Reta exercicios

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Geometria Analítica. 
Retas. 
QUESTÃO 1 
A circunferência F está no primeiro quadrante do 
sistema de eixos ortogonais com origem no ponto 0. 
Se F tem o centro no ponto E (2,2) e tangencia as 
retas y = 2x e x = 2y respectivamente nos pontos X 
e Y. A área do quadrilátero 0XEY é igual a 
 
A) 3,6 u.a. 
B) 3,2 u.a. 
C) 2,8 u.a. 
D) 2,4 u.a. 
QUESTÃO 2 
A figura a seguir mostra, no plano cartesiano, a vista 
superior de um museu que possui a forma de um 
quadrado. 
 
 
Como parte do sistema de segurança desse museu, 
há, localizado no ponto (0, 0), um emissor de raios 
retilíneos o qual detecta a presença de pessoas. Os 
raios emitidos são paralelos ao plano do piso e 
descrevem trajetórias paralelas às semirretas y = λ 
x, 
com x ≥ 0 , onde λ é um parâmetro que ajusta a 
direção dos raios, de acordo com o ponto que se 
deseja proteger. No museu, só existem entradas 
nos lados oeste e sul, os quais devem ficar 
totalmente protegidos pelo sistema de segurança. 
 
De acordo com essas informações, o parâmetro λ 
deve variar, pelo menos, no intervalo: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 3 
A representação gráfica da equação (x + y)
2
 = x
2
 + 
y
2
 no sistema cartesiano ortogonal é 
 
(A) o conjunto vazio. 
(B) um par de retas perpendiculares. 
(C) um ponto. 
(D) um par de pontos. 
(E) um círculo. 
QUESTÃO 4 
As retas perpendiculares à reta de equação 3x + 
4y – 9 = 0, que distam 4 unidades da origem, são: 
 
A) 4x – 3y = 5 e 4x – 3y = – 5 
B) 4x – 3y = 20 e 4x – 3y = – 20 
C) 4x – 3y = 4 e 4x – 3y = – 4 
D) 3x + 4y = 10 e 3x + 4y = – 10 
E) 4x – 3y = 10 e 4x – 3y = – 10 
QUESTÃO 5 
Considere as retas perpendiculares r e s de 
equações y = ax − 3 e y = 2 x + b, respectivamente. 
Sabendo que a, 2 e b estão, nessa ordem, em uma 
Progressão Geométrica, é correto afirmar que o 
ponto de interseção de r e s é 
 
A) (2, −4) . 
B) (−3, 2) . 
C) (−3, −4) . 
D) (2, −3) . 
E) (4, −2) . 
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QUESTÃO 6 
Considere as retas r1e r2 , descritas pelas equações 
cartesianas y1 = a· x + d e y2 = b · x + c, 
respectivamente, em que a, b, c e d são números 
reais. Sabe-se que a, b, c e d formam, nessa ordem, 
uma progressão geométrica de razão −2 e que a 
soma desses números é igual a 5. 
 
Com base nessas informações, é correto afirmar 
que a área do triângulo limitado pelas retas r1, r2 e a 
reta de equação y = 0 é igual a 
 
A) 24. 
B) 16. 
C) 12. 
D) 32. 
QUESTÃO 7 
Considere o hexágono regular inscrito na 
circunferência de raio 2 centrada na origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, conforme 
representado na figura a seguir. Nessas condições, 
é INCORRETO afirmar: 
 
 
 
 
 
 
a) A equação da circunferência é 
b) O triângulo com vértices nos pontos B, D e F é 
equilátero. 
c) A distância entre os pontos A e D é 4. 
d) A equação da reta que passa pelos pontos A e C 
pode ser escrita na forma px + qy = r, com r = 0. 
e) A equação da reta que passa pelos pontos B e D 
pode ser escrita na forma y = px + q, com p < 0 e 0 
< q < 2. 
QUESTÃO 8 
Considere um ponto P do plano cartesiano, situado 
no 1º quadrante, pertencente à reta de equação y = 
2x, e cuja distância à reta y = x é igual a . A 
soma das coordenadas de P é: 
A. 6 
B. 5 
C. 4 
D. 3 
E. 2 
QUESTÃO 9 
Na malha quadriculada a seguir, cujos quadrados 
têm lados medindo 10 metros, encontra-se o mapa 
de um tesouro. 
 
 
 
Sobre o tesouro, sabe-se que: 
 
• encontra-se na direção determinada pelos dois 
pinheiros; 
• está a 110 metros a leste do muro. 
 
O valor que melhor aproxima a distância do tesouro 
à margem do rio, em metros, é: 
 
a) 44,3. 
b) 45,3. 
c) 45,7. 
d) 46,7. 
e) 47,3. 
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QUESTÃO 10 
No plano cartesiano, a equação da reta paralela à 
reta 3x + 2y = 12 e que determina no primeiro 
quadrante, junto com os eixos x e y, um triângulo de 
área igual a 3, é 
 
A. 3x + 2y = 6 
B. 3x + 2y = 5 
C. 3x + 2y = 4 
D. 3x + 2y = 3 
E. 3x + 2y = 2 
QUESTÃO 11 
No plano cartesiano, as retas cujas equações são: 
3x – 4y = 0, 3x – 4y + 5 = 0, x = 0 e x = 8 
determinam um paralelogramo cuja área é: 
 
A. 7 
B. 8 
C. 9 
D. 10 
E. 11 
QUESTÃO 12 
No plano cartesiano, considere a região P, cujos 
pontos satisfazem as inequações simultâneas 
 
 
Considere o feixe de retas paralelas x + y = c, c 
R. O maior valor de c para o qual uma reta do feixe 
intercepta a região P é: 
 
A 7 
B 7,5 
C 8 
D 8,5 
E 9 
QUESTÃO 13 
No plano cartesiano, considere as três retas dadas 
pelas equações: 
2x + y = 10 x – 3y = –9 
 e 5x – 3y = 10 
 
Podemos afirmar que 
 
A. as retas determinam um triângulo. 
B. as retas passam todas por um mesmo ponto. 
C. as retas formam um feixe de paralelas. 
D. as retas são duas paralelas cortadas por uma 
transversal. 
E. duas das retas são perpendiculares entre si. 
QUESTÃO 14 
Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os 
pontos A (1, 1), B (5, 1), C (6, 3) e D (2, 3), vértices 
de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x – 
5y – 11 = 0. 
A reta s, paralela à reta r, que divide o 
paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma 
área terá por equação: 
 
 
 
(A) 3x – 5y – 5 = 0. 
(B) 3x – 5y = 0. 
(C) 6x – 10y – 1 = 0. 
(D) 9x – 15y – 2 = 0. 
(E) 12x – 20y – 1 = 0. 
QUESTÃO 15 
Numa aula de Geometria Analítica foi proposto aos 
alunos o seguinte exercício: 
 
“Sejam M e m, respectivamente, o maior e o menor 
dos elementos do conjunto: 
 
 
Considere o ponto P = (M + m, m) e as retas r : y = 
Mx + m e s : y = mx + M. 
Calcule a distância de P a s e a ordenada do ponto 
Q tal que r ∩ s = {Q}.” 
 
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Rui calculou a distância de P a s e obteve e Ana 
encontrou 3 para a ordenada do ponto Q. Diante 
das respostas obtidas por esses alunos, é 
CORRETO afirmar que: 
 
a) ambos erraram. 
b) ambos acertaram. 
c) apenas Rui acertou. 
d) apenas Ana acertou. 
QUESTÃO 16 
O gráfico da equação é 
uma reta r . A equação da reta perpendicular a r que 
passa pelo ponto (1, 4) é: 
 
a) y = − 2x + 8 
b) y = − 2x + 6 
c) y = 2x + 2 
d) y = 2x + 4 
QUESTÃO 17 
O gráfico expressa a relação entre a densidade e a 
percentagem em água de uma solução de álcool 
hidratado. 
 
 
 
Em relação à solução de álcool hidratado, é 
CORRETO afirmar que 
 
A) à medida que diluímos a solução, sua densidade 
diminui proporcionalmente ao volume de água 
adicionado. 
 
B) o álcool anidro constituinte dessa solução tem 
densidade igual a 0,90 g/mL. 
 
C) quando a densidade da solução for igual a 0,90 
g/mL, a percentagem de álcool é igual a 25%. 
 
D) a densidade da solução será igual a 0,84 g/mL, 
quando a percentagem de álcool for igual a 75%. 
 
E) a densidade da solução é constante, 
independente da adição ou da remoção de álcool 
fou de água da solução. 
QUESTÃO 18 
Os pontos A(–1, 4), B(2, 3) e C não são colineares. 
O ponto C é tal que a área do triângulo ABC é . 
Nas condições dadas, o lugar geométrico das 
possibilidades de C é representado no plano 
cartesiano por um(a) 
 
(A) par de pontos distantes um do outro. 
(B) reta perpendicular a que passa por . 
(C) reta perpendicular a que passa por 
. 
(D) par de retas paralelas distantes uma da 
outra. 
(E) parde retas paralelas distantes uma da 
outra. 
QUESTÃO 19 
Sejam (a, b), com a e b positivos, as coordenadas 
de um ponto no plano cartesiano, e r a reta com 
inclinação m < 0, que passa pelo ponto (a, b). A reta 
r intercepta o eixo das abscissas no ponto P, e o 
eixo das ordenadas no ponto Q, definindo desta 
maneira um triângulo OPQ, com O sendo a origem 
do sistema de coordenadas, como ilustrado a 
seguir. 
 
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Avalie a veracidade das afirmações a seguir, 
referentes a esta configuração. 
 
0-0) A equação de r é y = mx + b – ma 
1-1) P = (a + b/m, 0) e Q = (0, b – ma) 
2-2) A área do triângulo OPQ é ab – (ma
2 
+ b
2
/m)/2 
3-3) A área de OPQ é sempre ≥ 2ab 
4-4) Para o triângulo OPQ ter a menor área 
possível, a reta r deve interceptar os eixos 
coordenados nos pontos P = (2a, 0) e Q = (0, 2b). 
QUESTÃO 20 
Uma circunferência de raio 3, situada no 1º 
quadrante do plano cartesiano, é tangente ao eixo y 
e à reta de equação y = x. Então, a ordenada do 
centro dessa circunferência vale: 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 21 
Uma companhia de telefonia celular deseja instalar 
três torres de transmissão de sinal para delimitar 
uma região triangular com 600 Km
2
 de área, de tal 
modo que a primeira torre se localize a 32 Km a 
leste e 60 Km ao norte da central de distribuição 
mais próxima, e a segunda torre se localiza a 70 Km 
a leste e 100 Km ao norte da mesma central de 
distribuição. 
 
Sabendo-se que a terceira torre deve localizar-se a 
20 Km ao norte desta central de distribuição, é 
correto afirmar que a posição a leste da terceira 
torre é 
 
(A) 131 Km. 
(B) 65 Km. 
(C) 102 Km. 
(D) 24 Km. 
(E) 35 Km. 
QUESTÃO 22 
As margens de um rio estão representadas pelas 
retas de equações 6x + 8y + 400 = 0 e 3x + 4y + 25 
= 0, onde x e y são medidos em metros. Sabendo-
se que um atleta de natação nadou nesse rio de 
uma margem a outra, conclui-se que esse atleta 
nadou no mínimo: 
 
a) 30 m 
b) 35 m 
c) 28 m 
d) 32 m 
e) 40 m 
QUESTÃO 23 
Dois dos pontos A = (2, –1), B = (2, –3), C = (1,4), D 
= (4, –3) estão numa das bissetrizes das retas 
3y – 4x –3 = 0 e 4y –3x – 4 = 0. 
 
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é: 
 
a) y + x –1= 0 
b) y + 7x –11 = 0 
c) y – x –1 = 0 
d) x = 2 
e) y + x – 5 = 0 
QUESTÃO 24 
Em um supermercado, existem duas câmeras de 
vídeo instaladas nos pontos A e B. Há duas 
gôndolas posicionadas perpendicularmente à 
parede, uma de 15 metros e a outra de 10 metros 
de comprimento, distantes 3 metros entre si. A 
região na cor cinza corresponde à área em que as 
câmeras não conseguem captar imagem. Veja a 
planta baixa na ilustração: 
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A área da região na cor cinza, em m², mede: 
 
a) 7,5 
b) 9 
c) 10 
d) 15 
e) 18 
QUESTÃO 25 
Em uma planície, dois caçadores armados estão 
localizados nos pontos A (2, 1) e B (14, 2). Nos 
pontos de coordenadas C (4, 7) e D (11, 14) , 
encontram-se duas árvores. 
 
Um ponto que está livre do alcance das balas de 
ambos os caçadores é: 
 
a) (43,−83) 
b) (−7,3) 
c) (43,83) 
d) (−7,−22) 
e) (9,22) 
QUESTÃO 26 
Embora não compreendam plenamente as bases 
físicas da vida, os cientistas são capazes de fazer 
previsões surpreendentes. Freeman J. Dyson, por 
exemplo, concluiu que a vida eterna é de fato 
possível. Afirma que, no entanto, para que tal fato 
se concretize o organismo inteligente precisaria 
reduzir a sua temperatura interna e a sua velocidade 
de processamento de informações. Considerando-
se v a velocidade cognitiva (em pensamentos por 
segundo) e T a temperatura do organismo (em 
graus Kelvin), Dyson explicitou a relação entre as 
variáveis por meio do 
gráfico abaixo: 
 
 
 
Sabendo-se que o gráfico da figura está contido em 
uma reta que passa pelos 
pontos , 
assinale a alternativa que contém a equação que 
descreve a relação entre x e y. 
 
