Funções Compostas e Inversas

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Aula
FUNC¸O˜ES COMPOSTAS E INVERSAS
1
O b j e t i v o s
Ao final desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
1 entender e trabalhar com o conceito de func¸a˜o
crescente e de func¸a˜o composta;
2 entender os conceitos de func¸a˜o sobrejetiva, in-
jetiva, bijetiva e de func¸a˜o inversa;
3 decidir se uma func¸a˜o possui ou na˜o inversa;
4 resolver problemas envolvendo func¸o˜es inversas
e representar graficamente as soluc¸o˜es.
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Me´todos Determinı´sticos II | Func¸o˜es Compostas e Inversas
Nesta aula, vamos identificar propriedades importantes das
func¸o˜es. Continuamos nosso trabalho considerando func¸o˜es re-
ais de varia´vel real. Ou seja, os domı´nios D = D( f ) das func¸o˜es
f sa˜o sempre subconjuntos de nu´meros reais, isto e´, D⊂ R, en-
quanto que o contradomı´nio e´ constituı´do de todos os nu´meros
reais R. Para iniciar, eis o conceito de func¸a˜o composta.
FUNC¸O˜ES COMPOSTAS
Considere uma func¸a˜o f cujo domı´nio e´ D f e outra func¸a˜o g
cujo domı´nio e´ Dg. Suponha ainda que a imagem de f , Im( f ),
esteja contida no domı´nio de g, isto e´, Im( f )⊂ D. Veja a repre-
sentac¸a˜o da situac¸a˜o no esquema a seguir:
f : D f −→ R , Im( f )⊂ Dg e g : Dg −→ R.
Note que como Im( f ) ⊂ Dg enta˜o para todo nu´mero x ∈ D f ,
f (x) ∈ Dg. Logo e´ permitido aplicar a func¸a˜o g ao nu´mero
f (x), isto e´, calcular o resultado g( f (x)). Assim procedendo,
estaremos associando a cada nu´mero real x ∈ D f um nu´mero
real g( f (x)). Portanto, este esquema permite definir uma nova
func¸a˜o h, a partir das func¸o˜es f e g de partida, pela fo´rmula:
h : D f −→ R,
onde h(x) = g( f (x)).
A nova func¸a˜o h e´ denominada a composta de f com g. Para
facilitar, a notac¸a˜o e o ca´lculo da func¸a˜o composta, vamos con-
siderar x a varia´vel para a func¸a˜o f e y a varia´vel para a func¸a˜o
g. Como Im( f ) ⊂ D f , a imagem da func¸a˜o f esta´ contida no
domı´nio da func¸a˜o g e, enta˜o, y = f (x). Tambe´m representando
por w os elementos que esta˜o na Im(g), podemos escrever que
y = f (x) , w = g(y)⇒ w = h(x) = g( f (x)).
Usamos a notac¸a˜o h = g◦ f para representar a func¸a˜o obtida pela
composic¸a˜o das func¸o˜es f e g. Veja, tambe´m, a Figura 1.1 que
simboliza a composic¸a˜o de func¸o˜es.
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1
( ) ( ( ))
x
f g
R
Im f
D f
Dg
y = f (x) g(y) = g( f (x))
Figura 1.1: A func¸a˜o composta h = g ◦ f .
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�
�
�
Exemplo 1.1
Considere as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
y = f (x) = x−2
w = g(y) = y3 .
a. Encontre a func¸a˜o composta h = g◦ f .
b. Mostre que x = 2 e´ uma das raı´zes da equac¸a˜o h(x) = 0.
Soluc¸a˜o: a. A func¸a˜o composta h = g ◦ f tem como fo´rmula a
expressa˜o
h(x) = g( f (x)) = g(x−2) = (x−2)3 = x3−6x2 + 12x−8 .
b. Usando a fo´rmula da func¸a˜o encontramos que
h(2) = 23−6(2)2 + 12(2)−8 = 8−24+ 24−8 = 0 .
Portanto, x = 2 e´ raiz da equac¸a˜o h(x) = 0.
�
�
�
�
Exemplo 1.2
Sejam as func¸o˜es g : R→ R e f : R→ R definidas por
g(x) =
{
x2 se x≥ 0
x se x < 0 e f (x) = x−3 .
Encontre a expressa˜o que define g◦ f = h.
Soluc¸a˜o: Temos que
h(x) = g( f (x)) = g(x−3) .
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Me´todos Determinı´sticos II | Func¸o˜es Compostas e Inversas
Em virtude da definic¸a˜o de g, precisamos saber quando x− 3 ≥ 0 e
quando x−3 < 0.
