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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito – AD2 – Me´todos Determin´ısticos II – 06/04/2015 Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = 12 ln(9− x2) (a) Determine o domı´nio de f ; (b) Calcule os seguintes limites: lim x→−3+ f(x), lim x→3− f(x); (c) Calcule e estude o sinal de f ′(x); (d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x); (e) Mostre que f(−x) = f(x) (f) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f . Soluc¸a˜o: a) (0,5pt) Inicialmente observe que ln(u) esta bem definido desde que u > 0 da´ı, 9− x2 > 0⇔ x2 < 9⇔ −3 < x < 3. Portanto, Df = {x ∈ R : |x| < 3}. b) (Cada limite vale 0,2pt dando o total de 0,4pt) Observe que quando x→ −3+ ou quando x→ 3− enta˜o 9− x2 → 0+ da´ı que lim x→−3+ f(x) = lim x→3− f(x) = −∞. c) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela ana´lise do sinal) derivando temos f ′(x) = 1 2 ( −2x 9− x2 ) = − x 9− x2 . Como para todo x ∈ Df 9 − x2 > 0 temos que f ′ so´ depende do sinal de x, logo se −3 < x < 0 enta˜o f ′ > 0 se 0 < x < 3 enta˜o f ′ < 0. d) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela ana´lise do sinal) f ′′(x) = (−1)× (9− x2)− (−x)(−2x) (9− x2)2 = −9 + x2 − 2x2 (9− x2)2 = − (9 + x2) (9− x2)2 . Portanto, para todo x ∈ Df temos que f ′′(x) < 0. e) (0,3pt) Veja que f(−x) = 1 2 ln(9− (−x)2) = 1 2 ln(9− x2) = f(x). f) (0,8pt) 1 Questa˜o 2 [2,0 pts] O custo, em reais, para a produc¸a˜o de x metros de tecido e´ dado por C(x) = 1200 + 12x− 0, 1x2 + 0, 0005x3 e a companhia descobre que se vender x metros ela podera´ cobrar p(x) = 29− 0, 00021x reais por metro de tecido. Calcule o n´ıvel de produc¸a˜o para maximizar o lucro. Soluc¸a˜o: (1,0pt se montar a func¸a˜o L(x) corretamente e 1,0pt se derivar e encontrar o valor correto de x) Inicialmente vamos determinar a func¸a˜o lucro L(x) e depois encontrar os valores cr´ıticos para x, L(x) = xp(x)−C(x) = x(29−0, 00021x)−(1200+12x−0, 1x2+0, 0005x3) = −0, 0005x3+0, 09979x2+17x−1200 Derivando e igualando a zero obtemos L′(x) = −0, 0015x2 + 0, 19958x+ 17 = 0⇒ x = 1 150 (9979 + √ 354580441) A outra raiz e´ negativa. O que nos da´ aproximadamente x= 192,06, ou seja, o que maximizara´ o lucro sera´ uma produc¸a˜o de 192 metros de tecido. Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es: 2 a) f(t) = 3t− 7 t2 + 5t− 4 b) g(x) = √ x− 1√ x+ 1 c) h(r) = (r2 − 2r)er2 d) l(u) = u lnu+ cu Soluc¸a˜o: a) (0,7pt) f ′(t) = 3(t 2+5t−4)−(3t−7)(27+5) (t2+5t−4)2 = 3t 2+15t−12)−(6t2+15t−14t−35) (t2+5t−4)2 = −3t 2+14t+23 (t2+5t−4)2 b) (0,7pt) g′(x) = 1 2 √ x ×(√x+1)−(√x−1)× 1 2 √ x ( √ x+1)2 = 1 2 + 1 2 √ x −( 1 2 − 1 2 √ x ) x+1+2 √ x = 1√ x( √ x+1)2 c) (0,8pt) h′(r) = (2r − 2)e2r + (r2 − 2r)× 2× e2r = (2r − 2 + 2r2 − 4r)e2r = (2r2 − 2r − 2)e2r = 2(r2 − r − 1)e2r d) (0,8pt) l′(u) = 1×(ln(u)+ c u )−u( 1 u − c u2 ) (ln(u)+ c u )2 = ln(u)+ c u −1+ c u (ln(u)+ c u )2 = ln(u)+ 2c u −1 (ln(u)+ c u )2 Questa˜o 4: [2,0 pts] Encontre o ponto sobre a hipe´rbole y2 − x2 = 4 que esta´ mais pro´ximo do ponto (2, 0) Soluc¸a˜o:(1,0pt se modelar corretamente e encontrar a func¸a˜o d(x) + 1,0pt se minimizar corretamente) Em primeiro lugar vamos escrever y em func¸a˜o de x. Para isto isole y, o que nos da´: y = ±√4 + x2. Em princ´ıpio temos que resolver o problema para os dois ramos. E´ fa´cil de perceber algebricamente que os dois ramos se comportara˜o de maneira semelhante com respeito a distaˆncia ao ponto (2, 0). Vamos admitir por um momento que y = √ 4 + x2. Vamos determinar a func¸a˜o distaˆncia do ponto (x, y(x)) ao ponto (2, 0) que e´ dado por d(x) = ((x, y(x)); (2, 0)) = √ (x− 2)2 + (y(x)− 0)2 = √ x2 − 4x+ 4 + 4 + x2 = √ 2 √ x2 − 2x+ 4 Precisamos minimizar tal func¸a˜o. Para isto derivemos ela e vamos encontrar os seus pontos cr´ıticos. Devido a natureza geome´trica da func¸a˜o d (distaˆncia) sabemos que seus pontos cr´ıticos sera˜o pontos de mı´nimo. d′(x) = √ 2 2x− 2 2 √ x2 − 2x+ 2 = 0⇒ x = 1. Portanto, d(1) = √ 6 e´ a menor distaˆncia e isto acontece para os pontos: (1, √ 5) e (1,−√5). 3
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