5 - Elipse

Prévia do material em texto

Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
 
ELIPSE 
 
 
Elipse é o lugar geométrico de todos os pontos tais que a soma das distâncias a 𝐹1 e 𝐹2 é 
constante e igual a 2𝑎. Onde, 𝑃 = (𝑥, 𝑦) é um ponto qualquer da elipse, 𝐹1, 𝐹2 são os focos da 
elipse, 𝐴1 e 𝐴2 são os vértices da elipse, 𝐵1 e 𝐵2 são os polos da elipse, 𝐶 = (𝑥0, 𝑦0) é o centro 
da elipse, 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é o eixo maior da elipse, 2𝑏 = |𝐵1𝐵2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| é o eixo menor da elipse, e 2𝑓 =
|𝐹1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | é a distância focal da elipse, Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
Na elipse é válida a relação: 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒇𝟐 
 
 
 Equação vetorial de uma elipse é dada por: 𝑬: |𝑭𝟏𝑷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | + |𝑭𝟐𝑷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | = 𝟐𝒂 = |𝑨𝟏𝑨𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | 
 
A equação reduzida de uma elipse 
 
 Equação reduzida de uma elipse com o centro na origem 𝐶 = (0,0) é dada por: 
 
 
Álgebra Linear, Vetores e Geometria Analítica 
 
 5 – Elipse Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 2 
o Elipse com centro na origem e eixo maior contido no eixo 𝑥: 
 
 
𝑬: 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
 
Onde: {
𝐹1 = (𝑓, 0) 𝐹2 = (−𝑓, 0)
𝐴1 = (𝑎, 0) 𝐴2 = (−𝑎, 0)
𝐵1 = (0, 𝑏) 𝐵2 = (0,−𝑏)
 
 
 
 
 
 
 
 
o Elipse com centro na origem e eixo maior contido no eixo 𝑦: 
 
 
𝑬: 
𝒚𝟐
𝒂𝟐
+
𝒙𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
Onde: {
𝐹1 = (0, 𝑓) 𝐹2 = (0, −𝑓)
𝐴1 = (0, 𝑎) 𝐴2 = (0,−𝑎)
𝐵1 = (𝑏, 0) 𝐵2 = (−𝑏, 0)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 3 
Exemplos: 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma elipse 
de focos 𝐹1 = (3,0) e 𝐹2 = (−3,0) e de vértices 𝐴1 = (5,0) e 𝐴2 = (−5,0). 
 
 
Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑥, então a elipse tem centro na 
origem e eixo maior contido no eixo 𝑥. 
 
 
Equação vetorial: 
|𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| + |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−5,0) − (5,0) = (−10,0) 
2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−10)2 + 02 = √100 + 0 = √100 = 10 
 
 
𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (3,0) = (𝑥 − 3, 𝑦) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 
𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (−3,0) = (𝑥 + 3, 𝑦) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 
 
𝐸: |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| + |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2𝑎 ⟹ 𝐸: √(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 3)2 + 𝑦2 = 10 
 
 
Equação reduzida: 
 
 
𝐴1 = (5,0) ⟹ 𝑎 = 5 
 
𝐹1 = (3,0) ⟹ 𝑓 = 3 
 
 
 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑓2 
52 = 𝑏2 + 32 
25 = 𝑏2 + 9 
25 − 9 = 𝑏2 
16 = 𝑏2 
𝑏 = √16 
𝑏 = 4 
 
 
Profª Lilian Brazile 4 
Eixo maior contido no eixo 𝑥: 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹
𝑥2
52
+
𝑦2
42
= 1 
𝐸: 
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma elipse 
de focos 𝐹1 = (0,3) e 𝐹2 = (0, −3) e de vértices 𝐴1 = (0,4) e 𝐴2 = (0,−4). 
 
Como os focos e os vértices se encontram sobre o eixo 𝑦, então a elipse tem centro na 
origem e eixo maior contido no eixo 𝑦. 
 
Equação vetorial: 
 
 
Profª Lilian Brazile 5 
𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0, −4) − (0,4) = (0, −8) 
2𝑎 = |𝐴1𝐴2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √02 + (−8)2 = √0 + 64 = √64 = 8 
𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,3) = (𝑥, 𝑦 − 3) ⟹ |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 
𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥, 𝑦) − (0,−3) = (𝑥, 𝑦 + 3) ⟹ |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 + 3)2 
 
𝐸: |𝐹1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| + |𝐹2𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 2𝑎 ⟹ 𝐸: √𝑥2 + (𝑦 − 3)2 + √𝑥2 + (𝑦 + 3)2 = 8 
 
 
Equação reduzida: 
 
𝐴1 = (0,4) ⟹ 𝑎 = 4 
 
𝐹1 = (0,3) ⟹ 𝑓 = 3 
 
 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑓2 
42 = 𝑏2 + 32 
16 = 𝑏2 + 9 
16 − 9 = 𝑏2 
7 = 𝑏2 
𝑏 = √7 
 
Eixo maior contido no eixo 𝑦: 
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1 
𝑦2
42
+
𝑥2
√7
2 = 1 
𝐸: 
𝑦2
16
+
𝑥2
7
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Lilian Brazile 6 
EXERCÍCIOS 
 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma elipse 
de focos e de vértices dados abaixo: 
 
a) 𝐹1 = (5,0), 𝐹2 = (−5,0), 𝐴1 = (13,0) e 𝐴2 = (−13,0) 
b) 𝐹1 = (0,3), 𝐹2 = (0,−3), 𝐴1 = (0,5) e 𝐴2 = (0, −5) 
c) 𝐹1 = (0,5), 𝐹2 = (0,−5), 𝐴1 = (0,13) e 𝐴2 = (0,13) 
d) 𝐹1 = (3,0), 𝐹2 = (−3,0), 𝐴1 = (4,0) e 𝐴2 = (−4,0)