numero racional operacoes fundamental ii

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* Professor da UFC (www.paulobarguil.pro.br) e coordenador do Laboratório de Educação Matemática – LEDUM (www.ledum.ufc.br). 
GOVERNO DO ESTADO DO CEARÁ 
Secretaria da Educação 
Coordenadoria de Cooperação com os Municípios 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – 
 e suas operações 
Paulo Meireles Barguil * 
 
Com tanta riqueza por aí 
Onde é que está 
Cadê sua fração? 
Até quando esperar? 
 André X, Gutje e Philippe Seabra 
 
1 INTRODUÇÃO 
(Consultar o texto da Formação I: Número racional e suas representações: decimal, fracionária e 
percentual). 
 
2 UM POUCO DE HISTÓRIA 
(Consultar o texto da Formação I: Número racional e suas representações: decimal, fracionária e 
percentual). 
 
3 PROPOSTA CURRICULAR DE MATEMÁTICA PARA O 1º, 2º, 3º, 4º E 5º ANOS DO ENSINO 
FUNDAMENTAL DO ESTADO DO CEARÁ – PC MATEMÁTICA 
(Consultar o texto da Formação I: Número racional e suas representações: decimal, fracionária e 
percentual). 
 
4 CONCEITOS: APRENDIZAGEM E ENSINO 
(Consultar o texto da Formação I: Número racional e suas representações: decimal, fracionária e 
percentual). 
Apresento, nessa seção, as operações com números racionais. 
 
4.1 Representação decimal: operações 
As operações com números racionais na representação decimal contemplam a mesma lógica das 
operações com números naturais. 
Na adição e na subtração, é importante que o professor utilize material concreto, seja o QVLPD, seja o 
Material Dourado (considerando o cubo como unidade, a placa como décimo, a barra como centésimo e o cubinho 
como milésimo). O princípio básico é: alinhar as ordens correspondentes de cada número (colocar vírgula abaixo de 
vírgula) e operar. 
Multiplicação (decimal x inteiro) (decimal x decimal): opera com os fatores sem considerar as vírgulas. No 
final, conta as casas depois da vírgula dos fatores e as considera no resultado. 
Divisão (inteiro / inteiro) (decimal / inteiro): transforma as representações decimais em números naturais 
e opera com os números naturais. 
 
4.2 Representação fracionária: operações 
A seguir, a resolução numérica e figurativa. 
 
4.2.1 Adição 
Fração + Fração 
 
1 + 2 = 3 + 8 = 11 
4 3 12 12 12 
 
1/4 = 1/4, 2/8, 3/12, ... 
2/3 = 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, ... 
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2 
 
 
4.2.2 Subtração 
Fração - Fração 
 
2 – 1 = 6 – 5 = 1 
5 3 15 15 15 
 
2/5 = 2/5, 4/10, 6/15, ... 
1/3 = 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, ... 
 
 
 
4.2.3 Multiplicação 
Inteiro * Fração 
 
3 * 1 = 1 + 1 + 1 = 3 
 4 4 4 4 4 
 
 
Fração * Inteiro 
 
3 * 8 = ● ● ● ● = 6 OU 
4 ● ● ● ● 
 
 
8 * 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 = 6 
 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 
 
Fração * Fração 
 
1 * 2 = 2 
2 3 6 
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3 
 
4.2.4 Divisão 
Fração : Inteiro (repartir igualmente) 
 
 1 : 2 = 1 * 1 = 1 
 3 3 2 6 
 
(Quanto é 1/3 dividido para duas pessoas: A e B?) 
 
 
 
 
 1/3 
 
A B 
 
 
 1/6 
Inteiro : Fração (medir ou comparar) 
 
1 : 1 = 1 * 4 = 4 ↔ 1 : 1 = 4 : 1 = 4 
 4 4 4 4 
 
(Quantas vezes o 1/4 cabe em 1 = 4/4?) 
 
 
 
Fração : Fração (medir ou comparar) 
Mesmos denominadores 
 
2 : 3 = 2 * 5 = 2 ↔ 2 : 3 = 2 : 3 = 2 
5 5 5 3 3 5 5 3 
 
(Quantas vezes o 3/5 cabe em 2/5?) 
 
