Lista - Geometria Analitica - Vetores - "mostre que"

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUI´ - UFPI
CENTRO DE CIEˆNCIAS DA NATUREZA - CCN
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - DM
PROFESSORA: RENATA BATISTA
Discplina: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica - Eng. Ele´trica
2a lista
1. Seja ABCD um quadrila´tero. Se E e´ o ponto me´dio do lado AB e F e´ o ponto
me´dio do lado oposto DC, prove que
−→
EF =
1
2
(
−−→
AD+
−→
BC).
2. Dados os vetores arbitra´rios ~u e ~v, mostre que ||~u|| · ~v e ||~v|| · ~u sa˜o vetores de
mesmo comprimento.
3. Dados os vetores ~u, ~v e ~w e os nu´meros reais α e β, mostre que
[~u,~v, ~w+ α~u+ β~v] = [~u,~v, ~w].
4. Prove que (~u+~v) · (~u−~v) = ||~u||2 − ||~v||2.
Soluc¸o˜es:
1. Temos
−→
EA =
1
2
−→
BA e
−→
DF =
1
2
−→
DC. Logo:
1
−→
EF =
−→
EA+
−→
AF
=
−→
EA+
−−→
AD+
−→
DF
=
1
2
−→
BA+
1
2
−−→
AD+
1
2
−−→
AD+
1
2
−→
DC
=
1
2
−−→
AD+
1
2
−→
BA+
1
2
−−→
AD+
1
2
−→
DC
=
1
2
−−→
AD+
1
2
(
−→
BA+
−−→
AD+
−→
DC)
=
1
2
−−→
AD+
1
2
−→
BC
=
1
2
(
−−→
AD+
−→
BC).
2. Para que eles tenham o mesmo comprimento, eles devem ter normas iguais.
Vejamos:
(1) ||(||~u|| ·~v)|| = ||~u|| · ||~v|| e
(2) ||(||~v|| · ~u)|| = ||~v|| · ||~u||.
Logo, como a multiplicac¸a˜o e´ comutativa, os vetores dados possuem mesmo
comprimento.
3.
[~u,~v, ~w+ α~u+ β~v] = [~u,~v, ~w] + α[~u,~v, ~u] + β[~u,~v,~v]
= [~u,~v, ~w] + 0 + 0
= [~u,~v, ~w].
Usamos o fato que: O produto misto e´ o determinante de uma matriz
formada pelos vetores dados. Como uma matriz que possui duas linhas
iguais ou mu´ltiplas possuem determinante igual a zero, fica justificada a
passagem feita da primeira linha para a segunda.
4.
(~u+~v) · (~u−~v) = ~u · ~u− ~u ·~v+~v · ~u−~v ·~v
= ||~u||2 + 0 − ||~v||2
= ||~u||2 − ||~v||2.
2