Ora
x−3≥ 0⇔ x≥ 3 e x−3 < 0⇔ x < 3 .
Logo,
h(x) =
{
(x−3)2 se x≥ 3
x−3 se x < 3
�
�
�
�
Exemplo 1.3
Sejam as func¸o˜es reais f (x) = 3x+2 e (g◦ f )(x) = x2−x+1.
Determine a expressa˜o de g.
Soluc¸a˜o: Temos que
(g◦ f )(x) = g( f (x)) = g(3x+ 2) = x2− x+ 1 .
Fac¸amos agora
3x+ 2 = y⇒ x = y−2
3
.
Logo,
g(y) =
(
y−2
3
)2
− y−23 + 1
g(y) =
y2−4y+ 4
9 −
y−2
3 + 1
g(y) =
1
9
(
y2−4y+ 4−3(y−2)+ 9)
g(y) =
1
9
(
y2−7y+ 19) .
FUNC¸O˜ES SOBREJETORA, INJETORA E
BIJETORA
Ate´ agora, ao tratar das func¸o˜es, estamos sempre supondo
que o contradomı´nio e´ todo o conjunto R. Neste momento, e´
u´til para explicar os conceitos desta parte do nosso estudo, consi-
derar que o contradomı´nio das func¸o˜es e´ um subconjunto B⊂R.
Uma func¸a˜o f : A→ B e´ sobrejetora se Im( f ) = B. Ou seja,
para todo elemento y ∈ B existe x ∈ A, tal que f (x) = y.
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Uma func¸a˜o g : A → B e´ injetora (ou injetiva) se elementos
diferentes x1 e x2 do domı´nio A da˜o como imagens elementos
g(x1) e g(x2) tambe´m diferentes. Ou seja, vale a propriedade:
x1,x2 ∈ A, x1 6= x2 ⇒ g(x1),g(x2) ∈ Im(g) e g(x1) 6= g(x2) .
Uma func¸a˜o f : A → B, que tem ambas as propriedades injetora
e sobrejetora, e´ dita uma func¸a˜o bijetora.
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Exemplo 1.4
Sejam A = {0,1,2}, B = {1,2,3} e f , g : A→ B como nos
diagramas abaixo.
A func¸a˜o f na˜o e´ injetora, nem sobrejetora. A func¸a˜o g e´
bijetora.
A B
D = A
Im( f ) 6= B
f
0 1
1 2
2 3
A B
D = A
Im(g) = B
g
0 1
1 2
2 3
Figura 1.2: As func¸o˜es f e g.
FUNC¸A˜O INVERSA
Sobre qualquer conjunto na˜o vazio de nu´meros reais A⊂ R,
podemos definir uma func¸a˜o chamada identidade Id : A→ A pela
equac¸a˜o Id(x) = x. A partir da func¸a˜o identidade e do conceito
de composic¸a˜o de func¸o˜es, podemos perguntar sobre a exis-
teˆncia de func¸o˜es inversas. Veja como o problema e´ colocado.
Considere uma func¸a˜o f : A→ B onde A e B sa˜o subconjun-
tos de nu´meros reais. Estamos interessados em encontrar con-
dic¸o˜es para que exista uma func¸a˜o g : B → A que seja a func¸a˜o
inversa de f . Essa nova func¸a˜o deve ter a propriedade que g ◦
f (x) = Id . Veja essa propriedade expressa no seguinte diagrama
de func¸o˜es.
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Me´todos Determinı´sticos II | Func¸o˜es Compostas e Inversas
A f−→ B g−→ A
x 7−→ f (x) 7−→ g( f (x)) = x
Examine o diagrama e verifique que x e´ o ponto de partida e
de chegada. Mas, quais sa˜o as propriedades que devem verificar
uma func¸a˜o f : A → B para garantir a existeˆncia de uma func¸a˜o
inversa, conforme o diagrama anterior?
Vamos dedicar nossa energia para encontrar uma resposta,
em dois tempos.
Primeiramente, afirmamos que a func¸a˜o deve ser injetiva. De
fato, se uma func¸a˜o f na˜o e´ injetiva, enta˜o na˜o existe inversa.
Veja um exemplo, representado no diagrama a seguir, onde
A = {5,6,7} e B = {1,2} .
A func¸a˜o inversa na˜o pode ser definida para o elemento 1, pois
f (5) = f (6) = 1.
A B
f
5 1
2
6
7
Figura 1.3: Temos que f (5) = f (6) = 1.
Em segundo lugar, se a func¸a˜o na˜o e´ sobrejetora, enta˜o na˜o
existe inversa. Veja um exemplo de uma func¸a˜o f na˜o sobreje-
tora, representado no diagrama a seguir, onde
A = {5,6,7} e B = {1,2,3,4} .
