Lista de Exercícios - 01

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Departamento de Matema´tica - UFS
Vetores e Geometria Anal´ıtica
Primeira Lista de Exerc´ıcios
Questa˜o 1. Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o, justifique sua resposta.
a) AB//CD ⇒ −→AB//−−→CD.
b) AB ∼ CD ⇔ −→AB = −−→CD. d)‖−→AB‖ = ‖−−→CD‖ ⇒ −→AB = −−→CD.
c)
−→
AB =
−−→
CD ⇒ A = C e B = D. e)−→AB = −−→CD ⇒ ‖−→AB‖ = ‖−−→CD‖.
Questa˜o 2. Encontre:
a)−→u +−→v e −→v +−→u
b)−→u −−→v e −→v −−→u , onde
−→u e´ −→ e −→v e´ →
Questa˜o 3. Dados os vetores −→u ,−→v ,−→w abaixo encontre
a)−→u +−→v +−→w .
b)−→w −−→u .
c)α−→v +−→u
u
v w
Questa˜o 4. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na figura, apresentar um representante de cada um
dos vetores:
~u
~v
~w
a) 4~u-2~v-~w;
b) ~u+~v+~w;
c) 2~v-(~u+~w).
Questa˜o 5. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v e´ de 60◦, determinar o aˆngulo formado
pelos vetores:
a) ~u e −~v;
b) −~u e ~v;
c) −~u e −~v;
d) 2~u e 3~v;
Questa˜o 6. Vale a igualdade ‖−→u +−→v ‖ = ‖−→u ‖+ ‖−→v ‖ para quaisquer vetores −→u , −→v ? Justifique sua
resposta.
1
2
Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o, justifique sua resposta.
a) Sejam −→w ,−→v vetores na˜o nulos. Se −→w = −4−→v ⇔ −→w//−→v .
b)Seja −→u = −→0 o vetor nulo e −→v um vetor qualquer na˜o nulo, enta˜o −→u e´ mu´ltiplo de −→v .
c) Seja −→v 6= −→0 . Enta˜o, se α−→v = β−→v ⇒ α = β.
Questa˜o 7. Desenhe os seguintes vetores, no sistema de coordenadas gerado pelos vetores i, j, k em
R
3, −→v = (0, 1, 2),−→w = (−1,−3, 1);−→r = (0, 0,−2).
Questa˜o 8. Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o, justifique sua resposta.
a)A medida angular entre dois vetores de sentido contra´rio e´ de 180 graus.
b)Sejam −→u ,−→v vetores na˜o nulos. Se −→u .−→v = 0⇒ ang(−→u ,−→v ) = 180o
Questa˜o 9. Quais dos seguintes vetores sa˜o paralelos: −→u = (6,−4),−→v = (−9, 6),−→w = (7,−10).
Questa˜o 10. Dados os vetores −→u = (−3, 2, 5),−→v = (0, 5, 4/3),−→w = (3√625,−3, 1/4),−→s , tal que
‖−→s ‖ = 5. Calcule
a)−3−→v +−→u .
b)‖ − 2
3
−→s ‖.
c)‖−→v ‖
d) ‖ − 4−→u ‖
e)‖−→w −−→u ‖.
Questa˜o 11. Ache um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor −→v = (−3/2, 2,−1).
Questa˜o 12. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores −→u = (2m+1, 3, 1)
e −→v = (4, 2,−3n+ 1).
Questa˜o 13. Uma reta no plano tem equac¸a˜o y = 2x+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
Questa˜o 14. Determine x para que se tenha ~AB = ~CD, sendo A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) e
D(2x, x+ 6).
Questa˜o 15. Determine a extremidade da seta que representa o vetor ~v = (3,−7), sabendo que sua
origem e´ o ponto A(2, 1).
Questa˜o 16. Determine um vetor w tal que
a) 3(~u+ ~w)− 2(~v − ~w) = 0 onde ~u = (2,−1, 1) e ~v = (1, 3, 0);
b) 1
2
[3(~u+ ~w)− 4(~v − ~w)] = 5[~u− 3~w + 4(3~v − 2~w)] onde ~u = (2,−1) e ~v = (1, 3).
Questa˜o 17. Encontre um vetor
a) Com mesma direc¸a˜o e sentido do vetor (3, 4) e mo´dulo igual a 6;
b) Com mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao do vetor (−1, 2) e mo´dulo igual a 5.
Questa˜o 18. Dados os pontos A, B e C, exprima o vetor ~CM em func¸a˜o dos vetores ~CA e ~CB,
sendo M
3
a) O ponto me´dio de AB;
b) Um ponto de AB tal que 3 ~AM = ~AB.
Questa˜o 19. Escreva o vetor (7,−1) como soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,−1) e o
outro paralelo ao vetor (1, 1).
Questa˜o 20. Represente graficamente os vetores da forma
(2, 4) + t(3,−1)
onde t e´ um nu´mero real.
Questa˜o 21. Se ABCD e´ um quadrila´tero e P , Q, R e S sa˜o os pontos me´dios dos lados AB, BC,
CD e DA, respectivamente, prove que PQRS e´ um paralelogramo.
Questa˜o 22. Os pontos A(1,−5), B(5, 2) e C(3, 9) sa˜o treˆs ve´rtices de um paralelogramo. Ache treˆs
pontos, cada um dos quais podendo ser o seu quarto ve´rtice .
Questa˜o 23. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3,−1), calcular ~OA− ~AB, ~OC− ~BC e 3 ~BA−
4 ~CB.
Questa˜o 24. Dados os vetores ~u = (3,−4) e ~v = (−9
4
, 3), verificar se existe nu´meros a e b tais que
~u = a~v e ~v = b~u.
Questa˜o 25. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar k1 e k2 tais que
~w = k1~u+ k2~v.
Questa˜o 26. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4,−2, 0), determinar o ponto P tal que ~AP = 3 ~AB.
Questa˜o 27. Calcule o produto interno dos vetores −→u = (−2, 3),−→v = (5, 7) e o produto interno dos
vetores −→w = (0, 3, 5) e −2−→s , onde −→s = (5, 3, 2).
Questa˜o 28. Encontrar os nu´meros a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1),
~v2 = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14).
Questa˜o 29. Verificar se sa˜o colineares os pontos:
a) A(−1,−5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2,−7,−1)
b) A(2, 1,−1), B(3,−1, 0) e C(1, 0, 4)
Questa˜o 30. Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).
Questa˜o 31. Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o os ve´rtices de
um paralelogramo.
Questa˜o 32. Determinar o sime´trico do ponto P (3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto A(−1, 0,−3).