Superfícies no Espaço: Cilíndricas, Quádricas e Elípticas

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MARTINS, E.M.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Eder Marinho Martins
UFOP
AULA 20: Algumas superfícies no espaço
MARTINS, E.M.
Observação importante:
Apresentamos apenas um esboço da aula com:
enunciado dos teoremas vistos;
enunciado dos exemplos discutidos;
Durante a aula é feita explanação e explicação detalhada do
conteúdo, assim como figuras e resolução dos exemplos.
MARTINS, E.M.
1 Superfícies Cilíndricas
2 Superfícies Quádricas
3 Parabolóide Elíptico
4 Elipsóide
5 Cone Elíptico
6 Referências
MARTINS, E.M.
Definição:
Definição
Um cilindro é uma superfície constituída pela união de todas as retas,
chamadas geratrizes, que são paralelas a uma reta fixada, chamada
eixo do cilindro, e que passam em uma curva dada, chamada curva
diretriz.
MARTINS, E.M.
Exemplo
1 Faça o esboço do gráfico do cilindro y = |x | no espaço xyz.
2 Fazer o esboço do gráfico da função z = y2 no espaço xyz.
MARTINS, E.M.
Exemplo
1 Faça o esboço do gráfico do cilindro y = |x | no espaço xyz.
2 Fazer o esboço do gráfico da função z = y2 no espaço xyz.
MARTINS, E.M.
Figura: Esboço do gráfico da equação y = |x | no espaço.
MARTINS, E.M.
Figura: Cilindro parabólico z = y2.
MARTINS, E.M.
Superfícies Quádricas
Equações do segundo grau em três variáveis:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + Iz + J = 0.
Graficamente, as equações acima representam as superfícies
quádricas.
MARTINS, E.M.
Superfícies Quádricas
Equações do segundo grau em três variáveis:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + Iz + J = 0.
Graficamente, as equações acima representam as superfícies
quádricas.
MARTINS, E.M.
Classificação
Parabolóide Elíptico;
Elipsóide;
Cone Elíptico
Hiperbolóide de uma e duas folhas;
Parabolóide Hiperbólico.
MARTINS, E.M.
Parabolóide Elíptico
z =
x2
a2
+
y2
b2
, em que a,b > 0.
Plano Traço Curva
z = k > 0
x2
a2
+
y2
b2
= k Elipse no plano z = k
x = 0 z =
y2
b2
Parábola no plano yz
y = 0 z =
x2
a2
Parábola no plano xz
MARTINS, E.M.
Parabolóide Elíptico
z =
x2
a2
+
y2
b2
, em que a,b > 0.
Plano Traço Curva
z = k > 0
x2
a2
+
y2
b2
= k Elipse no plano z = k
x = 0 z =
y2
b2
Parábola no plano yz
y = 0 z =
x2
a2
Parábola no plano xz
MARTINS, E.M.
Ilustração
Figura:
MARTINS, E.M.
Elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = 0
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Elipse no plano xy
x = 0
y2
b2
+
z2
c2
= 1 Elipse no plano yz
y = 0
x2
a2
+
z2
c2
= 1 Parábola no plano xz
MARTINS, E.M.
Elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = 0
x2
a2
+
y2
b2
= 1 Elipse no plano xy
x = 0
y2
b2
+
z2
c2
= 1 Elipse no plano yz
y = 0
x2
a2
+
z2
c2
= 1 Parábola no plano xz
MARTINS, E.M.
Figura: Esboço gráfico do Elipsoide.
MARTINS, E.M.
Cone Elíptico
z2
c2
=
x2
a2
+
y2
b2
, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = k 6= 0 x
2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
Elipse no plano z = k
x = 0 z = ±y
b
Par de retas no plano yz
y = 0 z = ±x
a
Par de retas no plano xz
MARTINS, E.M.
Cone Elíptico
z2
c2
=
x2
a2
+
y2
b2
, em que a,b, c > 0.
Plano Traço Curva
z = k 6= 0 x
2
a2
+
y2
b2
=
k2
c2
Elipse no plano z = k
x = 0 z = ±y
b
Par de retas no plano yz
y = 0 z = ±x
a
Par de retas no plano xz
MARTINS, E.M.
Figura: Esboço gráfico do cone elíptico
MARTINS, E.M.
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis. Cálculo Volume I.
(8a edição). Bookaman, Porto Alegre, 2007.
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis. Cálculo Volume
II. (8a edição). Bookaman, Porto Alegre, 2007.
James Stewart. Cálculo Volume I. (6a edição). Thomson
Pioneira, 2010.
James Stewart. Cálculo Volume II. (6a edição). Thomson
Pioneira, 2010.
	Superfícies Cilíndricas
	Superfícies Quádricas
	Parabolóide Elíptico
	Elipsóide
	Cone Elíptico
	Referências