(A) 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
QUESTÃO 27 
Nesta figura, está representada a região T, do plano 
cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas 
y = x + 1 e y = 3x: 
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Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em 
torno do eixo y. 
 
Então, é CORRETO afirmar que o volume de S é 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
QUESTÃO 28 
Nesta figura, está representado um quadrado de 
vértices ABCD: 
 
 
 
Sabe-se que as coordenadas cartesianas dos 
pontos A e B são A = (0, 0) e B = (3, 4). 
 
Então, é CORRETO afirmar que o resultado da 
soma das coordenadas do vértice D é 
 
A) –2. 
B) –1. 
C) – . 
D) – . 
QUESTÃO 29 
No plano cartesiano usual, a área, em unidade de 
área (u.a.), do triângulo cujos três lados estão 
respectivamente sobre as retas de equações x + y – 
5 = 0; 3x – 2y + 5 = 0 e 2x – 3y + 5 = 0 é 
 
A) 2,0. 
B) 2,5. 
C) 3,0. 
D) 3,5. 
QUESTÃO 30 
Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro 
(0, 0) e uma corda de C. Sabendo que (1, 3) é 
ponto médio de , então uma equação da reta 
que contém é 
 
A ( ) y + 3x – 6 = 0 
B ( ) 3y + x – 10 = 0 
C ( ) 2y + x – 7 = 0 
D ( ) y + x – 4 = 0 
E ( ) 2y + 3x – 9 = 0 
QUESTÃO 31 
Calcule a área do triângulo de vértices A = (1,2), B = 
(2,4) e C = (4,1). 
 
 
 
 
(A) 
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(B) 3 
 
(C) 
 
(D) 4 
 
(E) 
QUESTÃO 32 
Um triângulo tem vértices A = (0,3) , B = (4,0) e C = 
(x,5) para algum x entre 0 e 4. Se a área do 
triângulo é 8, então o valor de x é: 
 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
QUESTÃO 33 
 
Internet: <http://violaoeguitarraon-
line.blogspot.com>. 
 
Em um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais xOy, na situação da figura, a 
expressão fornece a altura y 
= f(x), em metros, da ponta da flecha em função da 
abscissa x, em metros. Considere que, em cada 
instante t ≥ 0, em segundos, as coordenadas (x, f(x)) 
da trajetória descrita pela ponta de flecha podem ser 
dadas, em função de t, por (x(t), f(x(t))), com x(t) = 
10 – 20t. Desse modo, o movimento da ponta da 
flecha se decompõe na horizontal como x(t) = 10 – 
20t e, na vertical, como y(t) = f(x(t)). 
 
Com base nessas informações, e considerando que 
uma maçã esteja localizada no ponto P de 
coordenadas (0,5), julgue os itens a seguir (certo ou 
errado). 
 
• Considere que, em vez da flecha, o soldado 
estivesse utilizando uma arma de fogo com o cano 
apontado na mesma direção e sentido da flecha e 
que a trajetória do projétil fosse linear. Nessa 
situação, a distância, em metros, do ponto P à 
trajetória descrita pelo projétil seria igual a 
 
a) 13. 
b) 6,5 × . 
c) 7. 
d) 3,5 × . 
QUESTÃO 34 
A área do quadrilátero definido pelos eixos 
coordenados e as retas r: x – 3y + 3 = 0 e s: 3x + y – 
21 = 0, em unidades de área, é igual a 
A) . 
B) 10. 
C) . 
D) . 
E) . 
QUESTÃO 35 
A caminhada é um exercício físico praticado por 
muitas pessoas, com ela pode-se manter a saúde e 
um bom condicionamento físico. Considere em um 
plano cartesiano a caminhada de uma pessoa, 
passando pelos pontos A, B, C e D 
respectivamente. O deslocamento da pessoa de um 
ponto ao outro é realizado em linha reta e a 
distância percorrida medida em metros. Esta 
caminhada inicia no ponto A (0,0),passa pelo ponto 
B (0,400), em seguida para o ponto C(x,y), depois 
para o ponto D (600,0) e terminando a sua 
caminhada no ponto A (0,0). Sabendo que o ponto 
C é a intersecção das retas y = 400 e y = x 
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+ 800. Então a distância percorrida por esta pessoa 
foi de: 
(A) 1.000 metros 
(B) 1.200 metros 
(C) 1.400 metros 
(D) 1.800 metros 
(E) 1.900 metros 
QUESTÃO 36 
A distância entre duas retas paralelas é o 
comprimento do segmento de perpendicular às retas 
que tem uma extremidade em uma reta e a outra 
extremidade na outra reta. No plano cartesiano, a 
distância entre as retas de equações 3x + 4y = 0 e 
3x + 4y +10 = 0 é: 
A) 0,5 
B) 1 
C) 1,5 
D) 2 
E) 2,5 
QUESTÃO 37 
As equações das retas representadas no sistema de 
coordenadas cartesianas a seguir são 
 
2x + y – 3 = 0 
5x – 4y – 8 = 0 
x – 3y + 3 = 0 
 
 
 
As equações de r e s são, respectivamente, 
A) 2x + y – 3 = 0 e x – 3y + 3 = 0 
B) 2x + y - 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0 
C) 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0 
D) x – 3y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0 
E) x – 3y + 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0 
QUESTÃO 38 
As retas com equações y = + 4 e y = + 6 
têm parte de seus gráficos esboçados a seguir. 
 
 
 
Qual a área da região colorida na figura, que está no 
primeiro quadrante e é limitada pelos eixos 
coordenados e pelas duas retas? 
 
A) 12 
B) 13 
C) 14 
D) 15 
E) 16 
QUESTÃO 39 
Considere o triângulo cujos lados estão sobre as 
retas y = 0, x + 2y = 6 e x − y = 2. 
Qual é a área do triângulo? 
 
(A) 
(B) 1 
(C) 
(D) 3 
(E) 
QUESTÃO 40 
Na figura a seguir estão representados, em um 
sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado 
cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado 
de área 9 unidades e a reta r que passa por um 
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vértice de cada quadrado. Nessas condições, a 
equação da reta r é: 
 
 
 
a) x – 2y = –4 
b) 4x – 9y = 0 
c) 2x + 3y = –1 
d) x + y = 3 
e) 2x – y = 3 
QUESTÃO 41 
Na figura a seguir, o triângulo equilátero OAB está 
representado em um sistema cartesiano ortogonal, e 
sua área mede . Qual é a equação da reta 
suporte do lado AB? 
 
 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
QUESTÃO 42 
Na figura a seguir, temos quatro retas r // s e t // u, 
cujas equações são: 
(r) : y = m1x + n1 
(s) : y = m2x + n2 
(t) : y = m3x + n3 
(u) : y = m4x + n4 
 
Podemos afirmar que: 
A) m1 = m2 e n1 < 0 
B) m1 = m2 e n2 < 0 
C) m3 = m4 e n3 < 0 
D) m3 = m4 e n4 > 0 
E) n1 = n2 e m1 > 0 
QUESTÃO 43 
No plano cartesiano, considere a reta (r) da equação 
3x + 4y – 7 = 0 e a reta (s) dada na forma 
paramétrica: 
 
Podemos afirmar que: 
A. r e s são perpendiculares. 
B. r e s determinam, com o eixo das abscissas, um 
triângulo de área . 
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C. r e s se interceptam num ponto do eixo das 
abscissas. 
D. r e s se interceptam num ponto do eixo das 
ordenadas. 
E. r e s são paralelas. 
QUESTÃO 44 
No plano cartesiano, M(3,3), N(7,3) e P(4,0) são os 
pontos médios respectivamente dos lados , , 
e de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C 
é: 
 
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 0 
QUESTÃO 45 
O “bocha” é um esporte trazido ao Brasil pelos 
imigrantes italianos. Ele consiste no lançamento de 
“bochas” (bolas), a partir de uma região delimitada, 
para situá-las o mais próximo possível de um “bolim” 
(bola pequena) previamente lançado. A “cancha”, 
local onde o jogo é praticado, é uma espécie de raia 
e pode ser interpretada como uma porção de um 
plano, o qual assumiremos estar munido de um 
sistema de coordenadas cartesianas xoy. 
Sabe-se que: 
1 – O bolim está localizado no ponto A = (2, –4). 
2 – Uma bocha já arremessada está localizada no 
ponto B = (–1, 1). 
 
Um jogador deseja arremessar uma nova bocha que 
deverá colidir com a bocha em B, empurrando-a 
para próximo do bolim em A. Para facilitar o seu 
arremesso, ele busca posicionar-se na cancha em 
um ponto C, de maneira que A, B e C estejam 
alinhados. Se C = (h, 2), então, de acordo com as 
condições dadas, pode-se afirmar que: 
 
A) –2,1 ≤ h < –1,9 
B) –1,9 ≤ h < –1,7 
C) –1,7 ≤ h < –1,5 
D) –1,5 ≤ h ≤ –1,3 
QUESTÃO 46 
Sobre o sistema linear 
 
 
é CORRETO afirmar que: 
 
a) se k = 2b e c = 0, temos que as retas ax + by = 0 
e 2ax + ky = c são coincidentes. 
 
b) se a(k – 2b) = 0, as retas ax + by = 0 e 2ax + ky = 
c se interceptam em um único ponto. 
 
c) se c 0, as retas ax + by = 0 e 2ax + ky = c se 
interceptam na origem. 
 
d) se c = 0, as retas ax + by = 0 e 2ax + ky = c não 
se interceptam. 
 
e) se a(k – 2b) 0, as retas ax + by = 0 e 2ax + ky 
= c são paralelas. 
QUESTÃO 47 
A cada equação do tipo ax + by = c , com a, b e c 
reais, sendo a ou b não nulos, corresponde uma 
única reta no plano xy. 
 
 
Se o sistema , com ai , bi , e ci , 
nas condições anteriores, tiver uma única solução, 
as respectivas retas 
 
A) se interceptarão em um só ponto. 
B) se interceptarão em dois pontos. 
C) não se interceptarão. 
D) serão coincidentes. 
QUESTÃO 48 
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma 
cidade, no qual estão identificadas a catedral, a 
prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o 
quadriculado não representa os quarteirões da 
cidade, servindo apenas para a localização dos 
pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a 
Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes 
da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida 
Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é 
formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e 
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da câmara de vereadores. 
 
 
 
O ponto de interseção das avenidas Brasil e 
Juscelino Kubitschek pertence à região definida por 
 
a) (x − 2)
2
 + (y − 6)
2
 ≤ 1. 
b) (x − 1)
2
 + (y − 5)
2
 ≤ 2 . 
c) x ∈ ]1, 3[, y ∈ ]4, 6[. 
d) x = 2, y ∈ [5, 7]. 
QUESTÃO 49 
A figura a seguir representa o gráfico de uma 
função. 
 
 
 
A expressão que representa a reta desse gráfico é: 
 
 
QUESTÃO 50 
A medida da altura de um triângulo de vértices 
A (1, 5); B (0, 0) e C (6, 2) é: 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
QUESTÃO 51 
A reta (t) passa pela intersecção das retas 2x – y 
= –2 e x + y = 11 e é paralela à reta que passa pelos 
pontos A(1,1) e B(2,–2). 
A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto: 
 
A (0,18) 
B (0,17) 
C (0,16) 
D (0,15) 
E (0,14) 
QUESTÃO 52 
A reta r da figura possui equação 2x – 3y + 6 = 0, e 
o trapézio OBCD tem área igual a 9 unidades de 
área. Qual é a equação da reta s? 
 
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A) x – 2,5 = 0 
B) x – 3 = 0 
C) x – 3,5 = 0 
D) x – 4 = 0 
E) x – 4,5 = 0 
QUESTÃO 53 
As coordenadas do ponto P (x,y), no referencial 
cartesiano usual, satisfazem as 
equações e . A 
distância de P à reta x + y + 1 = 0 é 
 
 
A) u.c. 
B) u.c. 
C) u.c. 
D) u.c. 
QUESTÃO 54 
As equações do sistema linear 
 
 
descrevem três retas no plano cartesiano. 
Considere as seguintes afirmativas: 
 
I. O sistema é impossível. 
II. Há um par de retas perpendiculares. 
III. Há três pares de retas concorrentes. 
 
Seja n o número de afirmativas verdadeiras.A 
potência 2
n
 vale: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 8 
QUESTÃO 55 
Considere a função real f definida por f(x) =( |x| − 
1)
2
 e os pontos A, B e C onde o gráfico de f 
intercepta os eixos coordenados. A área do triângulo 
de vértices A, B e C é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 3 
d) 2 
QUESTÃO 56 
Considere as retas r, s e t no plano cujas equações 
são 
 
Sobre essas retas, assinale o que for correto. 
 
01) A interseção das retas r e s é o ponto (−1, 2), 
das retas r e t é o ponto (1, 0) e das retas s e t é o 
ponto (1/5, −2/5). 
02) As retas s e t são perpendiculares. 
04) O ponto de interseção das retas r e t está a uma 
distância igual a da reta s. 
08) A área do triângulo delimitado por essas retas é 
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6/5. 
16) A tangente do ângulo agudo formado pelas retas 
r e s é 3. 
QUESTÃO 57 
Considere as retas r1 : y = m1x + b1 e r2 : y = m2x + 
b2, tais que r1 e r2 são paralelas, a reta r1 passa 
pelo ponto A(0,2) e a reta r2 passa pelo ponto 
B(1,0). Sabendo que a reta l passando pelos pontos 
A e B é perpendicular à reta r1, qual é o valor do 
produto m2 × b1? 
 
a) . 
b) 0. 
c) . 
d) 1. 
e) 2. 
QUESTÃO 58 
Considere duas retas de equações y = 2x + 3 e y = 
x − 4. 
Marque a opção que apresenta a alternativa correta. 
 