 
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 4 
Diferentes denominadores 
 
3 : 2 = 3 * 7 = 21 = 2 5 ↔ 3 : 2 = 3 * 7 : 2 * 4 = 21 : 8 = 21 : 8 = 2 5 
4 7 4 2 8 8 4 7 4 * 7 7 * 4 28 28 8 
 
(Quantas vezes o 2/7 cabe em 3/4?) 
 
 
 
4.3 Representação percentual: operações 
O cálculo de porcentagem de uma quantidade discreta é muito utilizado na construção e outras atividades 
com gráficos e tabelas, bem como em problemas onde é necessário determinar a porcentagem de um grupo de pessoas. 
É importante que, para estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental, se trabalhe com quantidades 
onde os percentuais escolhidos (10%, 25%, 50%, 75%) gerem quantidades inteiras. 
 
Quanto é 75% das crianças de uma escola com 200 crianças? 
Representa-se, inicialmente, as duas frações: uma referente à quantidade de crianças e outra ao percentual. 
 
C % 
 x = 75 s 
200 100 
 
Considerando que essas frações são equivalentes, multiplique 75 por 200 e divida o resultado por 100. 
 
75 * 200 = 75 * 200 = 1.500 = 150 
100 100 100 
 
A quantidade indagada de crianças é 150. 
 
Outra forma: Representa-se a porcentagem na forma fracionária (I), divide-se o total de crianças da escola 
por 100 (II) e, em seguida, multiplica-se o resultado da divisão por 75 (III). 
 
75% de 200 crianças → 75/100 * 200 (I) → 200/100 = 2 (II) → 2 * 75 = 150 (III) 
 
Logo, 75% das 200 crianças é 150. 
 
Quanto é 50% dos amigos de Carlos, sabendo que Carlos tem 40 amigos? 
 
50% de 40 amigos → 50/100 * 40 → 40/100 = 0,4 → 0,4 * 50 = 20 
 
Logo, 50% dos amigos de Carlos é 20. 
 
Quanto é 10% de uma conta que custou 90 reais? 
 
10% de 90 reais → 10/100 * 90 → 90/100 = 0,9 → 0,9 * 10 = 9 
 
Logo, 10% da conta é 9 reais. 
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 5 
 
Para saber o percentual de 10 meninos numa turma com 25 crianças, como se procede? Representam-se, 
inicialmente, as duas frações: uma referente à quantidade de crianças e outra ao percentual. 
 
 C % 
10 = x s 
25 100 
 
Considerando que essas frações são equivalentes, multiplique 10 por 100 e divida o resultado por 25. 
 
10 * 100 = 1.000 = 40% 
25 25 
 
O percentual de meninos nessa turma é 40% 
 
5 INSTRUMENTOS AVALIATIVOS DE LARGA ESCALA 
Apresento, a seguir, os descritores referentes às operações com Números Racionais na Prova Brasil, bem 
como dos dois instrumentos avaliativos no Ceará: Sistema de Permanente de Avaliação da Educação Básica do Ceará – 
SPAECE e Programa de Alfabetização na Idade Certa – PAIC. 
 
5.1 Prova Brasil 
Apresento, na sequência, os descritores e exemplos de itens da Prova Brasil (BRASIL, 2008, p. 181-185). 
 
D25 – Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação) 
 
Com este descritor, o que se pretende avaliar? 
A habilidade de o aluno efetuar cálculos de expressões com diferentes representações dos números 
racionais e envolvendo as operações básicas do conjunto Q. 
A professora de matemática propôs como exercício a expressão 
 
 
 
Os alunos que resolveram corretamente a expressão encontraram como resultado, 
(A) -8/9 
(B) 0 
(C) 8/9 
(D) 2 
Respostas: 
A) 14% 
B) 31% 
C) 26% 
D) 26% 
 
