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Análise Combinatória Questão 1/10 - Análise Combinatória Assinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra PRÁTICO que iniciam com R e terminam com I. Nota: 10.0 A 24 B 60 C 120 Você acertou! Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 5!=1205!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I. D 360 E 720 Questão 2/10 - Análise Combinatória Os 45 funcionários de uma empresa multinacional falam inglês ou espanhol. Sabe-se que 40 funcionários sabem falar inglês e 25 sabem falar inglês e espanhol. Escolhendo-se aleatoriamente um funcionário, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e espanhol é 15.15. II. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol 13.13. III. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 1919. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V, V, V B V, F, V C V, V, F D V, F, F E F, V, V Você acertou! Dos 45 funcionários, 25 destes falam inglês e espanhol. Assim, a probabilidade do funcionário escolhido falar os dois idiomas é 2545=59.2545=59. Logo, a afirmativa I é falsa. Ao todo, 40−25=1540−25 =15 funcionários falam inglês e não falam espanhol. Logo, a probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol é 1545=131545=13. Com isso, a afirmativa II é verdadeira. Notamos que 45−40=545−40=5 funcionários sabem falar espanhol e não sabem falar inglês. Daí, a probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 545=19545=19 e a afirmativa III é verdadeira. Questão 3/10 - Análise Combinatória Em um grupo formado por 10 professores, dos quais figuram Denise, Eduardo, Otto e Zaudir, considera-se comissões formadas por 5 professores. Com base nisso, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) Ao todo, é possível formar 252 comissões. II. ( ) Sem a presença do professor Otto, é possível formar exatamente 126 comissões. III. ( ) Ao todo, é possível formar 70 comissões com a presença do professor Eduardo e sem a presença do professor Zaudir. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V – V – V Você acertou! O número de modos de escolher 5 professores num grupo formado por 10 é C10,5=10!5!(10−5)!= 252.C10,5=10!5!(10−5)!=252. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Sem a presença do professor Otto, devemos escolher 5 professores num total de 9. Isso pode ser feito de C9,5=126C9,5=126 maneiras e a afirmativa II é verdadeira. Como Eduardo estará na comissão e Zaudir não, restam oito pessoas para 4 vagas, ou seja, C8,4=8!4!(8−4)!=70C8,4=8!4!(8−4)!=70 comissões possíveis. Portanto, a afirmativa III é verdadeira. B V – F – V C V – V – F D V – F – F E F – V – V Questão 4/10 - Análise Combinatória Em uma urna há 72 bolas idênticas, mas com cores diferentes. Há bolas brancas, vermelhas e pretas. Ao sortearmos uma bola da urna, a probabilidade dela ser branca é 1414 e a probabilidade dela ser vermelha é 1313. Com base nisso, analise as afirmativas: I. O número de bolas brancas é 18. II. O número de bolas vermelhas é 22. III. A probabilidade de sorteamos uma bola preta é 512512. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. Você acertou! Como a probabilidade de sortearmos uma bola branca é 1414 num universo de 72 bolas, concluímos que o número de bolas brancas na urna é 72×14=1872×14=18. Com isso, a afirmativa I é correta. Com o mesmo raciocínio, o número de bolas vermelhas é 72×13=2472×13=24. Daí, a afirmativa II é incorreta. Notamos que o número de bolas pretas é 72−18−24=3072−18−24=30. Desse modo, a probabilidade de retirarmos uma bola preta é 3072=5123072=512, a qual garante que a afirmativa III é correta. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 5/10 - Análise Combinatória Eduardo tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma preta de mangas longas, uma azul, uma cinza e uma branca, e quatro calças: uma preta, uma azul, uma verde e uma marrom. