Matrizes_Inversas_Final_Apresentacao22

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MATRIZES INVERSAS 
GRUPO:
Eduardo T. Fanelli
108055555
Guilherme Maia
103140931
Hugo Molleri
106050800
Leonardo Lopes
108056307
Leonardo Spártaco
108055864
Marcelo Bruno
107342420
Rodrigo Zalkowitsch
103087476
Saulo Lima Ferreira
107363248
Thiago Mendes de Melo
108055369
Matrizes Inversas
Matrizes inversas têm um papel importante
nas operações matriciais, porque podem ser
utilizadas para suprir uma operação da qual as
matrizes carecem: a divisão.
Como não podemos dividir matrizes,
utilizamos a multiplicação pelo inverso (a
matriz inversa, no caso) para efetuar tal operação.
 Condição
Para determinar se uma matriz quadrada é inversível, ou seja, se tem inversa, deve se verificar se seu determinante é diferente de zero. A matriz só é inversível se seu determinante for diferente de zero. 
Propriedades Importantes
1) det (A-1) = 1/detA , se detA ≠ 0.[1]
2) A ∙ A-1 = I;
3) Se A ∙ B é inversível, então (A ∙ B)-1 = B-1 ∙ A-1.
[1] Como foi visto anteriormente, o determinante de uma matriz inversível é sempre diferente de 0.
4) Se A é inversível, então (A-1)-1 = A.
5) Se A é uma matriz inversível, então para qualquer k constante real (k diferente de 0), a matriz k∙A é inversível e (k∙A)-1 = k-1∙A-1.
6) Se A é uma matriz inversível, então AT também é inversível e (AT)-1 = (A-1)T.
7) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A-1 é simétrica.
8) Se A é uma matriz inversível, então 
	A∙AT e AT∙A também são inversíveis.
 
         
ACHANDO A INVERSA 
DE UMA MATRIZ
Como A . A-1 = A-1. A = I, onde I é a matriz identidade, e A-1 é a matriz inversa de A. Podemos calcular a inversa de uma matriz 2 x 2 facilmente da seguinte forma:  
 
Supondo que B é a matriz inversa da matriz A, e sabendo que o determinante de A é diferente de zero temos: 
Assim:
                           
Resolvendo os sistemas:
 a = 1, b = –1, c = –2  e  d = 3
Portanto, a inversa da matriz A é a matriz B = A-1: 
Outra forma de calcular inversas pode ser através da seguinte fórmula: 
 A-1 =   1    .  
 det. A 
Onde A-1 é a matriz inversa de A e    é a matriz adjunta de A. 
Matriz adjunta é igual a transposta de A’ (matriz dos cofatores). 
    = (A’)t 
Co-fator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada é o número Aij tal que 
Aij = (-1)i+j·Dij, sendo Dij o determinante da matriz obtida eliminando a linha i e a coluna j da matriz original que contenha o elemento.
Exemplo:
Seja a matriz A:
O co-fator do elemento a22, é calculado da seguinte forma:
Veja como utilizamos esse processo para encontrar a matriz inversa, passo a passo:
Dada a matriz A =                , para 
encontrarmos a sua matriz inversa é preciso calcular o menor complementar de todos os elementos. 
A11 = (-1)1+1 . D11 = (-1)2 .          = 1 
A12 = (-1)1+2 . D12 = (-1)3 .            = -1 . (-2 + 2) = 0
A13 = (-1)1+3 . D13 = (-1)4 .           = 1 
A21 = (-1)2+1 . D21 = (-1)3 .             = 1 
A22 = (-1)2+2 . D22 = (-1)4 .            = -1
 
A23 = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 .           = 0 
A31 = (-1)3+1 . D31 = (-1)4 . = 0
A32 = (-1)3+2 . D32 = (-1)5 . = 2
A33 = (-1)3+3 . D33 = (-1)6 . = 1
Agora com cada menor complementar iremos montar uma matriz dos co-fatores A’. 
			A’ =
Calculamos agora a sua transposta: 
			(A’)t = 
Como = (A’)t dizemos que a matriz adjunta de A
 
é igual a 
Calculamos agora o determinante da matriz A.
 Det A = = 1
Basta aplicar a fórmula para encontrar a inversa da matriz A: 
A-1 =   1 .    
        det. A 
A-1 = 1 .  
       1 
A-1 = 
EXEMPLOS:
Dada a matriz , determine a sua inversa, se existir: 
calculamos det A
	det A = 0 + 6 = 6, logo existe a matriz inversa de A.
determinamos a matriz dos co-fatores de A:
	A11 = (–1)1+1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
	A12 = (–1)1+2 · (3) = (–1).(3) = –3
	A21 = (–1)2+1· (–2) = (–1).(–2) = 2
	A22 = (–1)2+2 · (1) = (1).(1) = 1
determinamos a transposta de cof A, isto é, sua adjunta:
finalmente, determinamos a matriz inversa da matriz A:
 
Para encontrarmos a matriz inversa de A, escrevemos a matriz A e ao lado escrevemos a matriz Identidade. Fazemos operações nas linhas da matriz A para transforma-la na Identidade. Fazemos as mesmas operações na Identidade. Quando a matriz A se tornar a matriz Identidade, o que inicialmente era a matriz identidade se tornará a matriz inversa de A.
1
0
1
1
0
0
A=
2
3
1
0
1
0
1
0
2
0
0
1
L3' = L3 - L1
1
0
1
1
0
0
2
3
1
0
1
0
0
0
1
-1
0
1
O determinante deve ser diferente de 0.
22
Algebra Linear II
Matrizes Inversas
1
0
1
1
0
0
2
3
1
0
1
0
0
0
1
-1
0
1
L2'= L2 - 2L1
1
0
1
1
0
0
0
3
-1
-2
1
0
0
0
1
-1
0
1
L1'= L1 - L3
1
0
0
2
0
1
0
3
-1
-2
1
0
0
0
1
-1
0
1
1
0
0
2
0
1
0
3
-1
-2
1
0
0
0
1
-1
0
1
L2'= L2 + L3
1
0
0
2
0
1
0
3
0
-3
1
1
0
0
1
-1
0
1
L2'= L2 / 3
1
0
0
2
0
1
0
1
0
-1
0.33
0.33
0
0
1
-1
0
1
1
0
0
2
0
1
0
1
0
-1
0.33
0.33
0
0
1
-1
0
1
2
0
1
Matrizinversade A =
-1
0.33
0.33
-1
0
1
Após as operações, a matriz A se transformou na matriz identidade, e a matriz Identidade se transformou na matriz inversa de A.