(A) As retas não se interceptam. 
(B) As retas se interceptam no ponto (3, −4). 
(C) As retas se interceptam no ponto (−7, −11). 
(D) Não se pode dizer se as retas se interceptam ou 
não. 
(E) As retas são iguais. 
QUESTÃO 59 
Considere os seguintes pontos: 
 
• P, o ponto de interseção das retas y = x + 2 e y = 
2x; 
• Q, a interseção da reta y = x + 2 com o eixo y; 
• O, a origem do sistema de coordenadas; 
• R, o ponto (1, 0). 
 
Podemos afirmar, corretamente, que a área do 
triângulo OQP representa exatamente 
 
A) 53% da área do quadrilátero OQPR. 
B) 50% da área do quadrilátero OQPR. 
C) 43% da área do quadrilátero OQPR. 
D) 39% da área do quadrilátero OQPR. 
QUESTÃO 60 
Considere, na figura a seguir, a região sombreada 
limitada por uma reta e pelo gráfico de uma função 
quadrática. 
 
 
 
As coordenadas dos pontos (x, y) dessa região 
verificam as desigualdades 
 
a) x
2
 – 4x + 1 ≤ y ≤ 1 – x. 
b) x
2
 – x + 4 ≥ y ≥ 1 – x. 
c) x
2
 – 2x + 1 ≤ y ≤ 1 – x. 
d) x
2
 – 4x – 1 ≥ y ≥ 1 – x. 
e) x
2
 – 2x + 1 ≥ y ≥ 1 – x. 
QUESTÃO 61 
Dada a equação de reta (s): 2x – y + 1 = 0, a 
equação de reta paralela a s pelo ponto P(1,1) será: 
 
a. 2x – y = 0 
b. 2x + y + 1 = 0 
c. 2x + y – 1 = 0 
d. 2x – y – 1 = 0 
e. 2x – y + 2 = 0 
QUESTÃO 62 
Dada uma reta no plano OXY de equação mx + 2y = 
6 com m ≠ 0 real, represente, respectivamente, por 
P e Q as intersecções dessa reta com os eixos OX e 
OY. Sabendo-se que a área do triângulo ΔOPQ é 
igual a 12, então o valor de m é 
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A) 3/4 
B) 4/3 
C) 4 
D) 2 
E) 8 
QUESTÃO 63 
Dadas as retas r: 5x – 12y = 42, 
 s: 5x + 16y = 56 e 
 t: 5x + 20y = m, 
 
o valor de m para que as três retas sejam 
concorrentes num mesmo ponto é 
 
(A) 14. 
(B) 28. 
(C) 36. 
(D) 48. 
(E) 58. 
QUESTÃO 64 
Dados os pontos A(0, 0), B(5, 0), C(8, 5) e D(11, 8) 
no plano cartesiano ortogonal, P é um ponto do 1º 
quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e 
CPD são, respectivamente, iguais a e 6. Em tais 
condições, o produto da abscissa pela ordenada de 
P pode ser igual a 
 
a) 18. 
b) 20. 
c) 21. 
d) 24. 
e) 25. 
QUESTÃO 65 
De acordo com os estudos de sequências e 
funções, identifique as afirmativas a seguir como 
verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
1. A equação da reta que passa pelo ponto (3,−2) e 
tem coeficiente angular igual a −3 é y + 3x = 7. 
 
2. A inequação (3x + 3) (5x − 3) > 0 tem solução 
somente para x < −1. 
 
3. Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros 
compostos durante três anos, produzindo um 
montante de R$ 312.500,00. A taxa de juros é de 
500% ao ano. 
 
4. É verdadeira a igualdade 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
a) Somente a afirmativa 4 é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras. 
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras. 
QUESTÃO 66 
Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a 
unidade de medida nos eixos é o centímetro, 
considere: 
 
• a reta r, traçada pelo ponto (2,3) e paralela à 
bissetriz dos quadrantes ímpares; 
• a reta s, traçada pelo ponto (2, 5) e perpendicular a 
r; 
• o segmento em que O é a origem do sistema 
e A é a intersecção de r e s. 
Um ponto M é tomado sobre o segmento de 
modo que OM e MA correspondam às medidas da 
hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo 
retângulo . Se o outro cateto de mede 3 cm, a 
área de sua superfície, em centímetros quadrados, 
é 
 
A) 1,8 
B) 2,4 
C) 3,5 
D) 4,2 
E) 5,1 
QUESTÃO 67 
Na figura a seguir, o quadrado ABCO de lado 3 e o 
triângulo equilátero ODE, também de lado 3, estão 
representados num sistema cartesiano ortogonal 
Oxy. 
 
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Com base nas informações apresentadas, analise 
as seguintes afirmativas: 
 
I. A ordenada do ponto E é igual a . 
II. A equação da reta suporte do segmento BD é 3x 
+ 3y – 1 = 0. 
III. A reta suporte do segmento OE tem declividade 
igual a . 
IV. A área do triângulo hachurado OPQ é 
aproximadamente 0,5 u.a. 
 
Está correto o que se afirma em 
 
a) I e II. 
b) II e III. 
c) II e IV. 
d) III e IV. 
e) I, II e III. 
QUESTÃO 68 
No gráfico, observam-se uma senoide de equação y 
= –4 sen x e uma reta de coeficiente angular igual a 
–1, que intersecta a senoide e o eixo x no mesmo 
ponto do plano cartesiano. 
 
 
 
Uma representação algébrica correta da região 
colorida na figura é 
 
a) y ≤ x – ≤ 4 sen x 
b) y ≤ – x + ≤ – 4 sen x 
c) 4 sen x ≤ y ≤ x – 
d) –4 sen x ≤ y ≤ – x + 
e) –4 sen x ≤ y ≤ –x – 
QUESTÃO 69 
No pentágono representado no sistema de 
coordenadas cartesianas a seguir, os vértices 
possuem coordenadas inteiras. 
 
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As retas suporte dos lados AE e BC interceptam-se 
no ponto 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
QUESTÃO 70 
No plano cartesiano são dados os pontos A = (0,1), 
B = (30,19), P = (42,k) e Q = (42,k + 1), nos quais k 
é um número inteiro. A reta AB passa entre P e Q, 
ou seja, deixa P de um lado e Q do outro. O valor de 
k é 
 
a) 18 
b) 29 
c) 21 
d) 26 
e) 23 
QUESTÃO 71 
Considerando as retas dadas pelas equações y = x, 
y = −x, y = x − 6 e y = −x + 6, 
 
(A) esboce, na figura inserida no espaço destinado à 
resposta, os gráficos dessas retas; 
(B) determine o perímetro da região limitada pelos 
gráficos dessas retas. 
QUESTÃO 72 
Considere as retas r, s e t de equações, 
respectivamente, 
 
y = 2x – 4, y = x +11 e . 
 
1. TRACE, no plano coordenado a seguir, os 
gráficos dessas três retas. 
 
 
 
2. CALCULE as coordenadas dos pontos de 
interseção A = r ∩ s, B = r ∩ t e C = s ∩ t. 
 
3. DETERMINE a área do triângulo ABC. 
QUESTÃO 73 
Considere, no plano cartesiano, duas retas, r e s, 
cujas equações são, respectivamente, dadaspor y = 
x − 5 e y = 2x + 12. Encontre a equação da reta que 
passa pelo ponto P(1,3) e intersecta r e s nos 
pontos A e B, com A r e B s , de modo que o 
ponto P seja o ponto médio do segmento AB. 
QUESTÃO 74 
Considere, num sistema de coordenadas 
cartesianas, os pontos A = (0,0) , B = (2,0) , C = 
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(6,2) e D = (x, y) , onde y = 3 + 2x − x
2
 , com y > 0 . 
Encontre: 
 
a) a equação da reta r que passa pelo ponto A e é 
perpendicular à reta s que passa pelos pontos A e 
C. 
 
b) as coordenadas do ponto D de modo que o 
triângulo ABD tenha área máxima. 
 
c) a área do quadrilátero ADBE, onde D é o ponto 
encontrado no item b) e E é o ponto da reta r cuja 
distância ao ponto B é a menor possível. 
QUESTÃO 75 
Dada a reta r : y = 2x do plano cartesiano xy, 
determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, 
e está, de r, a uma distância igual a 1 e não 
intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano. 
QUESTÃO 76 
Determine uma equação para cada reta que passa 
pelo ponto (2, 4) e intercepta o gráfico da função f 
definida por f(x) = x
2
 em um único ponto. 
QUESTÃO 77 
No plano cartesiano, as retas r e s, de equações 2x 
− 3y + 3 = 0 e x + 3y − 1 = 0, respectivamente, se 
intersectam em um ponto C. Considerando o ponto 
P(0,−4), determine as coordenadas de dois pontos, 
A r e B s , de modo que o segmento CP seja 
uma mediana do triângulo ABC. 
QUESTÃO 78 
No plano cartesiano, são dadas as retas r de 
equação , e s de equação y = x + 
7. 
Se é a medida, em graus, do maior ângulo do 
triângulo formado pelas retas r , s e o eixo x, 
determine: 
 
A) o valor do ângulo . 
B) a área desse triângulo. 
QUESTÃO 79 
Uma partícula parte do ponto A (2; 0), 
movimentando-se para cima (C) ou para a direita 
(D), com velocidade de uma unidade de 
comprimento por segundo no plano cartesiano. 
O gráfico exemplifica uma trajetória dessa partícula, 
durante 11 segundos, que pode ser descrita pela 
sequência de movimentos CDCDCCDDDCC. 
 
 
 
Admita que a partícula faça outra trajetória 
composta somente pela sequência de movimentos 
CDD, que se repete durante 5 minutos, partindo de 
A. 
Determine a equação da reta que passa pela 
origem o (0,0) e pelo último ponto dessa nova 
trajetória. 
QUESTÃO 80 
 
 
Um losango do plano cartesiano oxy tem vértices 
A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). 
 
A) Determine a equação da reta que contém a 
diagonal AC. 
 
B) Determine a equação da reta que contém a 
diagonal BD. 
 
C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção 
das diagonais AC e BD. 
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QUESTÃO 81 
As retas de equações y = ax + b e y = cx são 
ilustradas na figura. Sabendo que o coeficiente b é 
igual à média aritmética dos coeficientes a e c, 
 
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R 
em termos dos coeficientes a e b; 
b) determine a, b e c sabendo que a área do 
triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e 
que o triângulo OPQ tem área 1. 
 
 
QUESTÃO 82 
As transmissões de uma emissora de rádio são 
feitas por meio de quatro antenas representadas, no 
plano cartesiano, pelos pontos A, B, C e D, 
conforme figura a seguir. 
 
 
 
Nesse contexto, desprezando-se a altura das 
antenas e supondo-se que cada antena tem um raio 
de abrangência de, no máximo, uma unidade de 
comprimento, identifique as afirmativas corretas: 
 
I. O ponto médio do segmento está na área de 
abrangência de alguma dessas antenas. 
II. As antenas A e C são equidistantes da antena B. 
III. A reta que passa pelos pontos B e C é 
perpendicular à que passa pelos pontos A e B. 
IV. O ponto M (2, 3) está na área de abrangência 
das antenas C e D. 
V. A distância da antena D à reta que passa pelos 
pontos B e C é menor do que duas unidades de 
comprimento. 
QUESTÃO 83 
Considere os pontos A(−1, 2), B(1, 4) e C(−2, 5) do 
plano cartesiano. 
 
Sendo D o ponto simétrico de C em relação à reta 
que passa por A e é perpendicular ao segmento AB, 
determine a área do quadrilátero ABCD. 
QUESTÃO 84 
Determine as equações das retas que formam um 
ângulo de 135º com o eixo dos x e estão à 
distância do ponto (– 4, 3). 
 
 
QUESTÃO 85 
Na figura abaixo, temos um sistema de eixos 
cartesianos com origem em O. Nele, encontra-se 
representada uma circunferência tangente ao eixo 
das ordenadas e com centro C(–1,0). Sejam T1 e 
T2 pontos sobre o semi-eixo positivo das 
ordenadas, tais que . 
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a) Determine o comprimento do segmento . 
b) Calcule o valor da área sombreada. 
 
c) Encontre as equações das retas que passam pelo 
ponto T1 e são tangentes à circunferência dada. 
QUESTÃO 86 
Os pontos (–6,2), (3,–1), e (–5,–5) pertencem a uma 
circunferência. 
 