A func¸a˜o inversa na˜o pode ser definida em 4 ∈ B.
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1A B
f
5 1
26
7
3
4
Figura 1.4: Na˜o existe x ∈ A tal que f (x) = 4.
Finalmente, para uma func¸a˜o f bijetora esta´ claro, depois da
discussa˜o que fizemos, que existe uma func¸a˜o inversa. Vamos
denotar de agora em diante por f−1 : B → A a func¸a˜o inversa
de f .
Portanto, uma func¸a˜o f : A→ B possui a func¸a˜o inversa f−1
se e somente se f e´ bijetora.
Ale´m disso, a func¸a˜o inversa f−1 : B → A tem as seguintes
propriedades:(i) f−1 e´ uma func¸a˜o bijetora de B em A.
(ii) D( f−1)= Im( f ) = B.
(iii) Im( f−1)= D( f ) = A.
A relac¸a˜o entre os pares ordenados que compo˜em os gra´ficos
de f e f−1, os quais sa˜o denotados por G( f ) e G( f−1), pode ser
expressa simbolicamente por
(x,y) ∈G( f ) ⇔ (y,x) ∈ G( f−1)
ou
y = f (x) ⇔ x = f−1(y) .
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Exemplo 1.5
As func¸o˜es f : R−{0} → R−{0} e f (x) = 1
x
e´ tal que
f = f−1. Veja as contas para comprovar:
( f−1 ◦ f )(x) = f−1( f (x))= f−1(1
x
)
= x⇒ f−1(x) = 1
x
.
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Exemplo 1.6
Qual a func¸a˜o inversa da func¸a˜o bijetora f : R→ R definida
por f (x) = 3x+2?
Soluc¸a˜o: Se y = f (x) enta˜o f−1(y) = x.
Partindo de y = f (x), y = 3x+ 2, procuramos isolar x.
y = 3x+ 2⇒ x = y−23 .
Logo,
f−1(y) = x = y−2
3
.
� Como a varia´vel independente pode indiferentemente ser
trocada tambe´m, podemos escrever, para a func¸a˜o inversa
f−1 do exemplo anterior, que
f−1(x) = x−2
3
.
�
�
�
�
Exemplo 1.7
Qual e´ a func¸a˜o inversa da func¸a˜o bijetora em f : R→ R
definida por f (x) = x3?
Soluc¸a˜o: Temos que
y = f (x) = x3,
logo,
x = 3
√
y .
Portanto
f−1(y) = x = 3√y.
Ou seja,
f−1(x) = 3√x.
�
�
�
�
Exemplo 1.8
Um exemplo interessante e´ o da func¸a˜o identidade.
I : R→ R, I(x) = x. Isto e´, se escrevermos y = I(x), temos que
y = x. A representac¸a˜o gra´fica desta func¸a˜o resulta na bissetriz
do primeiro quadrante. Veja a figura a seguir.
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x
y
y = x
2
2
Figura 1.5: A func¸a˜o I(x) = x.
´E claro que I−1 = I, isto e´, a func¸a˜o identidade e sua inversa
coincidem.
OS GRA´FICOS DE UMA FUNC¸A˜O E SUA
INVERSA
Um exame do gra´fico a seguir nos leva a` conclusa˜o que os
pontos (x,y) e (y,x) do plano, abaixo representados, sa˜o sime´tricos
com relac¸a˜o a` reta y = x.
x
x
y
y
(x,y)
(y,x)
y = x
Figura 1.6: Simetria dos pontos (x,y) e (y,x).
Lembrando a relac¸a˜o
(x,y) ∈ f ⇔ (y,x) ∈ f−1
podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma
func¸a˜o e sua inversa sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o a` reta y = x. Isto
e´, os gra´ficos que representam f e f−1 sa˜o sime´tricos em relac¸a˜o
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a` reta bissetriz do 1o e 4o quadrante. Veja um exemplo deste fato
a seguir.
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�
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Exemplo 1.9
Considere a func¸a˜o f e sua inversa f−1 definidas por
f : (0,+∞) −→ (0,+∞)
x 7−→ f (x) = x2 e
f−1 : (0,+∞) −→ (0,+∞)
x 7−→ f−1(x) =√x .
Observe a propriedade de simetria dos gra´ficos a seguir.
x
y
y =
√
x
y = x
y = x2
1
1
Figura 1.7: Gra´ficos de func¸o˜es inversas.
FUNC¸O˜ES MONO´TONAS
Dentre as func¸o˜es que sa˜o injetivas destacam-se as func¸o˜es
crescentes, decrescentes e similares. Acompanhe a formulac¸a˜o
destes conceitos.