 
O que o resultado sugere? 
Mais de 70% dos alunos não dominam a habilidade. Os 26% que assinalaram a alternativa “D” somaram 
os fatores, e os 31% que optaram por “B” devem ter somado 1/3 e -1/3 e subtraído 1 de 1. 
Que sugestões podem ser dadaspara melhor desenvolver essa habilidade? 
Este é um dos assuntos de maior dificuldade de assimilação pelos alunos. Para que os alunos operem 
adequadamente com frações e com números decimais, é fundamental que tenham compreendido bem o significado dos 
números racionais. Deve-se dedicar muito tempo para as atividades com operações entre racionais, na forma de frações, 
decimais ou mesclando-se as duas formas. 
 
 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 6 
D26 – Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, 
multiplicação, divisão, potenciação) 
 
Com este descritor, o que se pretende avaliar? 
A habilidade de o aluno resolver problemas utilizando-se das cinco operações com números racionais. 
Uma horta comunitária será criada em uma área de 5100m2. Para o cultivo de hortaliças, serão 
destinados 2/3 desta área. 
Quantos metros quadrados serão utilizados neste cultivo? 
(A) 340 
(B) 1700 
(C) 2550 
(D) 3400 
Respostas: 
A) 11% 
B) 29% 
C) 34% 
D) 24% 
 
 
O que o resultado sugere? 
Menos de 1/4 do total de alunos domina a habilidade. A grande maioria da população avaliada foi 
simplista nas operações: 34% dos alunos calcularam a metade de 5100 e 29% calcularam a terça parte. 
Que sugestões podem ser dadas para melhor desenvolver essa habilidade? 
Muitas atividades com o exercício simples de cálculo de frações de um número natural e a resolução de 
problemas envolvendo as quatro operações básicas com racionais. As situações-problema devem ser provocadas em 
sala de aula abordando o contexto do aluno. 
 
D28 – Resolver problema que envolva porcentagem 
 
Com este descritor, o que se pretende avaliar? 
A habilidade de o aluno resolver problemas contextualizados (descontos ou reajustes em compras, taxas, 
porcentagem de uma amostra em uma população etc.) que envolvam porcentagens. 
Em uma cidade em que as passagens de ônibus custam R$ 1,20, saiu em um jornal a seguinte 
manchete: 
 
 “NOVO PREFEITO REAJUSTA O PREÇO DAS PASSA- 
 GENS DE ÔNIBUS EM 25% NO PRÓXIMO MÊS” 
 
Qual será o novo valor das passagens? 
(A) 1,23 
(B) 1,25 
(C) 1,45 
(D) 1,50 
Respostas: 
A) 5% 
B) 16% 
C) 50% 
D) 26% 
 
 
O que o resultado sugere? 
Para um descritor de grande importância na vida prática dos alunos é extremamente preocupante que 
apenas cerca de 1/4 desse universo domina tal habilidade. Observa-se que metade dos alunos simplesmente somou os 
valores mencionados no enunciado e 16% substituiu a parte decimal do valor das passagens pelo percentual de 
aumento. 
Que sugestões podem ser dadas para melhor desenvolver essa habilidade? 
Este assunto deve ser exaustivamente trabalhado em sala de aula. São inúmeros os problemas oriundos do 
contexto do aluno que podem ser explorados em sala de aula: porcentagem de alunos, porcentagem de questões de 
prova, porcentagem de reajuste salarial, porcentagem de aprovação de determinado candidato etc. 
 
5.2 PAIC 
Na Matriz de Referência da SEDUC, são 2 (dois) os descritores referentes às operações com Números 
Racionais nas avaliações do PAIC, os quais são avaliados apenas no 5º ano (CEARÁ, s/d, p. 29): 
 
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 7 
D13 – Resolver problema que envolva cálculo simples de porcentagem (25%, 50% e 100%). 
 
O D13 possui apenas um nível (Quadro 01): 
 
Quadro 01 – Nível do Descritor 13 do PAIC Matemática 
NÍVEL 1º 2º 3º 4º 5º 
N1: Resolver problemas envolvendo cálculo de porcentagem relativa a 25%, 50% e 100%. 
X 
 
Apresento, na sequência, todos os itens referentes ao Descritor 13 nas avaliações do PAIC Matemática, de 
2013 a 2016 (CEARÁ, 2016). 
 
