2 Sistema de coordenadas representacoes pontos Distancia entre pontos

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PROF: Paulo Henrique 
Escola de Ciências e Tecnologia 
UNIDADE 01 
02 – SISTEMA DE COORDENADAS E 
REPRESENTAÇÃO DE VETORES 
DISCIPLINA: VGA. 
2016.1 
PROGRAMAÇÃO 
• Sistemas de coordenadas 
 
• Representação de pontos 
 
• Distância entre pontos 
 
• Regiões do Plano xy e do Plano xyz (espaço) 
INTRODUÇÃO 
• Para realizarmos operações envolvendo vetores, 
temos que aprender a localizá-los em um sistema 
de coordenadas. 
• Existem vários sistemas de coordenadas: 
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS 
COORDENADAS 
ESFÉRICAS 
COORDENADAS 
CARTESIANAS 
NO PLANO 
R² 
COORDENADAS 
CARTESIANAS 
NO ESPAÇO 
R³ 
x
A 
SISTEMA COORDENADAS CARTESIANAS 
• Iremos utilizar o sistema de coordenadas 
cartesianas. 
 
• É formado por retas perpendiculares que se 
intersectam no ponto O, chamado origem. 
 
• O número de eixos é igual a dimensão do nosso 
sistema e é dado por um produto cartesiano: 
 
R x ... x R x R x RnR
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 
 Se: 
• n=1, R¹ → é um sistema de coordenadas na reta real 
• n=2, R x R = R² → é um sistema de coordenadas no 
plano representados por números reais 
• n=3, R x R x R = R³ → é um sistema de coordenadas no 
espaço representados por números reais. 
 
 Primeiro estudaremos o plano(R²) depois o espaço 
(R³). 
PLANO – R² 
• As retas, ditas eixos coordenados, serão designadas 
como: 
• Eixo dos x, ou das abscissas, com sentido 
positivo/crescente da esquerda para 
direita. 
• Eixo dos y, ou ordenadas, com sentido 
positivo/crescente de baixo para cima. 
• Cada eixo tem uma escala (iguais) associando cada 
ponto a um par de números reais (x,y). 
 
• Como podemos observar, R² é dividido em 4 
quadrantes 
PLANO – R² 
PLANO – R² 
• Para localizar um ponto em R², vamos fixar um 
ponto A. 
→ Ao ponto A no plano será associado um par de 
números reais (xA, yA). 
xA é a abscissa de A 
yA é a ordenada de A 
 
x
A 
PLANO – R² 
Alguns pontos 
no plano: 
 
Exemplo 1 
Represente no plano: 
a) Todos os pontos com abscissa igual a 1. 
 
Exemplo 1 
Represente no plano: 
b) Todos os pontos em que x=y. 
 
Exemplo 1 
Represente no plano: 
c) Todos os pontos que distam 1 u.c. do ponto 
P=(-2,1). 
 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL – R³ 
• É formado por retas perpendiculares 2 a 2 que se 
intersectam no ponto O=(0,0,0), chamado origem. 
• Eixo dos x e dos y varrem um plano horizontal, chamado 
de Plano xy. 
• Eixo dos z, ou cotas, é ortogonal ao plano xy. 
• R³ é dividido em 8 octantes. O 1º octante têm as três 
coordenadas positivas 
• Não há uma numeração padrão. A ordem é arbitrária. 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL – R³ 
• Planos Coordenados 
 
 
 
 
 
 
• Sempre que 𝑧 = 0, “estaremos” no Plano xy! 
ESPAÇO TRIDIMENSIONAL – R³ 
ESPAÇO R³ 
• Para localizar um ponto em R³, vamos fixar um ponto A. 
• A cada ponto A do plano será associado um terno 
ordenado de números reais (xA,yA,zA). 
xA é a abscissa de A 
yA é a ordenada de A 
zA é a cota de A 
• Ponto A com 
Coordenadas positivas 
 
ESPAÇO R³ 
• ILUSTRAÇÕES DE R³ 
• Planos Coordenados 
Plano xy 
Exemplo 2 
Representar os seguintes pontos no 
espaço: 
A=(5,5,6) 
 
