AD2_metodos deterministicos_II_2015_1_Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito – AD2 – Me´todos Determin´ısticos II – 06/04/2015
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = 12 ln(9− x2)
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Calcule os seguintes limites: lim
x→−3+
f(x), lim
x→3−
f(x);
(c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
(e) Mostre que f(−x) = f(x)
(f) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: a) (0,5pt) Inicialmente observe que ln(u) esta bem definido desde que u > 0 da´ı,
9− x2 > 0⇔ x2 < 9⇔ −3 < x < 3.
Portanto, Df = {x ∈ R : |x| < 3}.
b) (Cada limite vale 0,2pt dando o total de 0,4pt) Observe que quando x→ −3+ ou quando x→ 3−
enta˜o 9− x2 → 0+ da´ı que
lim
x→−3+
f(x) = lim
x→3−
f(x) = −∞.
c) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela ana´lise do sinal) derivando temos
f ′(x) =
1
2
( −2x
9− x2
)
= − x
9− x2 .
Como para todo x ∈ Df 9 − x2 > 0 temos que f ′ so´ depende do sinal de x, logo se −3 < x < 0
enta˜o f ′ > 0 se 0 < x < 3 enta˜o f ′ < 0.
d) (0,3pt pela derivada+0,2pt pela ana´lise do sinal)
f ′′(x) =
(−1)× (9− x2)− (−x)(−2x)
(9− x2)2 =
−9 + x2 − 2x2
(9− x2)2 = −
(9 + x2)
(9− x2)2 .
Portanto, para todo x ∈ Df temos que f ′′(x) < 0.
e) (0,3pt) Veja que
f(−x) = 1
2
ln(9− (−x)2) = 1
2
ln(9− x2) = f(x).
f) (0,8pt)
1
Questa˜o 2 [2,0 pts] O custo, em reais, para a produc¸a˜o de x metros de tecido e´ dado por
C(x) = 1200 + 12x− 0, 1x2 + 0, 0005x3
e a companhia descobre que se vender x metros ela podera´ cobrar
p(x) = 29− 0, 00021x
reais por metro de tecido. Calcule o n´ıvel de produc¸a˜o para maximizar o lucro.
Soluc¸a˜o: (1,0pt se montar a func¸a˜o L(x) corretamente e 1,0pt se derivar e encontrar o valor correto
de x) Inicialmente vamos determinar a func¸a˜o lucro L(x) e depois encontrar os valores cr´ıticos para x,
L(x) = xp(x)−C(x) = x(29−0, 00021x)−(1200+12x−0, 1x2+0, 0005x3) = −0, 0005x3+0, 09979x2+17x−1200
Derivando e igualando a zero obtemos
L′(x) = −0, 0015x2 + 0, 19958x+ 17 = 0⇒ x = 1
150
(9979 +
√
354580441)
A outra raiz e´ negativa. O que nos da´ aproximadamente x= 192,06, ou seja, o que maximizara´ o lucro
sera´ uma produc¸a˜o de 192 metros de tecido.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
2
a) f(t) =
3t− 7
t2 + 5t− 4 b) g(x) =
√
x− 1√
x+ 1
c) h(r) = (r2 − 2r)er2 d) l(u) = u
lnu+ cu
Soluc¸a˜o: a) (0,7pt)
f ′(t) = 3(t
2+5t−4)−(3t−7)(27+5)
(t2+5t−4)2
= 3t
2+15t−12)−(6t2+15t−14t−35)
(t2+5t−4)2
= −3t
2+14t+23
(t2+5t−4)2
b) (0,7pt)
g′(x) =
1
2
√
x
×(√x+1)−(√x−1)× 1
2
√
x
(
√
x+1)2
=
1
2
+ 1
2
√
x
−( 1
2
− 1
2
√
x
)
x+1+2
√
x
= 1√
x(
√
x+1)2
c) (0,8pt)
h′(r) = (2r − 2)e2r + (r2 − 2r)× 2× e2r
= (2r − 2 + 2r2 − 4r)e2r
= (2r2 − 2r − 2)e2r = 2(r2 − r − 1)e2r
d) (0,8pt)
l′(u) =
1×(ln(u)+ c
u
)−u( 1
u
− c
u2
)
(ln(u)+ c
u
)2
=
ln(u)+ c
u
−1+ c
u
(ln(u)+ c
u
)2
=
ln(u)+ 2c
u
−1
(ln(u)+ c
u
)2
Questa˜o 4: [2,0 pts] Encontre o ponto sobre a hipe´rbole y2 − x2 = 4 que esta´ mais pro´ximo do
ponto (2, 0)
Soluc¸a˜o:(1,0pt se modelar corretamente e encontrar a func¸a˜o d(x) + 1,0pt se minimizar corretamente)
Em primeiro lugar vamos escrever y em func¸a˜o de x. Para isto isole y, o que nos da´: y = ±√4 + x2.
Em princ´ıpio temos que resolver o problema para os dois ramos. E´ fa´cil de perceber algebricamente
que os dois ramos se comportara˜o de maneira semelhante com respeito a distaˆncia ao ponto (2, 0).
Vamos admitir por um momento que y =
√
4 + x2. Vamos determinar a func¸a˜o distaˆncia do ponto
(x, y(x)) ao ponto (2, 0) que e´ dado por
d(x) = ((x, y(x)); (2, 0)) =
√
(x− 2)2 + (y(x)− 0)2 =
√
x2 − 4x+ 4 + 4 + x2 =
√
2
√
x2 − 2x+ 4
Precisamos minimizar tal func¸a˜o. Para isto derivemos ela e vamos encontrar os seus pontos cr´ıticos.
Devido a natureza geome´trica da func¸a˜o d (distaˆncia) sabemos que seus pontos cr´ıticos sera˜o pontos
de mı´nimo.
d′(x) =
√
2
2x− 2
2
√
x2 − 2x+ 2 = 0⇒ x = 1.
Portanto, d(1) =
√
6 e´ a menor distaˆncia e isto acontece para os pontos: (1,
√
5) e (1,−√5).
3