Determine o raio dessa circunferência. 
QUESTÃO 87 
Seja ABC um triângulo cujos vértices, em 
coordenadas cartesianas, são A = (1, 0), B = (3, 0) e 
C = (2, 1) 
 
Calculea inclinação m da reta que passa pelo ponto 
(0, 0) e divide esse triângulo em duas regiões de 
áreas iguais. 
QUESTÃO 88 
Seja r a reta y = –2x. 
Pede-se: 
 
a) as coordenadas do ponto P que está no segundo 
quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto 
(0,–1) é unidades; 
 
b) as coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que 
está mais próximo do ponto (0,–1). 
QUESTÃO 89 
Seja P o conjunto de todos os pontos 
tais que , 
e . 
 
a) Quantos pontos possui o conjunto P? 
 
b) Considere os subconjuntos de P formados por 
exatamente três pontos colineares. Determine, 
entre esses subconjuntos, quantos são 
formados apenas por pontos em que z = 1. 
Justifique sua resposta (faça um desenho, se 
preferir). 
QUESTÃO 90 
Uma haste está sendo sustentada por um fio de 
5,93 cm de comprimento. Esse fio encontra-se 
tensionado e apoiado em uma roldana em forma de 
circunferência cuja equação é x
2 
+ y
2 
− 10x − 6y + 
33 = 0. As partes do fio que não se encontram em 
contato com a roldana são paralelas ao eixo y. A 
ordenada da extremidade B da haste é 2,14 cm. 
Veja a ilustração a seguir. 
 
 
 
a) Determine as coordenadas do centro e o raio da 
roldana. 
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b) A extremidade A da haste encontra-se sobre o 
eixo x. Encontre a abscissa do ponto A. (Use a 
aproximação 3,14 para ). 
QUESTÃO 91 
As interseções das retas r: x – 3y + 3 = 0, s: x + 2y – 
7 = 0 e t: x + 7y – 7 = 0, duas a duas, 
respectivamente, definem os vértices de um 
triângulo que é a base de um prisma reto de altura 
igual a 2 unidades de comprimento. Determine: 
 
a) A área total da superfície do prisma. 
 
b) O volume do prisma. 
QUESTÃO 92 
Considere 
• a curva C obtida da circunferência de equação x
2
 
+ y
2
 + 2x – 4y – 4 = 0 por uma rotação, no sentido 
anti-horário, em torno da origem do sistema 
cartesiano, segundo um ângulo de radianos; 
• a reta r que passa pelo centro de C e faz, com o 
eixo coordenado Ox, um ângulo tal que 
. 
Determine uma equação de r. 
QUESTÃO 93 
No plano cartesiano, considere os pontos A (–1, 2) e 
B (3, 4). 
 
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e 
forma com o eixo das abscissas um ângulo de 135°, 
medido do eixo para a reta no sentido anti-horário. 
 
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à 
reta r. Encontre as coordenadas do ponto P, 
determinado pela intersecçãodas retas r e s. 
 
c) Determine a equação da circunferência que 
possui centro no ponto Q (2, 1) e tangencia as retas 
r e s. 
QUESTÃO 94 
São dadas três retas r, s e t no plano cartesiano. A 
reta r intersecta o eixox no ponto de abcissa 7 e 
intersecta o eixo-y no ponto de ordenada 14. A reta 
s é perpendicular à r e intersecta o eixox no ponto 
de abcissa 3. A reta t é paralela a s e intersecta o 
eixo-y no ponto de ordenada 5. Determine 
 
A) as equações das retas r, s e t; 
 
B) a equação da circunferência que é tangente à 
reta s, que tem centro sobre a reta t e que possui 
um diâmetro contido na reta r. 
QUESTÃO 95 
Considere 0 > a e 0 < m. Seja r a reta que passa 
pelo ponto P(a, ) com coeficiente angular m. 
 
a) Determine uma expressão para a área do 
triângulo formado por r e pelos eixos coordenados, 
em função de m e a. 
 
b) Determine uma expressão de m em função de a 
tal que r intersecte o gráfico de f(x) = apenas no 
ponto P. 
 
c) Para m obtido no item B, verifique que a área do 
triângulo formado por r e pelos eixos coordenados 
não depende de a. 
QUESTÃO 96 
Considere a família de retas no plano cartesiano 
descrita pela equação (2 – p)x + (2p + 1)y + 8p + 4 = 
0, nas variáveis x e y, em que p é um parâmetro 
real. 
 
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta 
correspondente intercepte perpendicularmente o 
eixo y. Encontre o ponto de interseção neste caso. 
 
b) Considere a reta x + 3y + 12 = 0 dessa família 
para p = 1. Denote por A o seu ponto de interseção 
com o eixo x e por O a origem do plano cartesiano. 
Exiba a equação da circunferência em que 
o segmento OA é um diâmetro. 
QUESTÃO 97 
Considere a parábola de 
equação , que passa pelos 
pontos (2, 5), (–1, 2) e tal que a, b, c formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. Determine a 
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distância do vértice da parábola à reta tangente à 
parábola no ponto (2, 5). 
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QUESTÃO 1 
D 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
 
 
A medida do raio da circunferência é igual a 
distância do ponto E à reta y = 2x: 
 
 
 
A distância do ponto 0 ao ponto E é: 
 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos a 
distância do ponto 0 ao ponto X: 
 
Portanto, a área do quadrilátero 0XEY é igual a 
duas áreas do triângulo retângulo 0XE: 
 
 
QUESTÃO 2 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com a figura, os raios devem proteger 
entre o ponto (50, 20) e o ponto (20,50). 
Como λ é o coeficiente angular da reta y = λ x, 
temos: 
Para o ponto (50, 20): 
Para o ponto (20, 50): 
Portanto, λ deve variar no intervalo . 
 
QUESTÃO 3 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
x = 0 e y = 0 são retas perpendiculares. 
 
QUESTÃO 4 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A reta dada tem coeficiente angular m = . 
Assim, qualquer reta perpendicular a ela tem 
coeficiente angular a = . 
A reta procurada tem 
equação , e sua 
distância à origem é de 4 unidades. Então: 
 
 
As retas têm equações 4x – 3y = 20 e 4x – 3y = – 
20. 
 
QUESTÃO 5 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
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Se r e s são perpendiculares, então o produto de 
seus coeficientes angulares deve ser igual a –1: 
 
Se a, 2, b formam uma Progressão Geométrica, 
temos: 
 
Portanto, as retas são 
 e . A interseção delas será no ponto (2, 
–4): 
 
 
QUESTÃO 6 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Sabe-se que a, b, c, e d são uma PG de razão –2. 
Então: 
b = –2a 
c = 4a 
d = –8a. 
 
Sabe-se que a + b + c + d = 5. Então: 
a – 2a + 4a – 8a = 5 
–5a = 5 
a = –1 
b = 2 
c = –4 
d = 8. 
 
Então, y1 = –x + 8 e y2 = 2x – 4. 
 
A intersecção entre as retas é: 
–x + 8 = 2x – 4 
–3x = –12 
x = 4, y = –4 + 8 = 4. 
 
A intersecção de r1 com y = 0 é: 
0 = –x + 8 
x = 8, y = 0. 
 
A intersecção de r2 com y = 0 é: 
0 = 2x – 4 
2x = 4 
x = 2, y = 0. 
A área do triângulo formado por (4,4); (8,0); (2,0) 
é 
 . 
 
QUESTÃO 7 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Verdadeira. Como o centro da circunferência está 
sobre a origem do plano cartesiano, sua coordenada 
é (0, 0), e como o raio é 2 
temos 
. 
b) Verdadeira. A distância entre os pontos B e F, D 
e F, e B e D é sempre igual ao dobro do apótema do 
hexágono regular. 
 
c) Verdadeira. Trata-se do diâmetro. 
 
d) Falsa. A equação que passa pelos pontos A e C é 
do tipo x = k (0 < k < 2). 
 
e) Verdadeira. Trata-se da forma da 
equação reduzida de uma reta. 
 
QUESTÃO 8 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
P pertence à reta y = 2x, então podemos admitir 
P(x,2x). 
 
Logo, como a distância do ponto P à reta y – x = 0 
é , temos: 
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 ou x = –
2, porém x = –2 não convém, pois P está no 1º 
quadrante. 
 
Assim sendo, P = (2,4) e a soma das suas 
coordenadas será 6 (2+ 4 = 6). 
 
QUESTÃO 9 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Considere a interseção do muro com a 
margem do rio como a origem de um 
sistema de coordenadas cujos eixos são 
dados pela margem do rio e pelo muro, 
conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
O que se pede é a ordenada do ponto de 
intersecção entre a reta cuja direção é 
definida pelos pinheiros e a reta que 
contém os pontos que estão a 110 m a 
leste do muro. 
As posições desses pinheiros, nesse 
sistema de coordenadas, são dadas por 
A(30,20) e B(60,30), já que cada quadrado 
da malha tem lado medindo 10 m. 
Equação da reta cuja direção é definida 
pelos pinheiros: 
 
 y – y0 = m (x – x0) 
y – 20 = (x – 30) 
y = (x – 30) + 20 
y = x + 10 
 
Equação da reta que contém os pontos que 
estão a 110 m a leste do muro: 
x = 110 
 
O ponto de localização do tesouro será a 
solução do sistema: 
 
 
 
Substituindo a segunda equação na 
primeira obtém-se: 
 
 y = (110) + 10 36,66 + 10 = 46,66. 
 
Logo, o ponto de localização do tesouro 
está a, aproximadamente, 46,66 m da 
margem do rio. 
 
QUESTÃO 10 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Analisando as equações de reta, temos que todas 
são paralelas à reta 3x + 2y = 12, pois todas 
possuem o mesmo coeficiente angular 
. 
Determinando os pontos de intersecção com os 
eixos x e y e representando cada equação no plano 
cartesiano, conforme a seguir: 
 
A) 
 
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B) 
 
C) 
 
D) 
 
 
E) 
 
 
 
Logo, a única reta que forma um triângulo de área 
igual a 3 é a da alternativa A, 
pois 
 
QUESTÃO 11 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Pelo enunciado, temos a seguinte representação: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Então, os vértices do paralelogramo são os pontos 
(0,0), (0,1,25), (8,6) e (8,7,25). 
 
Traçando a diagonal do paralelogramo (linha 
tracejada), temos que a sua área (S) será igual a 
área de dois triângulos. 
 
Assim, utilizaremos os pontos (0,0), (8,6) e (8,7,25) 
e a fórmula para calcular a área 
desse paralelogramo. 
, 
ou seja, 
 
Logo, 
 
 
QUESTÃO 12 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resoluçãooficial.) 
 
A região P é dada pelo trapézio ABCD junto 
com sua região interior: 
 
 
 
Os vértices são: A(0,0); B(6,0); C(6,2) e 
D(0,5). 
 
Em relação às retas do feixe de paralelas x 
+ y = c, quanto maior o valor de c, "mais 
para cima" se encontra a reta. 
A que passa por B é tal que 6 + 0 = c ⇒ c = 
6 
A que passa por C é tal que 6 + 2 = c ⇒ c = 
8 
A que passa por D é tal que 0 + 5 = c ⇒ c = 
5 
Assim, a de maior valor de c de modo que 
a reta do feixe ainda intercepte a região P é 
aquela para a qual c = 8. 
 
QUESTÃO 13 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Primeiramente, analisaremos o coeficiente angular 
(m) de cada reta: 
 
I) –2x + y = 10 → y = 2x + 10 → m = 2 
II) x – 3y = +9 → y = x + 3 → m = 
III) –3y = –5x + 10 → y = → m = 
Logo, concluímos que as retas não são paralelas 
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(coeficientes angulares iguais) e nem duas a duas 
perpendiculares (produto dos coeficientes é igual 
a –1). 
 
Sendo assim, 
calculamos 
 . Então, os pontos não são alinhados e as retas 
deterninam um triângulo. 
 
QUESTÃO 14 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação de r: 3x – 5y – 11 = 0 pode ser escrita 
como , portanto, seu coeficiente 
angular é , que é o mesmo coeficiente angular da 
reta paralela s. 
 
Além disso, para que s divida o paralelogramo em 
duas figuras de mesma área, deve passar pelo 
centro do paralelogramo, ponto médio P do 
segmento : 
 
 
Assim, a equação da reta s tem é: 
 
 . 
 
QUESTÃO 15 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com as informações do enunciado, tem-
se: 
 
 
E ainda, para x = –1 e x = 1, tem-se: 
 
 
 
Logo, m = –1 e M = 3. 
 
 
 
 
Logo, a ordenada do ponto Q é 2. Apenas Rui 
acertou. 
 
QUESTÃO 16 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Simplificando a equação dada: 
 
A reta r tem coeficiente angular igual a . Portanto, 
a reta perpendicular a r tem coeficiente angular igual 
a –2. 
 
Assim, a equação procurada é: 
. 
 
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QUESTÃO 17 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da reta é dada por: 
 
y = ax + b 
 
Pelo gráfico verifica-se que a reta passa pelos 
pontos (0; 0,78) e (50; 0,90). Então: 
 
 
 
a = 2,4 · 10
–3 
 
Como b é ordenada do ponto onde a reta intercepta 
y, então b = 0,78. 
 
Logo, a equação da reta que relaciona a densidade 
da solução (d) com sua percentagem de água 
(%H2O) é: 
 
y = 2,4 · 10
–3
 · x + 0,78 
 
ou 
 
d = 2,4 · 10
–3
 · (%H2O) + 0,78 
 
Por meio da equação anterior, pode-se calcular a 
percentagem de água no álcool hidratado quando a 
densidade da solução for igual a 0,84 g/mL: 
 
0,84 = 2,4 · 10
–3 
· (%H2O) + 0,78 
(%H2O) = 25% 
 
Como, na solução de álcool hidratado, a 
percentagem de água é 25%, conclui-se que a 
percentagem de álcool é 75% (100% – 25%). 
 
QUESTÃO 18 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo (x, y) as coordenadas do ponto C, a área do 
triângulo ABC é: 
 
 
Portanto, o ponto C pode estar em uma das duas 
retas resultantes, que são paralelas. 
 
A distância D entre elas é: 
 
. 
 
