7 - Parábola

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Profª Lilian Brazile 1 
 
 
 
 
 
PARÁBOLA 
 
 
Parábola é o conjunto de todos os pontos do plano equidistantes da reta 𝑟 e do ponto 𝐹. Onde 
𝑃 = (𝑥, 𝑦) é um ponto qualquer da parábola, 𝐹 é o foco da parábola, 𝑉 = (𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) é o vértice 
da parábola, 𝑟 é a reta diretriz da parábola, e 𝑓 = |𝐹𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗| é a distância focal. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 Equação vetorial de uma parábola é dada por: 𝐶𝑝: |𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 𝑑(𝑃, 𝑟) 
 
 
 
 Equação reduzida de uma parábola de vértice na origem 𝑉 = (0,0) é dada por: 
 
 
 
 
Álgebra Linear, Vetores e Geometria Analítica 
 
 7 – Parábola Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
 
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o Reta diretriz sobre o eixo 𝑥, com Foco acima da reta diretriz ⟹ parábola com 
concavidade para cima: 
 
 
 
 
𝐶𝑝: 𝑥
2 = 4𝑓𝑦 
 
Onde {
𝐹 = (0, 𝑓)
𝑟: 𝑦 = −𝑓
 
 
 
 
 
 
 
o Reta diretriz paralela ao eixo 𝑥, com Foco abaixo da reta diretriz ⟹ parábola 
com concavidade para baixo: 
 
 
𝐶𝑝: 𝑥
2 = −4𝑓𝑦 
 
 
Onde {
𝐹 = (0, −𝑓)
𝑟: 𝑦 = 𝑓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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o Reta diretriz paralela ao eixo 𝑦, com Foco a direita da reta diretriz ⟹ parábola 
com concavidade para direita: 
 
 
𝐶𝑝: 𝑦
2 = 4𝑓𝑥 
 
 
Onde {
𝐹 = (𝑓, 0)
𝑟: 𝑥 = −𝑓
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o Reta diretriz paralela ao eixo 𝑦, com Foco a esquerda da reta diretriz ⟹ 
parábola com concavidade para esquerda: 
 
 
 
𝐶𝑝: 𝑦
2 = −4𝑓𝑥 
 
 
Onde {
𝐹 = (−𝑓, 0)
𝑟: 𝑥 = +𝑓
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma parábola 
de foco 𝐹 = (0,2), de vértice 𝑉 = (0,0) e de reta diretriz 𝑟: 𝑦 + 2 = 0. 
 
A reta diretriz é paralela ao eixo 𝑥 e o foco está acima da reta diretriz ⟹ parábola com 
concavidade para cima 
 
𝐹𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑉 − 𝐹 = (0,0) − (0,2) = (0 − 0,0 − 2) = (0,−2) 
𝑓 = |𝐹𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √02 + (−2)2 = √0 + 4 = √4 = 2 
 
 
Equação vetorial: 
𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝐹 = (𝑥, 𝑦) − (0,2) = (𝑥 − 0, 𝑦 − 2) = (𝑥, 𝑦 − 2) ⟹ |𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 
𝑟: 𝑦 + 2 = 0 ⟹ 𝑦 = −2 ⟹ 𝑅 ∈ 𝑟 ⟹ 𝑅 = (𝑥, −2) 
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝑅 = (𝑥, 𝑦) − (𝑥,−2) = (𝑥 − 𝑥, 𝑦 − (−2)) = (0, 𝑦 + 2) 
𝑑(𝑃, 𝑟) = 𝑑(𝑃, 𝑅) = |𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √02 + (𝑦 + 2)2 = √0 + (𝑦 + 2)2 = √(𝑦 + 2)2 = 𝑦 + 2 
 
𝐶𝑝: |𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 𝑑(𝑃, 𝑟) ⟹ 𝐶𝑝: √𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 𝑦 + 2 
 
 
Equação reduzida: 
𝑓 = 2 
𝑥2 = 4 𝑓 𝑦 
𝑥2 = 4 . 2 . 𝑦 
𝐶𝑝: 𝑥
2 = 8𝑦 
 
 
 
 
 
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2) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma 
parábola de foco 𝐹 = (−4,0), de vértice 𝑉 = (0,0) e de reta diretriz 𝑟: 𝑥 − 4 = 0. 
 
A reta diretriz é paralela ao eixo 𝑦 e o foco está à esquerda da reta diretriz ⟹ parábola 
com concavidade para esquerda. 
 
𝐹𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑉 − 𝐹 = (0,0) − (−4,0) = (0 − (−4), 0 − 0) = (4,0) 
𝑓 = |𝐹𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √42 + 02 = √16 + 0 = √16 = 4 
 
Equação vetorial: 
 
𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝐹 = (𝑥, 𝑦) − (−4,0) = (𝑥 − (−4), 𝑦 − 0) = (𝑥 + 4, 𝑦) 
|𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 + 4)2 + 𝑦2 
 
𝑟: 𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 = 4 ⟹ 𝑅 ∈ 𝑟 ⟹ 𝑅 = (4, 𝑦) 
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝑅 = (𝑥, 𝑦) − (4, 𝑦) = (𝑥 − 4, 𝑦 − 𝑦) = (𝑥 − 4,0) 
𝑑(𝑃, 𝑟) = 𝑑(𝑃, 𝑅) = |𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(𝑥 − 4)2 + 02 = √(𝑥 − 4)2 + 0 = √(𝑥 − 4)2 = 𝑥 − 4 
 
𝐶𝑝: |𝐹𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 𝑑(𝑃, 𝑟) ⟹ 𝐶𝑝: √(𝑥 + 4)2 + 𝑦2 = 𝑥 − 4 
 
6 
 
Equação reduzida: 
 
𝑓 = 4 
𝑦2 = −4 𝑓𝑥 
𝑦2 = −4 . 4 . 𝑥 
𝐶𝑝: 𝑦
2 = −16𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1) Encontre a equação vetorial, a equação reduzida e construa um esboço de uma parábola 
de foco, vértice e reta diretriz abaixo: 
 
a) 𝐹 = (3,0), 𝑉 = (0,0) e 𝑟: 𝑥 + 3 = 0 
b) 𝐹 = (−3,0), 𝑉 = (0,0) e 𝑟: 𝑥 − 3 = 0 
c) 𝐹 = (0,3), 𝑉 = (0,0) e 𝑟: 𝑦 + 3 = 0 
d) 𝐹 = (0,3), 𝑉 = (0,0) e 𝑟: 𝑦 − 3 = 0 
e) 𝐹 = (4,1), 𝑉 = (4,3) e 𝑟: 𝑦 − 5 = 0 
f) 𝐹 = (2,7), 𝑉 = (5,7) e 𝑟: 𝑥 − 8 = 0