Exemplo 2 
B=(0,5,6) 
 
Exemplo 2 
C=(2,-3,6) 
 
Exemplo 2 
D=(-2,4,6) 
 
Exemplo 2 
E=(4,0,6) 
 
Exemplo 2 
F=(-3,-4,6) 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTOS 
• Em ℝ (reta real): 
Sejam dois pontos A=(xA) e B=(xB) em uma reta; xA e xB são 
números reais. 
• A distância entre A e B é dada por: 
 
 
• Por exemplo: 
• Qual a distância entre -1 e 5 na reta real? 
ab xxABBAd ),(
DISTÂNCIA ENTRE PONTOS 
• Em ℝ2(Plano xy) 
• Dados os pontos: 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = 𝑥𝐵, 𝑦𝐵 . 
 
 
 
 
• A distância entre A e B é dada por: 
 
 
 
   22
222
),(
),(
ABAB
ABAB
yyxxBAd
yyxxBAd


DISTÂNCIA ENTRE PONTOS 
• Em ℝ3(Espaço ou Plano xyz) 
• Tem o mesmo formato, mas com um terceiro termo para 
acomodar a dimensão adicional: eixo z. 
• Assim, dados A=(xA, yA, zA) e B=(xB, yB, zB), dois pontos em 
R³, a distância entre A e B será dada por: 
 
 
     222
2222
),(
),(
ABABAB
ABABAB
zzyyxxBAd
zzyyxxBAd


DISTÂNCIA ENTRE PONTOS 
• Exemplo 3 
Dados os pontos: 
A=(3,-2,-3), B=(7,0,1), C=(1,2,1), D=(2,-1,0), E=(4,1,1) e 
F=(4,-5,4). 
a) Encontre os comprimentos dos lados dos triângulos ABC 
e DEF. 
b) Qual dos triângulos é ISOSCÉLES? E qual deles é 
RETÂNGULO? 
 
 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Na Geometria Analítica Bidimensional o gráfico de uma 
equação envolvendo x e y é uma curva em R2. 
• Na Geometria Analítica Tridimensional, uma equação em 
x,y e z representa uma superfície em R3. 
 
• Quando é dada uma equação, precisamos descobrir a partir do 
contexto se ela representa uma curva em R2 ou uma superfície 
em R3. 
 
REGIÕES NO ESPAÇO 
y 
x 
2 -2 
-2 
2 
Um cone em 𝑅3 
O cone é um disco quando projetado no plano xy (R2). 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Exemplo 4 
Que superfícies em R3 estão representadas pelas seguintes 
equações: 
a) y=5 
b) z=3 
 
 
 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Definição: 
Dados dois pontos P e C em R3. A esfera é um conjunto de 
todos os pontos P=(x,y,z) cuja distância ao ponto C é r. r é 
chamado de raio da esfera. 
 
 
• Exemplo 5 
Encontre a equação da esfera de raio r com centro C=(h,k,l). 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Definição: 
Esfera (casca) centrada na origem 
(0,0,0) de raio 3. 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Exemplo 6 
a) Encontre a equação da esfera com centro 𝐶 = 1, −4,3 e raio 5 𝑐𝑚. 
b) Se a esfera intersectar o plano xz, quala equação que resultará? 
c) Qual a figura geométrica a equação encontrada em b), representa? 
 
x 
z 
y x 
z 
y 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Exemplo 7 
Que região do R3 é representada pelas seguintes inequações? 
1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4 , 𝑧 ≤ 0 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Exemplo 8 – Ilustrações 
 
REGIÕES NO ESPAÇO 
• Exemplo 8 – Ilustrações 
• Todas as superfícies são discos 
(circunferência com preenchimento 
interno) quando projetadas no 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑦 𝑧 = 0 . 
 
• Esses exemplos mostram que sempre 
devemos conhecer a equação da 
superfície para sabermos a sua forma, 
ou seja a equação que tem relaciona as 
variáveis x, y e z. 
 
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