QUESTÃO 19 
V F V V V 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da reta r é y – b = m(x – a), que 
se simplifica como y = mx + b – ma. A 
interseção de r com o eixo das abscissas é 
o ponto (a – b/m, 0) e, com o eixo das 
ordenadas, é (0, b – ma). A área do 
triângulo OPQ é dada por (a – b/m)(b – 
ma)1/2 = ab – ma2/2– b2/(2m) = ab – (ma2 
+ b2/m)/2. A área de OPQ será maior ou 
igual que 2ab, se e somente se (ma2 + 
b2/m)/2 ≥ ab ou m2a2+2abm + b2 ≥ 0 ou 
(ma + b)2 ≥ 0, que é verdadeira para todo m 
< 0 e a e b reais positivos. Assim, o menor 
valor que a área de OPQ pode ter é 2ab, 
atingido quando m = –b/a e P = (2a, 0), Q = 
(0, 2b). 
 
QUESTÃO 20 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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, não convém 
 
 
QUESTÃO 21 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Organizando-se os dados em um sistema cartesiano 
de eixos, em que a central de distribuição é a 
origem, as três torres têm coordenadas T1 = 
(32,60), T2 = (70,100) e T3 = (x, 20). 
 
A área do triângulo, que deve ser de 600 Km
2
, é 
dada por: 
 
 
 
Como T3 está a leste da central de distribuição, x é 
positivo. Assim, 
 
|–40x – 240| = 1200 → 40x + 240 = 1200 → x = 24 
Km. 
 
QUESTÃO 22 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A reta de equação 6x + 8y + 400 = 0 passa pelo 
ponto (0; –50). Portanto, basta calcular a distância d 
desse ponto à reta de equação 3x + 4y + 25 = 0: 
 
 
 
Logo, a distância mínima que o atleta nadou foi de 
35 metros. 
 
QUESTÃO 23 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Na figura estão representadas as duas retas e os 
quatro pontos dados. 
 
 
 
Os pontos que pertencem à bissetriz de um 
dos ângulos formados pelas duas retas são A e D. 
Portanto, a bissetriz tem coeficiente angular m 
= , e sua equação é: 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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QUESTÃO 24 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sobrepondo um plano cartesiano na ilustração, 
obtemos esta figura. 
 
Com base nessa referência, vamos 
determinar as equações das retas 
. 
 
Equação da reta 
Coeficiente angular: mA = mA = 
Equação da reta: y – 0 = (x – 0) y = 
x 
 
Equação da reta 
Coeficiente angular: mB = mA 
= 
Equação da reta: y – 3 = (x – 0) y 
= x + 3 
 
Para determinar a coordenada x do ponto 
P, fazemos: 
 
 
 
Dessa forma, a área A da região é: 
 
 
QUESTÃO 25 
GABARITO: 
E 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
 
O ponto X, aquele que está livre do alcance 
das balas de ambos os caçadores, é obtido 
pela intersecção das retas e . 
 
Equação da reta 
 
 
 
Equação da reta 
 
 
 
Dessa forma, o ponto X(x, y) é obtido por 
meio da seguinte equação: 
 
3x – 5 = –4x + 58 7x = 63 x = 9 
Assim, y = 3 × 9 – 5 y = 22 
 
Portanto, X = (9, 22). 
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QUESTÃO 26 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 27 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Para obtermos o ponto de cruzamento 
entre as retas y = x + 1 e y = 3x, devemos 
fazer: 
3x = x + 1 2x = 1 x = 
Desse resultado obtemos y = , ou 
seja, . Portanto, a reta y = 
 delimita superiormente as regiões 
expressas nas figuras I e II. 
Para obtermos o volume do sólido desejado 
basta calcularmos o volume do sólido SI, 
obtido a partir da rotação em torno do eixo 
y da região hachurada na figura I; o volume 
do sólido SII, obtido a partir da rotação em 
torno do eixo y da região hachurada na 
figura II e subtraí-las. 
 Sólido da região da figura I 
Ao rotacionarmos a região da figura I, 
obtemos um cone reto cujo raio da base 
mede e sua altura mede , dessa 
forma: 
 
 Sólido da região da figura II 
Ao rotacionarmos a região da figura II, 
obtemos um cone reto cujo raio da base 
mede e sua altura mede – 1 = , 
dessa forma: 
 
Portanto, o volume do sólido S é dado 
por . 
 
QUESTÃO 28 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Observe a figura: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Veja que o ângulo FÂB é externo do 
triângulo ABE, sendo assim, sua medida é 
90º + ß. Portanto, como o ângulo interno de 
todo quadrado é reto, temos que a medida 
do ângulo DÂF é ß. Sendo assim, os 
triângulos ABE e DAF são congruentes, 
pois suas hipotenusas têm a mesmamedida. 
 
Sendo l o lado do quadrado, temos: 
 
 
 
Portanto: 
 = 1 ⇒ | a | = 4 
 = 1 ⇒ | b | = 3 
 
Como o ponto (a, b) está no segundo 
quadrante, temos que a < 0 e b > 0, assim, 
a = –4 e b = 3. 
Dessa forma, a + b = 4 + (–3) = –1. 
 
QUESTÃO 29 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
O encontro de cada par de retas fornece cada um 
dos vértices do triângulo. Assim, os vértices do 
triângulo correspondem às coordenadas dadas 
pelos sistemas a seguir. 
 
Coordenadas para o primeiro vértice: 
 
x + y – 5 = 0 
3x – 2y + 5 = 0 
x1 = 1 e y1 = 4. 
 
Coordenadas para o segundo vértice: 
 
x + y – 5 = 0 
2x – 3y + 5 = 0 
x2 = 2 e y2 = 3. 
 
Coordenadas para o terceiro vértice: 
 
2x – 3y + 5 = 0 
3x – 2y + 5 = 0 
x3 = –1 e y3 = 1. 
 
A área do triângulo corresponde à metade do 
módulo do determinante para a matriz a seguir: 
 
 
 
Assim, a área do triângulo cujos três lados estão 
respectivamente sobre as retas de equações x + y – 
5 = 0; 3x – 2y + 5 = 0 e 2x – 3y + 5 = 0 é dado por: 
 
 
A = 2,5 u.a. 
 
QUESTÃO 30 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Sejam t e s, respectivamente, as retas que 
contêm e , sendo P(1, 3), ponto 
médio de . 
O coeficiente angular da reta s é tal 
que, 
O Ponto P(1, 3) pertence à reta t cujo 
coeficiente angular é , pois . 
Dessa forma, a equação da reta t é y – 3 
= . 
 
QUESTÃO 31 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A área do triângulo é igual a 
. 
 
QUESTÃO 32 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O segmento tem 
medida 
Assim, se a base do triângulo mede 5 e sua área 
mede 8, encontramos sua altura 
h: , que é a distância entre a 
reta suporte de e o ponto C. 
A reta suporte do segmento tem coeficiente 
angular ; portanto, sua equação 
é . Assim, descobre-se o valor de 
x: 
 
 
QUESTÃO 33 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A trajetória t descrita pelo projétil será a reta com 
coeficiente angular = tg 135
°
 = –1 e que passe pelo 
ponto (10, f(10)). 
 
Calculando f(10): 
 
Calculando a equação da reta t: 
y – 2 = –1 (x – 10) 
y – 2 = –x + 10 
x + y – 12 = 0 
 
Calculando a distância entre P (0,5) e t: x + y – 12 = 
0 
 
 
QUESTÃO 34 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
As retas r: Y = + 1 e s: Y = –3x + 21 são 
concorrentes em um ponto, já que não são 
paralelas. Isso pode ser observado pelos valores de 
seus coeficientes angulares. Além disso, são 
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perpendiculares entre si, porque seus coeficientes 
angulares são o simétrico do inverso um do outro. 
Resolvendo o sistema formado pelas duas 
equações das retas encontramos x = 6 e y = 3. Este 
será o ponto de encontro entre as retas: o ponto de 
abscissa é 6 e de ordenada, 3. 
Para Y = 0 na equação de s, temos que x = 7. 
 
Temos duas áreas: a do trapézio e a do triângulo, 
destacadas na figura. A soma das duas áreas será a 
resposta à questão. 
 
 
A soma será: . 
 
QUESTÃO 35 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Considere o plano cartesiano: 
 
A distância d percorrida pelo atleta é a 
soma das distâncias entre os pontos AB, 
BC, CD e DA. Temos, então: 
 
d = AB + BC + CD + DA 
 
 
 
II) O ponto C é a intersecção das retas y = 
400 e y = + 800 
 
 , então C (300, 400) 
 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Assim, a distância d percorrida pelo atleta 
foi de: 
 
d = AB + BC + CD + DA 
d = 400 + 300 + 500 + 300 + 300 = 1.800 
metros. 
 
QUESTÃO 36 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
(r): 3x + 4y = 0 ou y = x. 
(s): 3x + 4y + 10 ou y = – 2,25. 
Como o coeficiente linear da reta (s) é –2,25, então 
sabemos que o ponto (0, –2,25) é um ponto da reta. 
Podemos então calcular a distância desse ponto à 
reta (r): 
 
 
QUESTÃO 37 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Isolando y, temos: 
 
Equação (1): y = –2x + 3 
Equação (2): y = · x – 2 
Equação (3): y = · x + 1 
 
Como a reta r é a única decrescente, ela 
corresponde à equação numero 1. Como a 
reta s corta o eixo y em um valor positivo, 
ela corresponde à equação 3. 
 
QUESTÃO 38 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
As retas y = + 4 e y = + 6 interceptam o 
eixo das abscissas nos pontos respectivos (5,0) e 
(8,0) e o eixo das ordenadas nos pontos (0,4) e 
(0,6). A área da figura colorida é 8 · – 5 · = 14. 
 
QUESTÃO 39 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Resolvendo o sistema , encontramos 
o vértice A = . Analogamente, os outros 
vértices são B = (2, 0) e C = (6, 0). Assim, a base do 
triângulo é = 4 e a altura relativa ao vértice A 
mede . Assim, a área é igual a 
. 
 
QUESTÃO 40 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Se a área do quadrado menor é de 4 u.a., então 
cada lado desse quadrado mede 2 u.c., assim, 
como ele parte da origem, determina-se que as 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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coordenadas do primeiro ponto da reta são (0, 2). 
O quadrado maior tem área 9 u.a., portanto seu lado 
mede 3 u.c. Assim, no segundo ponto, x tem o valor 
2 e y equivale ao lado do quadrado, que é 3. O 
segundo ponto será (2, 3). 
 
 
Para encontrar a equação geral da reta que 
passa pelos pontos (0, 2) e (2, 3) basta 
fazer o det = 0 
 
 
. 
 
 
QUESTÃO 41 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A área da um triângulo equilátero é dada por , 
sendo l a medida do lado do triângulo. 
Assim, temos: 
. 
Como o triângulo é equilátero, todos os lados 
(inclusive o lado OB) medem 8 unidades. Sendo 
assim, o coeficiente linear da reta AB, que é a 
ordenada do ponto B (0, 8), também vale 8. Como o 
triângulo é equilátero, seus ângulos internos medem 
60°. Chamando de C o ponto de intersecção entre 
um prolongamento da reta AB e o eixo x, temos que 
o triângulo OAC terá o ângulo O com 90 – 60 = 30° 
e o ângulo A com 180° – 60° = 120°. Desse modo, 
conclui-se que a inclinação da reta AB (que é dada 
pelo ângulo externo do triângulo OAC) mede 120° + 
30° = 150°. Sendo assim, o coeficiente angular da 
reta AB será tg 150° = –tg 30° = . Sabendo os 
valores de ambos os coeficientes, temos que a 
equação reduzida da reta AB é: 
. Por fim, a equação geral da reta 
será: . 
 
QUESTÃO 42 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Se m1 e m2 são coeficientes angulares de 
duas retas paralelas, eles têm de ser iguais. O 
coeficiente linear n2 da reta s é o ponto onde a reta 
intercepta o eixo y. No diagrama verificamos que s 
intercepta y abaixo do eixo x, logo, o coeficiente 
deve ser negativo. 
 
QUESTÃO 43 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo 
. Então, a equação da reta s será s: y = 2x + 10. 
 
Para e , 
obtemos os respectivos coeficientes angulares ( ): 
 . 
Como e , s e r não são 
retas paralelas e nem perpendiculares. 
 
Igualando as duas equações, detrerminaremos o 
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ponto de intersecção (P) entre elas: 
 
 
Logo, P(–3, 4), ou seja, as retas s e r não se 
interceptam num ponto eixo das abcissas e nem em 
um ponto do eixo das ordenadas. 
 
Sendo assim, temos a seguinte representação: 
 
 
 
A área do triângulo formado pelas retas s e r com o 
eixo das abcissas, será: 
Portanto, a única afirmação verdadeira é a da 
alternativa B. 
 
QUESTÃO 44 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
M e N são pontos de um segmento de reta MN 
paralelo a x e P(4,0) está em AC, logo, está contido 
no eixo 0x. Se P é ponto médio de AC, então está 
no meio das abscissas xC – xA,que por sua vez, 
são o lado AC. Como M e P são pontos médios de 
AB, então MN é paralelo a BC e, terá o mesmo 
coeficiente angular de BC: a = = –3 (menor que 
zero por causa da inclinação, ver figura). 
 
Assim, y – 3 = (–3)(x – 7) é a equação da reta BC. C 
é o ponto de AC, que está em 0x, yC = 0. Portanto: 
–3 = (–3)(x – 7) 
x = 8. 
 
