Lista2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral I
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
(a) y =
x− 1
x− 2, (3, 2)
(b) x2 + xy + y2 = 3, (1, 1)
(c) x2 tan(y) + sin(2y) = x2y2, (0, pi)
(d) xy = yx, (1, 1)
2. (a) Determine o valor da constante b para que o gra´fico de y = x2 + bx+17 tenha uma
tangente horizontal no ponto (2, 21 + 2b).
(b) Se f(x) = 2x2 − x, determine o ponto no gra´fico de f onde a tangente e´ pa-
ralela a` reta 3x− y − 4 = 0. Determine uma equac¸a˜o da reta tangente nesse ponto.
(c) Encontre os valores de x para os quais a reta tangente a` curva y = senh(x) possui
inclinac¸a˜o igual a 1.
(d) Encontre equac¸o˜es para ambas as retas que sa˜o tangentes a` curva y = x3 + 1
e que sa˜o paralelas a` reta y = 12x− 1.
(e) Onde a reta normal a` para´bola y = x − x2 no ponto (1, 0) intercepta a para´bola
uma segunda vez? Ilustre com um esboc¸o.
(f) Encontre as equac¸o˜es de ambas as retas pelo ponto (2,−3) que sa˜o tangentes
a` para´bola y = x2 + x.
(g) Mostre que na˜o existe nenhuma reta que passe pelo ponto (2, 7) e que seja tangente
a` para´bola y = x2 + x. A seguir, desenhe um diagrama para ver por queˆ.
(h) Quantas retas tangentes a` curva y =
x
x+ 1
passam pelo ponto (1, 2)? Em quais
pontos essas retas tangentes tocam a curva?
(i) Encontre o valor de x para o qual a reta tangente a` curva y = x arctg(x)− 1
2
ln(1 + x2)
e´ horizontal.
(j) Mostre, fazendo a derivac¸a˜o impl´ıcita, que a tangente a` elipe
x2
a2
+
y2
b2
= 1
no ponto (x0, y0) e´
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1
(k) Mostre que a soma das coordenadas das intersec¸o˜es com os eixos x e y de qualquer
reta tangente a
√
x+
√
y =
√
c e´ igual a c.
(l) Mostre, usando a derivac¸a˜o impl´ıcita, que qualquer reta tangente em um ponto P
a um c´ırculo com centro O e´ perpendicular ao raio OP .
(m) Onde a reta normal a´ elipse x2 − xy + y2 = 3 no ponto (−1, 1) intersecta a elipse
uma segunda vez?
(n) Encontre as equac¸o˜es de ambas as retas tangentes para a elipse x2 + 4y2 = 36 que
passem pelo ponto (12, 3).
3. (a) Suponha que h(x) = f(x)g(x), i(x) =
f(x)
g(x)
e j(x) = f(g(x)), onde f(2) = 3,
g(2) = 5, g′(2) = 4, f ′(2) = −2 e f ′(5) = 11. Encontre (i) h′(2), (ii) i′(2) e (iii)
j′(2).
(b) Seja r(x) = f(g(h(x))), onde h(1) = 2, g(2) = 3, h′(1) = 4, g′(2) = 5 e f ′(3) = 6.
Encontre r′(1).
(c) Seja F (x) = f(xf(xf(x))), onde f(1) = 2, f(2) = 3, f ′(1) = 4, f ′(2) = 5 e
f ′(3) = 6. Encontre F ′(1).
