⇔ = > ≠ 
 
Ou seja, para resolvermos uma equação exponencial, devemos realizar dois passos 
importantes: 
 
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 
 
2º) aplicação da propriedade descrita acima: 
 
Exemplo 1: Resolver a equação ( )x2 64= 
Resolução: 
( ) ( )xx 1/2 6
x/2 6
2 64 2 2
2 2
x
6 x 12
2
= ⇒ =
=
= ⇒ =
 
 
Exemplo 2: Resolver a equação ( )x 1x3 729+ = 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )x 1 2x x x 6
2
3 729 3 3
x 3
x x 6 0
x 2
+ +
= ⇒ =
= −
+ − = ⇒ 
=
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Exemplo 3: Resolver a equação 2x 1 3x 1 x 12 .4 8+ + −= 
Resolução: 
( ) ( )3x 1 x 12x 1 3x 1 x 1 2x 1 2 3
2x 1 6x 2 3x 3
2 .4 8 2 . 2 2
2 .2 2
6
2x 1 6x 2 3x 3 x
5
+ −+ + − +
+ + −
= ⇒ =
=
+ + + = − ⇒ = −
 
 
5.7 – Inequação Exponencial 
 
Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. A 
resolução de uma inequação exponencial é baseada nas propriedades: 
 
8.7.1) a > 1 
x x1 2
1 2a a x x> ⇔ > 
O sentido da desigualdade se conserva. 
8.7.2) 0 < a < 1 
x x1 2
1 2a a x x< ⇔ > 
O sentido da desigualdade se inverte. 
 
5.8 - Atividades 
 
Exercício 1 
(Petrobras) A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo 
de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 
2010. 
Disponível em: www.pt.wikipedia.org 
Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população européia correspondesse a P 
habitantes, a população de 2010 corresponderia a: 
a) ( )5P 0,9999⋅ b) ( )5P 0,999⋅ c) ( )5P 0,909⋅ d) ( )5P 0,99⋅ e) ( )5P 0,90⋅ 
 
Exercício 2 
(Petrobras) O governo federal vai usar recursos do FGTS para financiar projetos na área de 
transporte urbano, visando à Copa do Mundo em 2014. Empresas que pegarem empréstimos para 
projetos de transporte sobre trilhos pagarão 5,5% de juros ao ano. Uma empresa receberá um 
empréstimo de x reais, a serem pagos em t anos. O valor total M pago por esse empréstimo é 
calculado pela fórmula: 
 
a) ( )tM x 0,055= ⋅ b) ( )tM x 0,55= ⋅ c) ( )tM x 1,055= ⋅ d) ( )tM x 1,55= ⋅ e) ( )tM x 5,5= ⋅ 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
Na figura abaixo está representado o gráfico de f(x) = k ax, sendo k e a constantes reais positivas, 
com a ≠ 1. O valor de f(2) é : 
a) 
8
3
 
b) 
2
1 
 
c) 
4
3
 
d) 1 
 
 
Exercício 4 
(Petrobras) O número de acessos a determinado site vem aumentando exponencialmente, de acordo 
com a função A = k.bm, onde k e b são constantes reais não nulas, como mostra o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira medição (1.000 acessos) foi feita em janeiro. Considerando-se que o aumento exponencial 
observado tenha sido mantido ao longo dos meses, quantos foram os acessos a esse site em abril? 
 
a) 1.600 b) 1.680 c) 1.728 d) 1.980 e) 2.073 
 
Exercício 5 
Se a função exponencial *f : +→ℝ ℝ definida pela regra f(x)= ax é tal que seu gráfico passa pelo 
ponto (-2, 8), então: 
a) 
1
f(4)
16
 
=  
 
 b) ( )
x1
f x
12
 
=  
 
 c) ( ) ( )xf x 2= d) f(2) . f(−2) = −1 e) f(-1) = 2 2 
 
Exercício 6 
Os gráficos de f(x)= ax e g(x)= x2 – 1 se intersectam em um ponto de abscissa 3. O valor de a é: 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 9 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 7 
Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade 
em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no 
tempo inicial (t = 0) existiam nessa cidade 100.000 ratos e 70.000 habitantes, que o número de ratos 
dobra a cada ano e que a população humana cresce 2.000 habitantes por ano. Encontre: 
 a) as expressões matemáticas das funções f(t) e g(t) 
 
 b) o número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos 
 
Exercício 8 
(Petrobras) Um estudo em laboratório constatou que, depois de se administrar certo medicamento a 
um indivíduo, a concentração C(t) da substância ativa do medicamento no organismo reduz em 
função do tempo t, em horas, de acordo com a função 
0,25t
i
1
C(t) C
2
 
