geo_analit_circun_coni

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
O que você deve saber sobre
As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar geométrico plano dos pontos que estão à mesma distância r de C.
Equação reduzida da circunferência 
Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC), chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência  devem atender à equação:
Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras a todos os pontos da circunferência.
I. Circunferência
Equação geral
Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se:
com a, b e c constantes reais.
Posição relativa entre um ponto e uma circunferência
A posição relativa entre um ponto P e uma circunferência  é dada pela comparação entre a distância d, de P ao centro da circunferência, e seu raio r.
I. Circunferência
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
x2 + y2  2xCx  2yCy + xC2 + yC2  r2 = 

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
A posição relativa entre uma reta s e uma circunferência  é dada pela comparação entre a distância d da reta ao centro da circunferência e seu raio r.
Posição relativa entre duas circunferências
As posições relativas entre duas circunferências, 1 e 2, são dadas pela comparação entre seus raios r1 e r2, respectivamente, e a distância d entre seus centros.
I. Circunferência
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
I. Circunferência
Posição relativa entre duas circunferências
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Dados dois pontos F1 e F2 (focos), é o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos focos é constante e maior que a distância entre os focos.
Elementos
• Focos: os pontos F1 e F2
• Eixo maior: o segmento A1A2, que passa pelos focos (A1A2 = 2a)
• Centro: o ponto O, médio de A1A2
• Eixo menor: o segmento B1B2, perpendicular a A1A2, 
que passa por O (B1B2 = 2b).
• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos
II. Elipse
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Equação
• Elipse com eixo maior na horizontal (a > b):
• Elipse com eixo maior na vertical (a < b):
Excentricidade
A razão e = (com c  a). 
 
Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada.
II. Elipse
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
a
c
Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano dos pontos que equidistam de r e F.
Elementos
• Foco: o ponto F
• Diretriz: a reta r
• Eixo de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco
• Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria
• Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz, i.e, p = FD
III. Parábola
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Equação
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis x e y, xV e yV.
• Forma geral: 
• Pelas coordenadas do vértice: 
• Equação reduzida
 concavidade para cima: 
 concavidade para baixo:
• Parábola com diretriz na vertical:
III. Parábola
Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e menor que F1F2.
Elementos
• Focos: os pontos F1 e F2
• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos
• Vértices: os pontos A1 e A2, intersecções de F1F2 com a hipérbole
• Centro: o ponto médio O de A1A2
• Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a)
• Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b)
IV. Hipérbole
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
Equação reduzida
Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por:
r1: bx - ay = 0
r2: bx + ay = 0
IV. Hipérbole
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
• Eixo geral horizontal: 
• Eixo real na vertical:
Excentricidade
	
É a razão e = (com c > a). 
 		
À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:
IV. Hipérbole
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
(UEG-GO) 
Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação 
4x + 3y = 12.
1
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
(UFG-GO) 
Dadas as circunferências de equações x2 + y2 - 4y = 0 e x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas:
a) esboce os seus gráficos;
b) determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas tangentes comuns às circunferências.
(UFPB) 
Nos focos da elipse que contorna uma praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos A(2, 80) e B(2, -80). Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto C(2, -100). 
Nesse contexto, a equação da elipse é:
8
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
a)
b)
c)
d)
e)
(UFPB) 
Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo ABCD, onde A = (-20, -10) e C = (20, 10).
Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de uma hipérbole de focos F1 = (6 , 0) e F2 = (-6 , 0). O círculo central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.
Nesse contexto, identifique as proposições verdadeiras.
9
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
01. A distância entre o centro do círculo e um vértice da
hipérbole é de 12 m.
02. A quadra tem 800 m2 de área.
04. A equação da hipérbole é 
08. A excentricidade da hipérbole é igual a 
16. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento igual a 4 vezes o raio do círculo.
x2
y2
.
(ITA-SP) Sabendo que 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.
1
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
11
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
(UnB-DF) O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor iguais a 540 . 107 km e 140 . 107 km, respectivamente. 
Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor
em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em quilômetros. 
Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
1
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
14
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS  NO VESTIBULAR
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*