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras que ele pode se vestir com uma camisa e uma calça de cores diferentes. Nota: 10.0 A 12 B 15 C 17 Você acertou! Eduardo tem 5 possibilidades de escolha de camisas e 4 de calças. Assim, sem levar em conta as cores, existem 5×4=205×4=20 modos de se vestir. Destes, devemos descontar os casos em que se repetem as cores de calça e camisa, que são apenas 3: camisa preta de mangas curtas com calça preta, camisa preta de mangas longas com calça preta e camisa azul com calça azul. Logo, teremos 20−3=1720−3 =17 maneiras de Eduardo vestir uma camisa e uma calça de cores diferentes. D 18 E 20 Questão 6/10 - Análise Combinatória Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1 331 Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. I. ( ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22). II. ( ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. III. ( ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V – V – V Você acertou! A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira. B V – F – V C V – V – F D V – F – F E F – V – V Questão 7/10 - Análise Combinatória Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento do binômio (3x+2)3.(3x+2)3. Nota: 0.0 A 18 B 27 C 36 D 54 O termo geral do desenvolvimento do binômio (3x+2)3(3x+2)3 é dado por Tp+1=(3p)2p(3x)3−p= (3p)2p33−px3−p.Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p. Como estamos interessados no coeficiente de x2x2, devemos impor que 3−p=23−p=2, isto é, p=1p=1. Portanto, este coeficiente vale (31)2⋅32=54.(31)2⋅32=54. E 63 Questão 8/10 - Análise Combinatória Considere AA o conjunto formado por todos os números naturais de 3 algarismos, isto é, A={100,101,…,999}A={100,101,…,999}. Com base neste conjunto, analise as afirmativas: I. Há 1000 números no conjunto AA. II. O conjunto AA possui exatamente 648 números com os três algarismos distintos. III. O conjunto AA possui exatamente 450 números pares. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Você acertou! No conjunto AA, temos 900 números. Isso porque o algarismo da centena não permite o algarismo0. Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×10×10=9009×10×10=900 números e a afirmativa I é incorreta. Para a afirmativa II, existem 9 modos de escolhermos o algarismo da centena (o algarismo 0 não é permitido), 9 modos de escolhermos o algarismo da dezena (não podemos utilizar o algarismo usado na centena) e para a unidade existem 8 modos. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×9×8=6489×9×8=648 números com os três algarismos distintos. Com isso, a afirmativa II é correta. Passamos para a afirmativa III: existem 5 modos de escolhermos o algarismo da unidade: 0, 2, 4, 6 e 8. Já para a centena, temos 9 modos (o algarismo 0 não é permitido) e para a dezena há 10 modos. Logo, teremos 9×10×5=4509×10×5=450 números pares em AA e a afirmativa III é correta. Questão 9/10 - Análise Combinatória O jogo da Mega-Sena contém 60 números (cada um chamado de dezena), que são 01,02,03,...,59,60.01,02,03,...,59,60. O resultado de um sorteio é composto de 6 dezenas, sorteadas entre as 60 dezenas. Com base neste jogo, analise as afirmativas: I. Ao todo, existem 606606 resultados possíveis. II. O número de resultados possíveis contendo o número 7 é C59,5C59,5. III. O número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares é C60,4×C60,2C60,4×C60,2. São corretas as afirmativas: Nota: 0.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. O número de resultados possíveis é dado por C60,6≠606C60,6≠606. Logo, a afirmativa I é incorreta. Para que o número 7 figure em um resultado possível, devemos escolher 5 dezenas num conjunto de 59 dezenas. Isso pode ser feito de C59,5C59,5 maneiras. Assim, a afirmativa II é correta. Ao todo, temos 30 números pares e 30 números ímpares. Com isso, o número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares é C30,4×C30,2C30,4×C30,2, o que mostra que a afirmativa III é incorreta. E II e III, apenas. Questão 10/10 - Análise Combinatória Em um grupo de 14 pessoas, existem 5 médicos, 6 advogados e 3 engenheiros. Assinale a alternativa que apresenta o número exato de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas, cada qual constituída de 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros. Nota: 10.0 A 360 B 450 Você acertou! O número total de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas considerando 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros é dado por C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450.C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450. C 640 D 720 E 810
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