QUESTÃO 45 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Para que os três pontos estejam alinhados, o 
determinante da matriz deve ser 
nulo. Assim: 
 
Logo, -1,7 ≤ h < –1,5. 
 
QUESTÃO 46 
GABARITO: 
A 
RESOLUÇÃO: 
Analisando o sistema formado pelas duas 
equações: ax + by = 0 (I) e 2ax + ky = c (II), 
e considerando a matriz: , temos: 
(I) Se det(M) ≠ 0, temos um sistema 
possível e determinado e, portanto: 
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ak – 2ab ≠ 0 
a · (k – 2b) ≠ 0 
a ≠ 0 ou k ≠ 2b 
 
Assim, as retas ax + by = 0 e 2ax + ky = c 
são concorrentes. 
 
(II) Se det(M) = 0, temos um sistema 
possível e indeterminado (ou sistema 
impossível) e, portanto: 
 
ak – 2ab = 0 
a · (k – 2b) = 0 
a = 0 ou k = 2b 
 
Se k = 2b e c = 0, o sistema é homogêneo 
e as retas ax + by = 0 e 2ax + ky = c são 
paralelas coincidentes. 
 
QUESTÃO 47 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo um sistema formado por equações de 
retas, a soluções encontradas determinam o(s) 
ponto(s) de intersecção entre elas. Neste caso, o 
sistema formado por duas retas apresenta uma 
única solução, então, esta solução será o ponto 
(único) de intersecção entre as duas retas. 
 
QUESTÃO 48 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
De acordo com o enunciado, a Avenida Juscelino 
Kubitschek é formada pelos pontos equidistantes da 
prefeitura e da câmera de vereadores. Assim, ela 
passa pelo ponto médio entre essas duas 
construções e é perpendicular ao segmento de reta 
BC: 
 
 
O coeficiente angular do segmento BC é 
dado por: 
 
 
A reta que representa a Avenida Juscelino 
Kubitscheck é perpendicular a esse 
segmento de reta e, portanto, apresenta 
coeficiente angular = –1. Uma vez que o 
ponto M pertence a essa reta: 
 
 
De acordo com o gráfico, a interseção das 
retas que representam as avenidas tem 
abscissa igual a 2. Se substituirmos esse 
valor na equação imediatamente anterior, 
obtemos: 
 
 
O ponto de intersecção é dado, portanto, 
por: (2, 4). 
Considerando-se as alternativas, apenas B contém 
o intervalo adequado. 
 
QUESTÃO 49 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação de uma reta pode ser representada por y 
= ax + b, onde a corresponde ao coeficiente angular 
e b à intersecção da reta com o eixo das ordenadas. 
Temos, portanto, de acordo com o gráfico: 
 
a = 
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a = 
a = –2 
b = +4. 
 
Assim, a expressão que representa a reta do gráfico 
é: y = –2x + 4. 
 
QUESTÃO 50 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A reta que contém o lado do triângulo tem 
coeficiente angular . Portanto uma 
equação dessa reta 
é . 
Assim, a distância procurada é a distância 
dessa reta ao ponto A: 
 
 
QUESTÃO 51 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A intersecção das retas 2x - y = -2 e x + y = 11 é 
solução do sistema formado pelas duas equações: 
 
 
 
Assim, a reta (t) passa pelo ponto (3,8) e tem 
coeficiente angular . Sua equação 
é: 
t: y - 8 = -3(x - 3) 
t: y = -3x + 17 
 
A intersecção da reta (t) com o eixo y é o ponto 
(0,17). 
 
QUESTÃO 52 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Observando a figura, podemos nomear as coordenadas 
dos vértices do trapézio como: 
O (0, 0) 
B (0, yB) 
C (xC, yC) 
D (xD, 0) 
 
Como o ponto B está na reta r, temos: 
2 · 0 – 3yB + 6 = 0 
–3yB + 6 = 0 
–3yB = –6 
yB = 2 
 
Como os pontos C e D estão na mesma reta, usaremos 
xC= xD = x 
Assim, podemos reescrever as coordenadas da seguinte 
maneira: 
O (0, 0) 
B (0, 2) 
C (x, y) 
D (x, 0) 
 
Para calcular a área do trapézio, precisamos das 
seguintes medidas: 
Base menor b (em y) = BO = 2 – 0 = 2 
Base maior B (em y) = CD = y – 0 = y 
Altura h (em x) = DO = x – 0 = x 
 
Área = (B + b) · h/2 = (y + 2) · x/2 = 9 
Logo, (y + 2) · x = 18 
 
Isolando y em r, temos y = (2x + 6)/3 
 
Substituindo na fórmula da área: 
 
 
Enfim, temos a seguinte equação quadrática: 
2x2 + 12x – 54 = 0 
x2 + 6x – 27 = 0 
x = –9 ou x = 3 
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Como a reta s é definida por um valor positivo de x, 
temos: 
x = 3 
x – 3 = 0 
 
QUESTÃO 53 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Substituindo a equação 
 em , temos: 
 
Portanto, y = –1, e o ponto P tem 
coordenadas . 
A distância d entre P e a reta dada é: 
 
 
QUESTÃO 54 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Um sistema como esse pode ser classificado de 
acordo com a posição relativa entre as retas. 
Encontrar uma solução para ele seria dizer que as 
três retas concorrem em um mesmo ponto. Dessa 
forma, se duas delas forem paralelas distintas, o 
sistema será impossível. Se forem concorrentes, 
porém em 3 pontos diferentes, o sistema também 
será impossível. (Se houvessem no sistema 
paralelas idênticas, ele seria reduzido a um sistema 
de duas equações e teria outra resolução). 
 
Com base nessa análise prévia, vamos ver as 
posições entre as retas, analisando seus 
coeficientes angulares: 
reta I: m = 
reta II: m = 
reta III: m = 
 
Como os coeficientes são todos distintos, o sistema 
deve ter uma solução (não há paralelismo). 
Como os coeficientes das retas I e III são inversos e 
opostos, elas são perpendiculares. 
O ponto de intersecção das retas I e II pode ser 
encontrado da seguinte maneira: 
reta II: 
x = 5 + 4y 
 
Substituindo na reta I: 
2 · (5 + 4y) + 3y = 2 
10 + 8y + 3y = 2 
11y = 2 – 10 = –8 
y = 
x = 5 + 4y = 5 – = = 
 
Substituindo esses valores na reta III: 
+ = 6 
= 6 
= 6 (impossível). 
 
Desse modo, concluímos que a intersecção das 
retas I e II não pertence à reta III, o que torna o 
sistema impossível. 
 
Analisando as alternativas: 
I – Verdadeira 
II – Verdadeira (retas I e III) 
III – Verdadeira (retas I e II, retas I e III, retas II e III) 
 
Então, n = 3 e 2³ = 8. 
 
QUESTÃO 55 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo o ponto C a intersecção do gráfico com o 
eixo das ordenadas, C = (0, h) onde h é a altura do 
triângulo. Desse modo, h = f(0) = (|0| – 1)
2
 = (–1)
2
 = 
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1. 
Como os pontos A e B são as intersecções do 
gráfico com o eixo das abscissas, a base do 
triângulo será dada por |b – a|, onde a é a abscissa 
do ponto A (a, 0) e b é a abscissa do ponto B (b, 0). 
Resolvendo a equação f(x) = 0, temos: 
(|x| – 1)
2
 = 0 
|x| – 1 = 0 
|x| = 1 
x = 1 ou x = –1 
 
Logo, a = –1 e b = 1 (ou vice-versa) e a base do 
triângulo mede [1 – (–1)] = 1 + 1 = 2. 
Então a área procurada é (2 · 1) ÷ 2 = 1. 
 
QUESTÃO 56 
01 + 02 + 04 + 08 = 15 
 
RESOLUÇÃO: 
Passando as equações para a forma reduzida: 
r: y = –x + 1 (coeficiente angular = –1 e coeficiente 
linear = 1) 
s: y = –2x (coeficiente angular = –2 e coeficiente 
linear = 0) 
t: y = 0,5x – 0,5 (coeficiente angular = 0,5 e 
coeficiente linear = –0,5) 
 
01) Correta. Buscando a intersecção entre r e s: 
–x + 1 = –2x 
–x + 2x = –1 
x = –1 
y = –2x = –2 · (–1) = 2 
Ponto (–1, 2) 
 
Buscando a intersecção entre r e t: 
–x + 1 = 0,5x – 0,5 
–x – 0,5x = –0,5 – 1 
–1,5x = –1,5 
x = 1 
y = –x + 1 = –1 + 1 = 0 
Ponto (1, 0) 
 
Buscando a intersecçãoentre s e t: 
–2x = 0,5x – 0,5 
–2x – 0,5x = –0,5 
–2,5x = –0,5 
25x = 5 
x = 5/25 = 1/5 
y = –2x = – 2 · (1/5) = – 2/5 
Ponto (1/5, –2/5) 
 
02) Correta. Duas retas são perpendiculares quando 
o produto de seus coeficientes angulares é –1. 
No caso de s e t temos –2 · 0,5 = –1. 
Logo, s e t são perpendiculares. 
04) Correta. Pela fórmula da distância entre ponto e 
reta, temos: 
d = 
08) Correta. Pela fórmula da área de triângulo a 
partir das coordenadas dos vértices, temos: 
A = 
 
16) Incorreta. Quando duas retas concorrem em um 
plano cartesiano, o ângulo agudo a formado entre 
elas está necessariamente abaixo de uma delas e 
acima da outra. Isso significa que ele é interno ao 
triângulo formado pelas duas retas e pelo eixo x. 
Ao mesmo tempo, o ângulo de inclinação da reta 
que está acima do ângulo a é externo ao triângulo, 
ao passo que o ângulo da reta que está abaixo do 
ângulo a é interno ao triângulo. 
Como o ângulo externo é a soma dos dois internos, 
pode-se concluir que a medida do ângulo a é 
o módulo da diferença entre os ângulos de 
inclinação das retas. 
Logo, tg (a) é a tg (b – c), onde b e c são os ângulos 
das retas concorrentes. 
Como a tg do ângulo de inclinação da reta é o seu 
coeficiente angular, temos: 
 
 
QUESTÃO 57 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O coeficiente angular da reta l que passa por AB é 
dado por: 
 
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Como essa reta é perpendicular à r1, o coeficiente 
angular de r1 é inverso e oposto ao –2. 
Logo m1 = = 0,5 
 
Como r1 e r2 são paralelas, m2 = m1 = 0,5. 
 
Como r1 passa por (0, 2), seu coeficiente linear é b1 
= 2. 
 
Assim, m2 × b1 = 0,5 × 2 = 1 
 
QUESTÃO 58 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
2x + 3 = x – 4 → x = –7, logo y = –11. 
 
QUESTÃO 59 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Resolvendo o sistema formado pelas duas 
equações das retas que determinam o ponto P, 
encontra-se P = (2, 4). 
 
O ponto Q tem abcissa x = 0 e ordenada y = 0 + 2 = 
2, portanto Q = (0, 2), conforme mostra a figura a 
seguir. 
 
 
 
Portanto, a área do triângulo OPQ representa 50% 
da área do quadrilátero OQPR. 
 
QUESTÃO 60 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O vértice da parábola é o ponto (2, –3). Se 
considerarmos f(x) = ax2 + bx + c a função 
do gráfico, temos: 
 
 . 
 
Além disso, a parábola passa pelo ponto (0,1), logo: 
 
f(0) = 1 ⇒ a · 02 + b · 0 + c = 1 ⇒ c = 1; 
f(2) = –3 ⇒ a · 22 + b · 2 + c = -3 ⇒ 4a + 2(–4a) + 1 = 
–3 ⇒ –4a = –4 ⇒ a = 1, b = –4. 
 
Portanto, a função é dada por f(x) = x
2
 – 4x + 1. 
 
Como a reta passa pelos pontos (1,0) e (0,1), seu 
coeficiente angular é e seu coeficiente 
linear é 1. Assim, sua equação é y = 1 – x. 
Assim, a região sombreada é solução da 
desigualdade x
2
 – 4x + 1 ≤ y ≤ 1 – x. 
 
QUESTÃO 61 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da reta s pode ser escrita como: 
(s): y = 2x + 1 
Logo, s tem coeficiente angular igual a 2. Portanto, 
uma reta paralela a s também terá coefiente angular 
igual a 2. Se passa pelo ponto P(1,1), sua equação 
será: 
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. 
 
QUESTÃO 62 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A intersecção da reta com o eixo OY (ponto Q) é o 
ponto (0,3): 
m · 0 + 2y = 6 → y = 3. 
 
A intersecção da reta com o eixo OX (ponto P) é o 
ponto : 
mx + 2 · 0 = 6 → x = . 
 
A partir da informação da área, tem-se: 
. 
 
QUESTÃO 63 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
As coordenadas do ponto de interseção das retas r 
e s são a solução do sistema: 
 
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, 
encontra-se . 
Substituindo este valor na primeira equação, 
encontra-se . 
Portanto, o ponto de intersecção de r e s é 
. Para que a reta t também contenha esse ponto, 
deve-se ter, substituindo em sua equação: 
. 
 
QUESTÃO 64 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo (x, y) as coordenadas do ponto P e estando 
P no primeiro quadrante (x, y > 0), temos que: 
 
A área do triângulo APB será dada por: 
 
 
A área do triângulo CPD será dada por: 
 
 
 
3x – 24 = 12 → x = 12 ou 3x – 24 = –12 → x = 4 
 
Enfim, as possíveis coordenadas de P são (4, 5) e 
(12, 5) e os possíveis produtos são 20 ou 60. 
 