4. Encontre a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(1) f(x) =
1
3x3
− 1
2x2
(2) f(x) = (3x− x2)(3x3 − 4) (3) f(x) = 3x
2 + 7
x2 − 1
(4) f(x) =
1
(4x+ 1)5
(5) f(x) = (
√
3x2 + x−
√
11)−8 (6) f(x) = 3
√
x3 +
√
x
(7) f(x) =
(x2 + x
1− 2x
)3
(8) f(x) = arcsen(x2)arctg(x2) (9) f(x) = cotg
( x− 2
x2 + 4
)
(10) f(x) =
1
7
tg(7x− 1) (11) f(x) = 1
16
sec(4x− 3) (12) f(x) = cossec(3x)
x
(13) f(x) = sen3(x) (14) f(x) = sen(tg(5x2)) (15) f(x) = ln(sen(6x))
(16) f(x) = arcsec(e3x) (17) f(x) = e
√
4−x2+5 lnx (18) f(x) = e−3x(3cos(x) + sen(2x))
(19) f(x) = arctg(ln x) (20) f(x) = arccos(x2 − x) (21) f(x) = ln(4x2 + 1) + x3sen(ex)
(22) f(x) = x
1
x (23) f(x) = xcos(x) (24) f(x) = (sen(x))ln(x)
(25) y = log4(senh(x)) (26) y =
2x
log3(cosh(x))
(27) y = tgh(5x + ex)
(28) y = cossech(x) · esech(2x) (29) y = e
3x
ln(x2 + 1)
(30) y = 10arcsin(x)
(31) y = log4(tan
−1(x2 − x)) (32) y = (1 + x
2)13(e6 arctanx)
(cos(3x))10
(33) y = ln(cosh 3x)
(34) y = esinhx + sinh(ex) (35) y = (cosx)sinx (36) l(x) = sen(cos(cossec(cotg(pix))))
5. Calcule y′.
(a) x4y2 − x3y + 2xy3 = 0 (b) ex/y = x− y
(c)
√
x+ y = 1 + x2 + y2 (d) sen(x) + cos(y) = sen(x) cos(y)
6. Calcule y′′.
(a)
3
√
x2 + 3
√
y2 = 4 (b) 9x2 + y2 = 9
7. Encontre a 50a derivada de y = cos(2x).
8. Calcule lim
x→∞
senh(x)
ex
.
9. Seja
y =
√
1 + 2x 4
√
1 + 4x 6
√
1 + 6x · · · 100√1 + 100x
3
√
1 + 3x 5
√
1 + 5x 7
√
1 + 7x · · · 101√1 + 101x
Use derivac¸a˜o logar´ıtmica para calcular y′(0).
10. Use aproximac¸a˜o linear para estimar o nu´mero dado.
(a) (1, 999)4 (b) 3
√
1001 (c) sec(0, 08)
11. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semi-c´ırculo em cima. A base da
janela e´ medida como tendo 60 cm de largura com um poss´ıvel erro de medic¸a˜o de 0, 1
cm. Use diferenciais para estimar o erro ma´ximo poss´ıvel no ca´lculo da a´rea da janela.
12. A aresta de um cubo tem 30 cm, com um poss´ıvel erro de medida de 0, 1 cm. Use
diferenciais para estimar o erro ma´ximo poss´ıvel no ca´lculo
(a) Do volume do cubo.
(b) Da a´rea da superf´ıcie do cubo.
13. A base de um retaˆngulo esta´ aumentando a uma taxa de 8cm/s e sua altura esta´
aumentando a uma taxa de 3cm/s. Quando a base for 20cm e a altura for 10cm, qua˜o
ra´pido a a´rea do retaˆngulo esta´ aumentando?
14. Uma part´ıcula esta´ se movimentando ao longo de uma hipe´rbole xy = 8. Quando
atinge o ponto (4, 2), a coordenada y esta´ crescendo a uma taxa de 3cm/s. Qua˜o
ra´pido a coordenada x do ponto esta´ variando nesse momento?
15. Uma luz de rua e´ colocada no topo de um poste de 6m de altura. Um homem com
2m de altura anda, afastando-se do poste com velocidade de 1, 5m/s ao longo de uma
trajeto´ria reta. Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele esta´ a
10m do poste?
16. Uma esteira transportadora esta´ descarregando cascalho a uma taxa de 3m3/min,
construindo uma pilha na forma de cone com o diaˆmetro da base e altura sempre
iguais. Qua˜o ra´pido a altura da pilha cresce quando esta´ a 3m de altura?
17. Uma pipa a 50m do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de 2m/s. A que
taxa decresce o aˆngulo (medido em radianos) entre a linha e a horizontal depois de
100m de linha serem soltos?
18. Os lados de um triaˆngulo equila´tero esta˜o crescendo a uma taxa de 10 cm/min. A que
taxa a a´rea do triaˆngulo esta´ crescendo quando os lados teˆm 30 cm de comprimento?
Bibliografia: Stewart, James. Ca´lculo, 7a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Pioneira, 2010.