Cálculo Diferencial E Integral (44)

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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 14 - Circunferência
Amintas Paiva Afonso
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Amintas Paiva Afonso
amintas@matematiques.com.br
CIRCUNFERÊNCIA
TEORIA
PROPRIEDADES – PROBLEMAS RESOLVIDOS
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CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de um conjunto de infinitos pontos que equidistam de um ponto situado no centro.
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ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
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PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
01- Raio traçado ao ponto de tangência é perpendicular à reta tangente.
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02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda 
 bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).
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03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes entre as paralelas. 
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04- A cordas congruentes em uma mesma circunferência
 lhes correspondem arcos congruentes.
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POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS 
 CIRCUNFERÊNCIAS
01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.
 d = Zero; d: distancia
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02- CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum.
d > R + r
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 d = R + r 
03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um ponto comum que é a de tangência.
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d = R - r
04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um ponto en comum que é a de tangência.
d: Distância entre os centros
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05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comuns
 que são as intersecções.
( R – r ) < d < ( R + r )
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06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são perpendiculares no ponto de intersecção.
d2 = R2 + r2
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06- CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns.
d < R - r
d: Distância entre os centros
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1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode traçar dois raios tangentes que determinam dois seguimentos congruentes. 
PROPRIEDADES DAS TANGENTES
AP = PB
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2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes
AB = CD
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3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.
AB = CD
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TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma das comprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais o dobro do raio.
 a + b = c + 2r
 a + b = 2 ( R + r )
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TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos são iguais.
 a + c = b + d
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1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida do arco que se opõe.
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2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à semisoma das medidas dos arcos opostos
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3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do arco oposto.
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4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do arco oposto.
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6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:
a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.
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b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à semidiferença da medida dos arcos opostos.
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c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.
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140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Pelo ângulo semi-inscrito PQS 
Problema Nº 01
RESOLUÇÃO
Substituindo:
No triângulo PQS:
Resolvendo a equação:
PSQ = x
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X = 40°
No triângulo retângulo RHS
140°
É propriedade, que:
140° + X = 180°
Pelo ângulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
m  S = 70º
Resolvendo:
PSQ = x
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130°
X = 40°
50°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Resolvendo:
APD = x
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X = 18°
54°
x
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
APN = x
Se traçaa o raio OM:
Dado: OM(raio) = PM
Logo triângulo PMO é isósceles
Ângulo central igual ao arco
Medida do ângulo exterior
Resolvendo:
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Medida do ângulo inscrito:
X = 55°
110°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
PRQ = x
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
Resolvendo:
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Calcule a medida do ângulo “X”.
Problema Nº 06
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RESOLUÇÃO
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
Medida dol ângulo inscrito:
140º
140º + x = 180º
Resolvendo:
 X = 40º 
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Calcular a medida do ângulo “x”
Problema Nº 07
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RESOLUÇÃO
Medida do ângulo inscrito:
Na circunferência:
260º
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
X = 80º
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Calcule o perímetro do triângulo ABC.
Problema Nº 08
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Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) 
Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 
(2p) = 24 
RESOLUÇÃO
a + b = 14 
Substituindo (1) em (2) 
(2p) = 14 + 10 
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ABORDAGEM
80º
Problema Nº 09
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2a + 80º = 360º
 a = 140º
Medida do ângulo exterior:
X = 30º
Na circunferência:
RESOLUÇÃO
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ABORDAGEM
Problema Nº 10
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Teorema de Poncelet:
 PQR  a + b = PR+2(3)
 a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6 cm
Dado: 
a + b + c + d = 22 cm
PSR  c + d = PR+2(2)
RESOLUÇÃO
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