 
PAIC 2013 
5º ano 
Questão 10 
 
Respostas: 
A) 7,1% 
B) 16,6% 
C) 49,4% 
D) 25,8% 
N) 1,1% 
R) 0,0% 
 
 
PAIC 2014 
5º ano 
Questão 03 
 
Respostas: 
A) 42,8% 
B) 13,2% 
C) 9,0% 
D) 34,3% 
N) 0,1% 
R) 0,7% 
 
 
PAIC 2015 
5º ano 
Questão 23 
 
Respostas: 
A) 18,6% 
B) 12,0% 
C) 37,2% 
D) 29,5% 
N) 0,1% 
R) 2,7% 
 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 8 
 
PAIC 2016 
5º ano 
Questão 07 
 
Respostas: 
A) 21,8% 
B) 41,8% 
C) 31,8% 
D) 4,0% 
N) 0,0% 
R) 0,5% 
 
D16 – Resolver problema utilizando adição ou subtração com números racionais representados na forma 
fracionária ou na forma decimal. 
O D16 possui dois níveis (Quadro 02): 
 
Quadro 02 – Níveis do Descritor 16 do PAIC Matemática 
NÍVEL 1º 2º 3º 4º 5º 
N1: Resolver problema envolvendo adição ou subtração com números racionais representados na forma 
fracionária. 
 X 
N2: Resolver problema envolvendo adição ou subtração com números racionais representados na forma 
decimal. 
 X 
 
Apresento, na sequência, todos os itens referentes ao Descritor 16 nas avaliações do PAIC Matemática, de 
2013 a 2016 (CEARÁ, 2016). 
 
 
PAIC 2013 
5º ano 
Questão 07 
 
Respostas: 
A) 28,8% 
B) 18,8% 
C) 20,4% 
D) 30,8% 
N) 1,2% 
R) 0,0% 
 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 9 
 
PAIC 2014 
5º ano 
Questão 08 
 
Respostas: 
A) 18,0% 
B) 14,8% 
C) 42,5% 
D) 23,7% 
N) 0,1% 
R) 0,9% 
 
 
PAIC 2015 
5º ano 
Questão 14 
 
Respostas: 
A) 9,6% 
B) 14,2% 
C) 19,4% 
D) 55,8% 
N) 0,0% 
R) 0,9% 
 
 
PAIC 2016 
5º ano 
Questão 04 
 
Respostas: 
A) 13,9% 
B) 48,6% 
C) 16,9% 
D) 20,0% 
N) 0,0% 
R) 0,6% 
 
5.3 SPAECE 
Os descritores de referentes às operações com Números Racionais na Matriz de Referência do SPAECE 
(CEARÁ, 2015, p. 15) no 9º ano são: 
D12 – Resolver problema com números racionais envolvendo suas operações; 
D15 – Resolver problema utilizando a adição ou subtração com números racionais representados na 
forma fracionária (mesmo denominador ou denominadores diferentes) ou na forma decimal; 
D17 – Resolver situação-problema utilizando porcentagem; 
D19 – Resolver problema envolvendo juros simples. 
Apresento, na sequência, alguns itens referentes a esses descritores nas avaliações do SPAECE 
Matemática no 9º ano, de 2010 a 2014, que constam nos boletins pedagógicos disponibilizados na seção BOLETINS 
em: http://www.spaece.caedufjf.net/. 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 10 
D12 
 
SPAECE 2012 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 43,6% 
B) 32,4% 
C) 15,5% 
D) 8,2% 
 