Considere uma func¸a˜o f : A→ B onde A e B sa˜o subconjun-
tos de nu´meros reais. Enta˜o, a func¸a˜o e´ dita:
• crescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) ;
• decrescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) ;
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• na˜o-crescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)≥ f (x2) ;
• na˜o-decrescente se
para todo x1 , x2 ∈ A , x1 < x2 ⇒ f (x1)≤ f (x2) ;
Veja, nas Figuras 1.8 e 1.9, representac¸o˜es gra´ficas de func¸o˜es
com as propriedades que veˆm de serem conceituadas.
x
y = f (x)
x
y = f (x)
Figura 1.8: Func¸a˜o f crescente e decrescente.
x
y = f (x)
x
y = f (x)
Figura 1.9: Func¸a˜o f na˜o-crescente e na˜o-decrescente.
�
�
�
�
Exemplo 1.10
A func¸a˜o f : (0,∞)→ (0,∞), f (x) = x2 e´ crescente. Veja a
justificativa.
Suponha dois nu´meros reais a e b positivos, devemos mos-
trar que se
a < b⇒ f (a) < f (b)⇔ a2 < b2 .
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Para comprovar, acompanhe as contas:
a2 < b2 ⇔ a2−b2 < 0⇔ (a−b) · (a+b)< 0 (1.1)
Como os nu´meros sa˜o positivos, enta˜o (a + b) > 0. Tambe´m,
como a < b, enta˜o a− b < 0. Logo, (a− b) · (a + b) < 0. Isto
mostra que (1.1) e´ verdadeiro e que, portanto, a2 < b2 e´ verda-
deiro. Portanto, a func¸a˜o e´ crescente. Veja o gra´fico da func¸a˜o
representado na Figura 1.10.
x
y = x2
2
4
9
3
Figura 1.10: Gra´fico de uma func¸a˜o crescente.
�
�
�
�
Exemplo 1.11
Considere a func¸a˜o h : R→ R, onde
h(x) =


2 se x≤−2
−x se −2 < x≤ 0
x2 se x > 0
Enta˜o f e´ constante no intervalo (−∞,2], decrescente no inter-
valo (−2,0] e crescente no intervalo (0,+∞). Examine estas
propriedades no gra´fico da func¸a˜o apresentado na Figura 1.11.
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x
h(x)
−2
2
Figura 1.11: Gra´fico da func¸a˜o h(x).
Exercı´cio 1.1
1. Examine, nos intervalos (−∞,2], (−2,2] e (2,+∞), o com-
portamento da func¸a˜o g : R→R, onde
g(x) =


−x2 se x≤−2
−4 se −2 < x≤ 2
−x−2 se x > 2
2. Dados f (x) = x2−1, g(x) = 2x, determine:
a) f ◦g(x) b) f ◦ f (x) c) g◦ f (x) d) g◦g(x).
3. Sendo f a func¸a˜o real definida por f (x) = x2−6x+8, para
todos os valores x > 3. Construa o gra´fico de f , conclua
que existe a inversa f−1 e determine o valor de f−1(3).
4. A func¸a˜o inversa da func¸a˜o bijetora f : R− {−4} →
R−{2} definida por f (x) = 2x−3
x+4
e´:
a) f−1(x) = x+4
2x+3
d) f−1(x) = 4x+3
x−2
b) f−1(x) = x−4
2x−3 e) f
−1(x) =
4x+3
x+2
c) f−1(x) = 4x+3
2− x
5. Dada a func¸a˜o real de varia´vel real f , definida por
f (x) = x+1
x−1, x 6= 1:
a) determine ( f ◦ f )(x)
b) escreva uma expressa˜o para f−1(x)
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Me´todos Determinı´sticos II | Func¸o˜es Compostas e Inversas
6. Suponha que f : R→R e´ da forma f (x) = ax+b e verifica
f [ f (x)] = x+1. Calcule a e b.
7. Seja a func¸a˜o f tal que f : (R − {−2}) → R, onde
f (x) = x−2
x+2
. Encontre o nu´mero real x que satisfaz
f ( f (x)) =−1.
8. Sendo f (x−1) = 2x+3 uma func¸a˜o de R em R, a func¸a˜o
inversa f−1(x) e´ igual a:
a) (3x+1) ·2−1 d) x−3
2
b) (x−5) ·2−1 e) (x+3) ·2−1
c) 2x+2
9. Seja f : (0,+∞)→ (0,+∞) a func¸a˜o dada por f (x) = 1
x2
e f−1 a func¸a˜o inversa de f . Calcule o valor de f−1(4).
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