QUESTÃO 65 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
1. Verdadeira. 
 
 A equação é: 
 
 
2. Falsa. 
As raízes da função y = (3x + 3) (5x − 3) = 15x
2
 + 6x 
- 9 são x = −1 e x = . Trata-se de uma parábola 
com concavidade voltada para cima, portanto a 
inequação tem solução para x < -1 ou x > . 
3. Falsa. 
 
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A taxa de juros é de 400% ao ano. 
 
4. Verdadeira. 
 
 
Trata-se da soma dos 9 termos da progressão 
geométrica de razão 2, primeiro termo 2
3
: 
 
. 
 
QUESTÃO 66 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Pelo enunciado, temos que, a reta r tem coeficiente 
angular (m) igual a 1. Logo, como a reta s é 
perpendicular a reta r, seu coeficiente angular é –1. 
Assim, temos as seguintes equações de reta: 
 
r: y – 3 = 1(x – 2) ⇔ y = x + 1. 
S: y – 5 = –1(x – 2) ⇔ y = –x + 7 
 
Então, igualando as duas equações de reta: 
 
x + 1 = –x + 7 
x = 3 e y = 4. Ou seja, A é o ponto (3,4). 
 
QUESTÃO 67 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
I. Incorreta. A ordenada do ponto E equivale à altura 
(h) do triângulo OED. 
 
II. Incorreta. Para verificar se a equação está 
correta, basta tirar a prova com um dos pontos 
conhecidos (B ou D). 
Para D(3, 0), se y = 0 
3x + 3y – 1 = 0 
3x = 1 
 
 
III. Correta. O declive do segmento OE equivale à 
tangente do ângulo formado pela reta e o eixo x. 
Como esse ângulo é também ângulo interno de um 
triângulo equilátero, mede 60° e sua tangente é . 
IV. Correta. A área do triângulo OPQ (A) pode ser 
calculada por: 
Abscissa de P (h) × Segmento QO (b) / 2 
 
Segmento QO, por semelhança de triângulos, vale 
1,5. 
 
Abscissa de P é a abscissa do cruzamento entre 
as retas OE ( ) e DB ( ): 
yOE = YDB 
 
Então: 
 
 
 
 
QUESTÃO 68 
D 
 
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RESOLUÇÃO: 
 Sendo r, com 0 < r < 4, a raiz real da 
função , tem-
se: 
 Assim, a equação da reta r, representada no plano 
cartesiano é: 
 
Portanto, uma representação algébrica da região 
colorida é dada por: 
 
 
QUESTÃO 69 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Note que todos os pontos da reta BC tem abscissa x 
= 5. 
Na reta AE temos que a taxa de variação é de 1 
unidade a menos no y para 3 unidades a mais no x. 
Logo, o coeficiente angular da reta é . 
Como o ponto A tem coordenadas (–2, 4), pela taxa 
de variação temos que o coeficiente linear da reta 
(atingido na abscissa 0) pode ser calculado através 
do seguinte raciocínio: ao "andar" duas unidades 
para a direita, a reta "descerá" . Assim, temos: 
 
Logo, a equação da reta AB será y = 
Para x = 5 então teremos y = 
O ponto será . 
 
QUESTÃO 70 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
A equação da reta AB é: 
 
 = 0 ⇔ 6 · x – 10 · y + 10 = 0. 
 
Para que os pontos P e Q estejam situados em 
semiplanos opostos, em relação à reta AB, devemos 
ter: 
 
 
 
Assim, sendo k um número inteiro, temos k = 26. 
 
QUESTÃO 71 
GABARITO: 
(Resolução oficial.) 
 
(A) 
 
 
 
(B) Uma maneira de calcular o perímetro é 
determinar as coordenadas dos pontos de 
interseção entre as retas, que são (0, 0), (3, 
3), (6, 0) e (3, –3). Em seguida, calculara 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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distância entre dois vértices consecutivos e 
somar os quatro valores encontrados: 
 
 
 
Assim, o perímetro é igual à soma dos 4 
comprimentos: 4 × 3 = 12 unidades 
de comprimento. Outra maneira é verificar 
que a figura é um quadrado, calcular o 
comprimento de um lado e multiplicá-lo por 
4. 
 
Outra possibilidade é calcular o 
comprimento da diagonal de um quadrado 
unitário e utilizá-lo como unidade de 
medida: 
d2 = 12 + 12 = 2. Ou seja, d = 
Nesse caso, o perímetro será 3 × 4 × = 
12 unidades de comprimento. 
 
QUESTÃO 72 
GABARITO: 
1. Os gráficos dessas três retas são: 
 
 
 
2. Ponto A (r e s): 
2x – 4 = – x + 11 
2x + x = 11 + 4 
3x = 15 
x = 5 
y = 2x – 4 = 10 – 4 = 6. 
Portanto, A (5,6). 
 
Ponto B (r e t): 
5(2x – 4) = x + 7 
10x – 20 = x + 7 
10x – x = 7 + 20 
9x = 27 
x = 3 
y = 2x – 4 = 6 – 4 = 2. 
Portanto, B (3,2). 
 
Ponto C (s e t): 
5(– x +11) = x + 7 
–5x + 55 = x + 7 
–5x – x = 7 – 55 
–6x = –48 
x = 8 
y = – x + 11 = – 8 + 11 = 3. 
Portanto, C (8,3). 
 
3. A área do triângulo pode ser calculada pelo 
determinante da matriz formada pelos pontos: 
 
 
 
QUESTÃO 73 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Seja A(x1, y1) e B(x2, y2), com A r e B s 
, tem-se: 
 
A(x1, x 1− 5) e B(x 2 , 2x2 + 12) . 
Como P é o ponto médio de AB, tem-se 
que: 
 
 e 
 
O que equivale a: 
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Resolvendo o sistema, tem-se que x2 = −3 
e que B(−3,6). 
 
Assim, o coeficiente angular da reta é dado 
por: 
 
y − 3 = m (x − 1) → m = 
 
e a equação da reta é: 
 
. 
 
QUESTÃO 74 
GABARITO: 
a) 
 
 
b) Se D = (x, y), com y = 3 + 2x − x
2 
> 0, temos: 
 
 
 
A área máxima do triângulo ABD é dada quando D = 
(1,4). 
 
c) Seja t a reta que contém os pontos B e E. Então t 
é perpendicular a r, e: 
 
 
O ponto E é o ponto de intersecção da reta r com a 
reta t: 
 
 
 
A área do quadrilátero ABDE é a soma das áreas 
dos triângulos ABD e ABE: 
 
. 
 
QUESTÃO 75 
GABARITO: 
A equação procurada da reta tem a forma s 
: y = 2x + b com b > 0, pois ela é paralela à 
reta r : y = 2x e não intercepta o quarto 
quadrante. 
A distância do ponto P(0,b) para a reta r é 
igual a 1, 
portanto 
 . 
Daí, segue a equação da 
reta S, . 
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QUESTÃO 76 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Como (2, 4) é um ponto do gráfico de f, 
existem duas retas que passam pelo ponto 
(2, 4) e interceptam o gráfico de f em um 
único ponto. Uma delas é vertical com 
equação x = 2. A outra é a reta tangente ao 
gráfico de f no ponto (2, 4). Uma equação 
para ela pode ser calculada da seguinte 
maneira: escrevendo-se y = m x + p, tem-
se que 4 = 2 m + p (pois a reta deve passar 
pelo ponto (2, 4)) e a equação quadrática 
 
x2 = m x + p 
 
possui uma única solução (pois a reta deve 
interceptar o gráfico de f em um único 
ponto). Segue-se então que 4 = 2 m + p e 
m2 + 4p = 0. Resolvendo-se esse sistema, 
obtém-se os seguintes valores: 
m = 4 e p = −4. 
 
Assim, y = 4 x − 4 é uma equação da reta 
não vertical que passa pelo ponto (2, 4) e 
intercepta o gráfico de f em um único ponto. 
 
QUESTÃO 77 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
O ponto, C, de intersecção das retas r e s, 
tem coordenadas . 
 
Como o segmento CP é uma mediana do 
triângulo ABC, o ponto P deve ser o ponto 
médio do segmento AB. 
 
Como A r e B s , as suas coordenadas 
são dadas por 
 
 e 
 
Desses fatos obtém-se que 
 
 e 
 
Substituindo o valor de x2 na segunda 
equação, obtém-se que 
 
 e 
 
Assim, as coordenadas dos pontos A r e 
B s são 
 
 e 
 
QUESTÃO 78 
GABARITO: 
 
COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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A) 
 
 
 
B) 
 
QUESTÃO 79 
GABARITO: 
5 · 60 = 300 segundos 
são 100 movimentos para cima 
e 200 para direita 
O último ponto é (202, 100). 
Equação da reta: 
 
QUESTÃO 80 
GABARITO: 
A) Utilizando o procedimento usual, temos 
que: 
 
 
Logo, a equação é 
3x – 4y = 0 . 
 
B) Da mesma forma, 
 
 
A equação da reta é: 
3x + 2y = 9 . 
 
C) As coordenadas do ponto de interseção, 
M(a, b), devem satisfazer as equações das 
retas encontradas. Sendo assim, 
precisamos resolver o sistema de equações 
lineares 
 
 
 
A aplicação correta de qualquer método nos leva 
aos valores a = 2 e b = . 
O ponto em questão, portanto, é o m (2, 
3/2). 
 
QUESTÃO 81 
GABARITO: 
a) O ponto R está na interseção das duas 
retas, de modo que sua abscissa satisfaz 
ax + b = cx. Mas b = (a + c)/2, de modo que 
c = 2b – a, o que implica que ax + b = (2b – 
a)x, ou x = b/(2b – 2a). Usando y = cx, 
temos y = (2b – a)b/(2b – 2a). O ponto P 
está sobre as retas y = ax + b e y = 0, de 
modo que sua abscissa é –b/a. Já o ponto 
Q está sobre as retas y = ax + b e x = 0, de 
modo que sua ordenada é b. 
As coordenadas são P(–b/a, 0), Q(0, b) e 
R(b/(2b – 2a), (2b – a)b/(2b – 2a)). 
 
b) A área do triângulo OPQ, que vale 1, é 
igual à soma das áreas dos triângulos OPR 
e ORQ . Assim, como AOPR = 2AORQ, 
temos AORQ + 2AORQ = 1, ou AORQ = 1/3. 
Logo, AOPR = 2/3. 
Uma vez que AORQ / 2 = b
2 /[2(2b – 
2a)] = 1/3, temos 3b2 = 4(b – a). 
Da mesma forma, AOPR = / 2 = – 
(b/a)(2b – a)b/[2 (2b – 2a)] = 2/3, donde –
3b2 (2b – a) = 8a(b – a). 
Substituindo o termo 3b2 por 4(b – a) nessa 
última equação, obtemos a – 2b = 2a, ou a 
= –2b. 
Assim, 3b2 = 4(b – (–2b)) = 12b, ou 3b(b – 
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4) = 0. Como b 0, temos b = 4, donde a 
= –8 e c = 2b – a = 16. 
 
Portanto, a = –8, b = 4 e c = 16. 
 
QUESTÃO 82 
GABARITO: 
II – III – V 
 
I. Falsa. O ponto médio do segmento é o ponto , 
que não pertence à área de abrangência de nenhum 
dos dois pontos, conforme mostra a figura. 
 
 
II. Verdadeira. De fato, e são hipotenusas de dois 
triângulos retângulos de catetos de medidas 1 e 2. 
 
III. Verdadeira. A reta que passa por B e C tem 
coeficiente angular . 
A reta que passa por A e B tem coeficiente angular 
 . 
Portanto, as duas retas são perpendiculares. 
 
IV. Falsa. As distâncias entre C e M e entre D e M 
são maiores que o raio da circunferência que 
delimita a área de abrangência das antenas, 
conforme mostra a figura. 
 
 
V. Verdadeira. A reta que passa pelos pontos B e C 
tem equação y – 2 = – 2(x – 4), ou 2x + y – 10 = 0. A 
distância entre essa reta e o ponto D (1, 4) é: 
. 
 
QUESTÃO 83 
GABARITO: 
 
Considere r a reta que passa por A(–1, 2) e 
B(1, 4) e tem equação y = ax + b. 
Substituindo-se os pontos A e B na 
equação obtém-se cuja 
solução é a = 1 e b = 3. 
Logo, a reta r tem equação y = x + 3. 
 
Considere s a reta que passa por C e D e é 
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paralela a r, sua equação é da forma y = x 
+ n. 
Substituindo-se o ponto (–2, 5) obtém-se n 
= 7. Assim, s tem equação y = x + 7. 
 
Considere t a reta que é perpendicular à r e 
passa por A(–1, 2). 
A equação de t é da forma y = –x + p. 
Substituindo-se o ponto A obtém-se p = 1. 
Logo, t tem equação y = –x + 1. 
 
Sendo M o ponto de intersecção das retas 
s e t, suas coordenadas correspondem à 
solução do sistema , portanto 
x =–3 e y = 4. 
Logo, M(–3, 4). 
 
Por outro lado, M é o ponto médio do 
segmento DC. 
Considerando D(x0,y0), tem-se (–3,4) 
= , cuja solução é 
 e e, portanto, D(–4, 3). 
 
Obtém-se 
então 
 . 
 
Por outro lado, . Logo, 
o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e 
sua área é igual a 
Tem-se 
que 
 e 
 . 
Portanto, a área do quadrilátero ABCD é 
igual a 8 u.a. 
 