A habilidade avaliada nesse item é a de resolver um problema envolvendo operações com números 
racionais. Como o quilo do peixe custa R$ 4,80, quem comprar 2,5 quilos pagará 2,5 x 4,80 = 12,00 reais. 
A alternativa A, que é a correta, foi a mais procurada. Os alunos que optaram por essa alternativa 
perceberam que bastava uma multiplicação para se chegar à solução do problema e fizeram essa operação corretamente. 
A alternativa B foi escolhida por alunos que calcularam o preço de 2 kg do peixe, em vez de 2,5 kg, dando 
como resposta 2 x 4,80 = 9,60 reais. 
A alternativa C foi escolhida por alunos que, ao invés do produto 2,5 x 4,80, deram como resposta a soma 
2,5 + 4,80 = 7,30. 
A alternativa D foi escolhida por alunos que deram como resposta a subtração 4,80 – 2,5 = 2,30. 
Provavelmente os alunos que escolheram a alternativa B apenasforam desatentos. Por outro lado, os que 
escolheram as alternativas C e D deram respostas envolvendo a soma ou subtração de quantias em dinheiro e quilos de 
peixe. Tudo indica que esses alunos tiveram dificuldade em interpretar o enunciado e, a partir disso, não foram capazes 
de saber quais operações deveriam fazer para resolver o problema. 
 
D17 
 
SPAECE 2010 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 6,1% 
B) 5,7% 
C) 25,0% 
D) 62,6% 
 
Os alunos que assinalaram a alternativa A não atribuíram significado ao enunciado, além de não saber lidar 
com porcentagem, pois atribuíram aos 25% do enunciado o valor absoluto 25, interpretando-o como R$ 25,00. 
Os alunos que assinalaram a alternativa B não se apropriaram do contexto e consideraram o valor da 
mesada, sem o aumento. 
Os alunos que assinalaram a alternativa C demonstraram ter desenvolvido a habilidade avaliada pelo item, 
pois calcularam 25% de R$ 50,00, encontrando corretamente R$ 12,50 e, em seguida, somaram esse valor à mesada 
R$ 50,00, encontrando R$ 62,50. 
Os alunos que assinalaram a alternativa D não souberam lidar com porcentagem, pois atribuíram aos 25% 
do enunciado o valor absoluto 25, somando em seguida R$ 50,00 + R$ 25,00 = R$ 75,00. 
 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 11 
 
SPAECE 2011 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 11,4% 
B) 43,1% 
C) 25,0% 
D) 19,8% 
 
O item avalia a habilidade de os estudantes resolverem situações-problema utilizando porcentagem. 
Para resolver o item, os estudantes devem relacionar 200% à forma decimal 2 ou à forma fracionária 
200/100 para, então, efetuar o cálculo. Os estudantes que assinalaram a alternativa D (19,8%) demonstram ter 
desenvolvido a habilidade avaliada pelo item. 
Os estudantes que assinalaram a alternativa B (43,1%) podem ter realizado uma soma considerando os 
valores absolutos do suco e da porcentagem, operando da seguinte forma 2,80 +2,00=4,80. Já aqueles que assinalaram a 
alternativa C (25,0%) demonstram não ter se apropriado do enunciado do item e calcularam apenas o valor do 
aumento. 
O tópico de porcentagem aparece em múltiplas situações do dia a dia, o que destaca sua importância na 
formação do cidadão. Espera-se, portanto, que os estudantes desta etapa de escolaridade tenham desenvolvido a 
capacidade de lidar com problemas que envolvem o conceito de porcentagem. 
 
 
 
SPAECE 2013 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 6,7% 
B) 73,0% 
C) 13,7% 
D) 5,4% 
 
Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem problemas envolvendo porcentagem. 
Para resolvê-lo, eles devem compreender que a quantidade de bombons vendida equivale a 50% da 
quantidade total de bombons. Os alunos que compreendem que 50% equivale à metade, imediatamente obtêm 250 
como resposta. Outra estratégia que pode ser utilizada por eles é a transformação da porcentagem 50% no numeral 
decimal 0,5 ou na fração e, posteriormente, a multiplicação de 0,5 ou por 500. Eles podem também utilizar a regra de 
três na resolução do problema. A escolha da alternativa B indica que esses alunos desenvolveram a habilidade avaliada 
pelo item. 
Os alunos que marcaram a opção A, possivelmente, associaram a porcentagem à divisão e calcularam 
500:50. A escolha da alternativa C indica que esses alunos não reconheceram o símbolo de porcentagem que 
acompanha o número 50 e, em seguida, subtraíram 50 da quantidade total de bombons. Aqueles que marcaram a opção 
D, provavelmente, confundiram-se nos procedimentos aritméticos e calcularam uma adição entre 500 e 50%, 
demonstrando uma incompreensão do símbolo de porcentagem, da mesma forma que na alternativa anterior. 
É esperado que os alunos desenvolvam um senso crítico sobre a aplicação de porcentagens, interpretando-
a nos diversos contextos nos quais podem estar inseridas. Para isso, é essencial que eles tenham se apropriado desse 
conceito, associando a representação percentual às representações fracionária ou decimal, bem como desenvolver 
estratégias de cálculo com números racionais. 
 
 
 
 
Número racional – decimal, fracionário e percentual – e suas operações Paulo Meireles Barguil 
 12 
D19 
 
SPAECE 2011 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 19,8% 
B) 28,7% 
C) 26,0% 
D) 24,9% 
 
O item avalia a habilidade de os estudantes resolverem problemas envolvendo juros simples. 
Para resolver este item, os estudantes devem observar que como os juros incidem apenas sobre o valor 
principal, caracteriza-se o regime de juros simples. Dessa forma, deve-se calcular o montante acumulado ao final do 1º 
ano através da relação M=C.(1+i.n) ou calculando separadamente os juros (J=C.i.n) para adicionar a quantia encontrada 
ao valor inicial de R$ 10 000,00. Em seguida, ao reinvestir esse dinheiro, considera-se novamente a taxa de juros de 
10% ao ano e a quantia de R$ 11 000,00, proveniente do investimento do ano anterior. Assim, calcula-se o novo 
montante, que corresponde a uma quantia de R$ 12 100,00. Os estudantes que marcaram a alternativa correta, opção D, 
correspondem a 24,9%. 
Os estudantes que assinalaram a opção B (28,7%), provavelmente, calcularam o montante acumulado ao 
final dos dois anos, porém consideraram apenas os juros que incidiram ao final desse período. Já aqueles que marcaram 
a alternativa C (26,0%), possivelmente, consideraram apenas o montante relativo ao primeiro investimento. 
 
 
SPAECE 2013 
9º ano 
 
Respostas: 
A) 20,8% 
B) 24,7% 
C) 29,1% 
D) 24,4% 
 
Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem problema envolvendo o cálculo de juros simples. 
 
Referências 
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Plano de Desenvolvimento da Educação – PDE 
/ Prova Brasil. Brasília: MEC, SEB; INEP, 2008. 
CEARÁ. Secretaria de Educação. Proposta curricular de Matemática para o 1º, 2º, 3º, 4º e 5º anos do Ensino 
Fundamental do Estado do Ceará. Fortaleza: SEDUC, 2013a. 
______. O Trabalho pedagógico na área de Matemática com foco no desenvolvimento de habilidades: 
considerações sobre a prática em sala de aula. Fortaleza: SEDUC, 2013b. 
______. Matrizes de Referência para avaliação de Língua Portuguesa e Matemática. Fortaleza: SEDUC, s/d. 
______. SPAECE 2015: Boletim Pedagógico – Matemática (9º ano). Fortaleza: SEDUC, 2015. 
______. Itens das provas do PAIC Matemática: 2010 a 2016. Fortaleza: SEDUC, 2016. (no prelo) 
X, André; GUTJE; SEABRA, Philippe. Até quando esperar. Intérprete: Plebe Rude. In: O concreto já rachou. EMI, 
1986. Faixa 01. 
Sugestão de leitura 
BRASIL. Ministério da Educação. Operações com números racionais. Brasília: FNDE/FUNDESCOLA, 2006a. 
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/gestar/tpmatematica/mat_tp8.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2016. 
BRASIL. Ministério da Educação. Operações com números racionais (Atividades de apoio à aprendizagem). Brasília: 
FNDE/FUNDESCOLA, 2006b. Disponível em: 
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