= ⋅ 
 
, onde Ci representa a 
concentração inicial de tal substância no organismo do indivíduo ao receber a medicação. De acordo 
com essas informações, após quantas horas a concentração dessa substância no organismo de um 
indivíduo equivalerá à oitava parte da concentração inicial (Ci)? 
 
a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
 
Exercício 9 
A solução da equação 0,52x = 0,25 1 − x é um número x, tal que: 
 
a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 
 
Exercício 10 
Se 2x
1
2
256
−
= , entãoo valor de x é : 
a) 8 b) 4 c) –2 d) –3 e) –8 
 
Exercício 11 
Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função do tempo devido à desintegração 
radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por mt = mo . 2 −kt. Nessa 
sentença, mt é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), mo é a massa inicial e k uma constante 
real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 
8
1
 da massa inicial, o valor de k é : 
a) –3 b) 
1
3
 c) –22 d) 
1
22
 e) 
1
8
 
 
Exercício 12 
Resolvendo a equação 2 x − 1 + 2 x + 3 + 2 x − 2 + 2 x = 2496, encontramos : 
 
a) x = 8 b) x = 6 c) x = 7 d) x = 9 e) x = −7 
 
 
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Exercício 13 
(Resende/07) Considere que 0,47710 3= . O valor de x tal que x10 9000= é: 
 
a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954 
 
Exercício 14 
(SEE/RJ) Uma solução da equação exponencial 5x = 0,04 é: 
 
a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = –1 e) x = –2 
 
Exercício 15 
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: 
f(t) = a . 2− bt, em que a variável t é dada em anos e a e b são constantes. 
 a) Encontre as constantes a e b, sabendo que a população inicial (t=0) é igual a 1024 indivíduos e 
que a população após 10 anos vale a metade da população inicial. 
 b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 
 c) Esboce o gráfico de f(t) para t∈[0,40] 
 
Exercício 16 
(SEE/RJ) Em uma certa cultura de bactérias, o número de bactérias dobra a cada dia. Considerando 
que 210 é igual a 1000, uma cultura iniciada hoje (primeiro dia de trabalho), com 50 dessas bactérias, 
no 25º dia o número delas será de, aproximadamente: 
 
a) 400.000.000 
b) 800.000.000 
c) 2.000.000.000 
d) 4.000.000.000 
e) 8.000.000.000 
 
Exercício 17 
Resolva, em ℝ , as inequações: 
 a) 6253x + 1 < 125x + 2 
 b) 2x+1 – 3 . 2x < 2x−2 – 5 
 c) (0,04)2x − 1 ≤ (0,008) x + 1 
 d) 25x – 6 . 5x + 5 > 0 
 
Exercício 18 
(Cantagalo/2010) Resolvendo em ℝ a inequação ( ) ( )4x 3 x 50,5 0,25+ +≤ , obtém-se como solução o 
conjunto: 
a) 
7
S x x
2
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ b) 
3
S x x
2
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ c) 
2
S x x
7
 
= ∈ ≥ 
 
ℝ 
d) 
7
S x x
2
 
= ∈ ≤ 
 
ℝ e) 
3
S x x
2
 
= ∈ ≤ 
 
ℝ 
 
 
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Exercício 19 
(FUNCAB) João emprestou R$ 15.000,00 para Pedro, no regime de juros compostos, com uma taxa 
de juros de 0,8% ao mês. Determine o valor recebido por João, sabendo que Pedro quitou a dívida 
com um único 
pagamento, 12 meses após ter pegado o empréstimo. (Use: (1,008) = 1,1003). 
 
a) R$ 15.120,00 b) R$ 15.240,96 c) R$ 16.500,00 
d) R$ 16.504,50 e) R$ 16.636,54 
 
Exercício 20 
(FUNDAÇÃO DOM CINTRA) Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r quilômetros, 
a partir do seu centro, é dado por = 3rP(r) k.2 , onde k é constante e r >0 . Se há 98 304 habitantes 
num raio de 5km do centro, quantos habitantes há num raio de 3km do centro? 
 
a) 32 768; b) 4 608; c) 3 024; 
d) 1 536; e) 2 048. 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) C 3) A 4) C 5) E 6) A 
7) a) f(t) = 100 000 ⋅ 2 t; g(t) = 2 000 t + 70 000 b) 40 ratos/hab 
8) D 9) A 10) B 11) D 12) A 13) E 14) E 
15) a) a = 1024 e b = 
1
10
 b) t = 30 anos c) veja esboço abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
16) B 
17) a) S = {x∈ℝ | x <
2
9
} b) S = {x∈ℝ | x > 2} c) S = {x∈ℝ | x ≥ 5} d) S = {x∈ℝ | x < 0 v x > 1} 
18) A 19) D 20) D