QUESTÃO 84 
GABARITO: 
 
Equação da reta que passa por (–4,3) paralela às 
retas procuradas: 
 
 
As retas procuradas são da forma: 
 
 
A distância dessas retas ao ponto (–4,3) é igual 
a 
 
 
 
Portanto: 
 
 
QUESTÃO 85 
GABARITO: 
a) 
 
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b) 
 
 
 
c) Justificativa de que a reta tangente com 
o eixo x forma um ângulo de 30º. 
 
 
 
QUESTÃO 86 
GABARITO: 
A reta r, mediatriz dos pontos (-6,2) e (3,-1), 
é dada por y = 3x + 5 
 
A reta s, mediatriz dos pontos (3,-1) e (-
5,5), é dada por y = 2x - 5 
 
O ponto de interseção das retas r e s corresponde 
ao centro da circunferência e é dado por (-2,-1). 
Como o ponto (3,–1) pertence à circunferência, 
temos que o raio é igual a 5. 
 
QUESTÃO 87 
GABARITO: 
 
 
Coeficiente angular da reta : = 1. 
Equação da reta : y – 0 = 1 · (x – 1) ⇒ 
y = x – 1. 
 
Coeficiente angular da reta : = –1. 
Equação da reta : y – 0 = –1 · (x – 3) ⇒ 
y = –x + 3. 
 
Se m é a inclinação da reta r que dividirá o 
triângulo em duas regiões de mesma área, 
temos: 
r : y – 0 = m(x – 0) ⇒ y = mx. 
 
Note que 0 < m < , pois essa reta está 
entre o eixo x e , em que O é a origem 
do sistema cartesiano. O coeficiente 
angular de é . 
 
Sejam D(a, b) e E(c, d) os pontos de 
intersecção entre a reta r e as retas 
 e , respectivamente. 
Coordenadas do ponto D: 
ma = a – 1 ⇒ (m – 1)a = –1 ⇒ a = 
y = x – 1 ⇒ b = – 1 ⇒ b = . 
 
Coordenadas do ponto E: 
mc = – c + 3 ⇒ (m + 1)c = 3 ⇒ c = 
y = – x + 3 ⇒ d = + 3 ⇒ d = 
 
A área do triângulo ABC é = 1 u.a. 
Portanto, a área de cada região é u.a. 
Dessa forma temos: 
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I: 8m2 – 8m + 2 = 1 – m2 II: 
8m2 – 8m + 2 = –1 + m2 
 9m2 – 8m + 1 = 0 
7m2 – 8m + 3 = 0 
 = 64 –36 = 28 
 = 64 – 4 · 7 · 3 ⇒ < 0 (não convém) 
 m = 
 m = , pois 0 < m < 
 
Portanto a inclinação da reta é m = . 
 
QUESTÃO 88 
GABARITO: 
a) As coordenadas do ponto P são da 
forma P = (x, –2x). 
Portanto, queremos que x2+(–2x+1)2=10. 
Ou ainda, 5x2– 4x –9 = 0. Como P está no 
segundo quadrante, x = –1 e P=(–1,2). 
 
b) Seja s a reta ortogonal à reta y = –2x e 
que passa pelo ponto (0,–1). 
A equação de s é y = + x –1. 
O ponto de r mais próximo de (0,–1) é o ponto de 
interseção das retas s e r: 
 
QUESTÃO 89 
GABARITO: 
a) Pelo princípio multiplicativo, o número de 
pontos de é . 
 
b) Os pontos de P tais que z = 1 estão 
contidos em um quadrado de lado 2 
paralelo ao plano xy, como ilustra a figura. 
 
 
São oito retas que passam por exatamente 
três pontos, como indicam as figuras 
abaixo. 
 
 
 
 
QUESTÃO 90 
GABARITO: 
a) Como a circunferência da roldana tem 
equação x2 + y2 − 10x − 6y + 33 = 0, pode-
se concluir que: 
x2 + y2 – 10x – 6y + 33 = 0 
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 + 33 = 0 + 34 
(x – 5)2 + (y – 3)2 = 1 
Assim, o centro dessa circunferência é 
dado pelo ponto C(5,3) e seu raio r = 1 cm. 
 
b) Como o fio tem 5,93 cm de comprimento, 
tem-se: 
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TB + med( ) + SD = (3 − 2,14) + 3,14 + 
SD = 5,93, no qual SD = 1,93 e, portanto, 
yD = 3 – 1,93 = 1,07. 
Como xD= 5 – 1 = 4 e xB = 5 + 1 = 6 tem-se 
B(6; 2,14) e D(4; 1,07). 
Equacionando a reta que passa por D e B: 
 . 
A abscissa do ponto A é obtida fazendo y = 
0 nessa última equação: 
 . 
 
QUESTÃO 91 
GABARITO: 
A: interseção de r e s, encontramos pela solução do 
sistema a seguir: 
x – 3y + 3 = 0 
x + 2y – 7 = 0 A (3, 2) 
B: interseção de s e t, encontramos pela solução do 
sistema a seguir: 
x + 2y – 7= 0 
x + 7y – 7 = 0 B (7, 0) 
C: interseção de r e t, encontramos pela solução do 
sistema a seguir: 
x – 3y + 3 = 0 
x + 7y – 7 = 0 C (0,1) 
A área do triângulo ABC (área da base do prisma) é 
igual a metade do módulo do valor do determinante 
da matriz quadrada das coordenadas dos vértices: 
Área do triângulo = 
Os lados do triângulo ABC serão calculados pelas 
distâncias de A a B, de B a C e de A a C: 
d (A, B) = 
d (A, C) = 
d (B, C) = 
a) Área Total = 2 · (área das bases dos triângulos) + 
área das faces laterais dos retângulos. 
 
 
Como h = 2, temos: 
 
 unidades de área. 
b) unidades de volume. 
 
QUESTÃO 92 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
Cálculo das coordenadas do centro da 
circunferência 
x
2
 + y
2
 + 2x – 4y – 4 = 0 
(x
2
 + 2x + 1) + (y
2
 – 4y + 4) = 4 + 1 + 4 
(x + 1)
2
 + (y – 2)
2
 = 9. 
Centro da circunferência: (–1, 2). 
Aplicando a rotação de rd ao ponto (–1, 2), 
obtém-se P’(–2, –1). 
Cálculo do ângulo α 
Como 
 
Considerando que , então 
 < , 
 < 
 < 
 < 
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Logo, k = 2 e 
O coeficiente angular de r é igual a 
. 
Uma equação da reta que passa pelo ponto P(–2, –
1) e tem coeficiente angular é 
 
 
QUESTÃO 93 
GABARITO: 
a) A equação da reta r que passa pelo 
ponto A (xA, yA) e tem inclinação de é 
dada por y – yA = m (x – xA), onde mr = tg 
( ) é o coeficiente angular da reta r. 
 
Como A (–1, 2) e = 135°, temos mr = tg 
(135º) = –1, e y – (2) = –1(x – (–1)) ⇒ y – 2 
= –1(x + 1) ⇒ y = –x + 1. 
 
Equação da reta r : yr = –x + 1. 
 
 
b) Sejam mr e ms os coeficientes angulares 
das retas r e s, respectivamente. Como as 
retas r e s são perpendiculares, 
temos = –1. Pelo item a, sabemos 
que mr = –1, logo 
. 
Como a reta s passa pelo ponto B (3, 4), 
sua equação é dada por 
y – (4) = 1(x – (3)) ⇒ y – 4 = x – 3 ⇒ y = x + 
1. 
 
Então, a equação da reta s é dada por : ys 
= x + 1. 
Determinemos agora o ponto P dado pela 
intersecção das retas r e s 
 
 
Resolvendo o sistema, obtemos x + 1 = –x 
+ 1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0. Logo, P (0,1). 
 
 
c) Seja D o ponto de tangência da 
circunferência com a reta r. Logo o 
comprimento do segmento é o raio R 
da circunferência, isto é, R = . Como D 
é o ponto de tangência da circunferência 
com a reta r, temos que o ângulo é 
retângulo em D, ou seja, = 90°. A reta 
que passa por P e Q é paralela ao eixo dos 
x , logo = = 45° e o triângulo 
retângulo DPQ é isósceles de lado QD e 
hipotenusa PQ = 2. 
Assim, 
R2 + R2 = 22 ⇒ 2R2 = 4 ⇒ R = . 
A equação de uma circunferência que 
possui centro no ponto (x0, y0) e raio R é 
dada por 
(x – x0)
2 + (y – y0)
2 = R2. 
 
Portanto, a equação da circunferência que 
possui centro no ponto Q (2,1) é: 
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 2. 
 
 
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QUESTÃO 94 
GABARITO: 
A) A reta r passa pelos pontos (7,0) e (0,14). Logo, 
seu coeficiente angular é negativo e tem valor 
absoluto de = 2. Seu coeficiente linear é o 
próprio 14, de modo que a equação de r é y = –2x + 
14. A reta s é perpendicular a r, então seu 
coeficiente angular é o oposto do inversodo 
coeficiente de r. Logo, o coeficiente angular de s é 
0,5. Como essa reta passa pelo ponto (3,0), temos 
que 0 = 0,5 · 3 + n (n é o coeficiente linear de s). 
Assim, n = –1,5 e a equação de s será y = 0,5x – 
1,5. A reta t é paralela à s, mas tem coeficiente 
linear 5. Então a equação de t será y = 0,5x + 5. 
 
B) O centro da circunferência é o ponto de encontro 
entre r e t e seu raio é a distância entre esse ponto e 
a intersecção das retas s e r. 
Encontrando o centro: 
 
–2x + 14 = 0,5x + 5 
–2,5x = 5 – 14 = –9 
x = = 3,6. 
 
y = –2x + 14 
y = –7,2 + 14 = 6,8. 
 
Intersecção de r e s: 
 
–2x + 14 = 0,5x –1,5 
–2,5x = –1,5 – 14 
x = = 6,2. 
 
y = –2x + 14 
y = –12,4 + 14 = 1,6. 
 
Calculando o raio: r
2
 = (6,2 – 3,6)
2
 + (1,6 – 6,8) = 
(2,6)
2
 + (–5,2)
2
 = 6,76 + 27,04 = 33,8. 
 
Equação da circunferência: (x – 3,6)
2
 + (y – 6,8)
2
 = 
33,8. 
 
QUESTÃO 95 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) A equação da reta r é y = + m(x – a). Fazendo 
x = 0 obtemos y = – ma. Fazendo y = 0 obtemos 
x = a – . Assim os pontos de interseção de r com 
os eixos coordenados são Q(0, – ma) e R(a – 
, 0). A área do triângulo retângulo QOR formado 
por r e pelos eixos coordenados é 
Área = base · altura = (a – )( – ma). 
 
b) Para obter a abscissa x dos pontos de interseção 
de r com gráfico f(x) = igualamos + m(x – a) = 
. Daí obtemos m(x – a) = ⇒ m·a·x(x – a) = –
(x – a) ⇒ (x – a)(m·a·x + 1) = 0 ⇒ x = a ou x = – . 
Queremos que P (a, ) seja o único ponto de 
interseção, logo devemos ter – = a, ou seja, m = 
– . 
 
c) Substituindo m = obtido no item B na 
expressão da área obtida no item A, vemos que, 
para esse valor de m, a área do triângulo formado 
por r e pelos eixos coordenados é 2 e, portanto, não 
depende de a. 
 
QUESTÃO 96 
GABARITO: 
(Resolução oficial) 
 
a) y = constante, que implica 2 – p = 0 ⇒ p = 2. 
Substituindo esses valores na expressão, obtemos 
5y + 16 + 4 = 0 ⇒ = –4. Portanto, o ponto de 
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interseção é (0, –4). 
 
b) y = 0 ⇒ x = –12. Portanto, A = (–12, 0). 
Então, a circunferência tem Centro = (–6, 0) e Raio 
= 6. Assim, a equação é (x + 6)
2
 + y
2
 = 36 ⇔ x2 + 
12x + y
2
 = 0. 
 
QUESTÃO 97 
GABARITO: 
Como os coeficientes da parábola de 
equação y = ax2 + bx + c, ou seja, a, b e c, 
nessa ordem, formam uma PA, então 2b = 
a + c (I). 
Além disso, sabemos que seu gráfico 
passa pelos pontos (2, 5) e (–1, 2), 
portanto: 
4a + 2b + c = 5 (II) e a – b + c = 2 (III) 
Substituindo I em III, temos: 
2b – b = 2 ⇒ b = 2 
Assim, a + c = 4, ou seja, c = 4 – a. 
Substituindo esses resultados em II, temos: 
4a + 2 × 2 + 4 – a = 5 ⇒ 3a = –3 ⇒ a = –1 
Portanto, c = 4 – (–1) ⇒ c = 5. 
 
Assim, a equação da parábola é y = –x2 + 
2x + 5, cujo vértice tem coordenadas V (1, 
6). 
Para obtermos o coeficiente angular da reta 
tangente à parábola no ponto (2, 5), 
fazemos: 
y’ = = –2x + 2 
Para x = 2; y’ = –2 × 2 + 2 = –2. Ou seja, o 
coeficiente angular da reta desejada é –2. 
Sendo assim, sua equação é obtida 
fazendo: 
y – 5 = – 2 • (x – 2) ⇒ 2x + y – 9 = 0 
 
Portanto, a distância do vértice à reta 2x + 
y – 9 = 0 é dada por: 
d = 
 
Sendo assim, a distância desejada é u.c. 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Analítica.
	Retas.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
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