Lista 3_EDO

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Equações Diferencias Ordinárias – Lista 3
Prof. Washington S. da Silva
2018-1
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
1. y′′ + y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
2. y′′ + 4y′ + 3y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
3. 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4, y′(0) = 0
4. y′′ + 3y′ = 0, y(0) = −2, y′(0) = 3
5. y′′ + 5y′ + 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
6. 2y′′ + y′ − 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
7. y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 0
8. 4y′′ − y = 0, y(−2) = 1, y′(−2) = −1
9. Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c1e2t + c2e−3t.
10. Encontre uma equação diferencial cuja solução geral é y = c1e−t/2 + c2e−2t.
11. Encontre a solução do problema de valor inicial y′′ − y = 0, y(0) = 5/4, y′(0) = −3/4, e
determine seu valor mínimo.
12. Encontre a solução do problema de valor inicial 2y′′ − 3y′ + y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1/2.
Depois determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto em que a
solução se anula.
13. Verifique se y1(t) = t2 e y2(t) = t−1 são duas soluções da equação diferencial t2y′′−2y = 0
para t > 0. Depois mostre que c1t2 + c2t−1 também é solução dessa equação quaisquer
que sejam c1 e c2.
14. Verifique se y1(t) = 1 e y2(t) = t1/2 são duas soluções da equação diferencial yy′′(y′)2 = 0
para t > 0. Depois mostre que c1+c2t1/2 não é, em geral, solução desta equação. Explique
por que este resultado não contradiz o Teorema 3.2.2.
1
Em cada um dos problemas de 15 a 17, verifique se as funções y1 e y2 são soluções da equação
diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
15. y′′ + 4y = 0, y1(t) = cos(2t), y2(t) = sen(2t)
16. y′′ − 2y′ + y = 0, y1(t) = et, y2(t) = tet
17. x2y′′ − x(x+ 2)y′ + (x+ 2)y = 0, x > 0, y1(x) = x, y2(x) = xex
18. Considere a equação y′′ − y′ − 2y = 0.
(a) Mostre que y1(t) = e−t e y2(t) = e2t formam um conjunto fundamental de soluções.
(b) Sejam y3(t) = −2e2t, y4(t) = y1(t)+2y2(t) e y5(t) = 2y1(t)−2y3(t). As funções y3(t)
e y4(t) e y5(t) também são soluções da equação diferencial dada?
(c) Determine se cada par a seguir forma um conjunto fundamental de soluções: [y1(t), y3(t)];
[y2(t), y3(t)]; [y1(t), y4(t)]; [y4(t), y5(t)]
Em cada um dos problemas de 19 a 24, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
19. y′′ + 4y′ = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
20. y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
21. y′′ − 2y′ + 5y = 0, y(pi/2) = 0, y′(pi/2) = 2
22. y′′ + y = 0, y(pi/3) = 2, y′(pi/3) = −4
23. y′′ + y′ + 1, 25y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 1
24. y′′ + 2y′ + 2y = 0, y(pi/4) = 2, y′(pi/4) = −2
25. Mostre que W (eλtcos(µt), eλtsen(µt)) = µe2λt.
Em cada um dos problemas de 26 a 29, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
26. 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
27. y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
28. 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2
29. y′′ + 4y′ + 4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1
30. Considere o problema de valor inicial 4y′′ + 12y′ + 9y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −4.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Determine onde a solução tem valor zero.
(c) Determine as coordenadas (t0, y0) do ponto de mínimo.
2
31. Considere o problema de valor inicial 4y′′ + 4y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 2.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Determine as coordenadas (tM , yM) do ponto de máximo.
Em cada um dos problemas de 32 a 39, use o método de redução de ordem para encontrar uma
segunda solução da equação diferencial dada.
32. t2y′′ + 4ty′ + 6y = 0, t > 0; y1(t) = t2
33. t2y′′ + 2ty′ − 2y = 0, t > 0; y1(t) = t
34. t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0; y1(t) = t−1
35. t2y′′ − t(t+ 2)y′ + (t+ 2)y = 0, t > 0; y1(t) = t
36. xy′′ − y′ + 4x3y = 0, x > 0; y1(x) = sen(x2)
37. (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, x > 1; y1(x) = ex
38. x2y′′ − (x− 0, 1875)y = 0, x > 0; y1(x) = x1/4e2
√
x
39. x2y′′ + xy′ + (x2 − 0, 25)y = 0, x > 0; y1(x) = x−1/2senx
Em cada um dos problemas de 40 a 50, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
40. y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t
41. y′′ + 2y′ + 5y = 3sen(2t)
42. y′′ − y′ − 2y = −2t+ 4t2
43. y′′ + y′ − 6y = 12e3t + 12e−2t
44. y′′ − 2y′ − 3y = −3te−t
45. y′′ + 2y′ = 3 + 4sen(2t)
46. y′′ + 9y′ = t2e3t + 6
47. y′′ + 2y′ + y = 2e−t
48. 2y′′ + 3y′ + y = t2 + 3sent
49. y′′ + y = 3sen(2t) + tcos(2t)
Em cada um dos problemas de 50 a 55, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
50. y′′ + y′ − 2y = 2t, y(0) = 0, y′(0) = 1
51. y′′ + 4y = t2 + 3et, y(0) = 0, y′(0) = 2
3
52. y′′ − 2y′ + y = tet + 4, y(0) = 1, y′(0) = 1
53. y′′ − 2y′ − 3y = 3te2t, y(0) = 1, y′(0) = 0
54. y′′ + 4y = 3sen(2t), y(0) = 2, y′(0) = −1
55. y′′ + 2y′ + 5y = 4e−tcos(2t), y(0) = 1, y′(0) = 0
Em cada um dos problemas de 56 a 59, use o método de variação dos parâmetros para encontrar
uma solução particular da equação diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o
método dos coeficientes indeterminados.
56. y′′ − 5y′ + 6y = 2et
57. y′′ − y′ − 2y = 2e−t
58. y′′ + 2y′ + y = 3e−t
59. 4y′′ − 4y′ + y = 16et/2
Em cada um dos problemas de 60 a 65, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
60. y′′ + y = tan(t), 0 < t < pi/2
61. y′′ + 9y = 9sec2(3t), 0 < t < pi/6
62. y′′ + 4y′ + 4y = t−2e−2t, t > 0
63. y′′ + 4y = 3csc(2t), 0 < t < pi/2
64. 4y′′ + y = 2sec( t
2
), −pi < t < pi
65. y′′ − 2y′ + y = et/(1 + t2)
4
RESPOSTAS
1. y = et
2. y = 5
2
e−t − 1
2
e−3t
3. y = 12et/3 − 8et/2
4. y = −1− e−3t
5. y = 1
26
(13 + 5
√
13)e
(−5+√13)t
2 + 1
26
(13− 5√13)e (−5−
√
13)t
2
6. y = 2√
33
e
(−1+√33)t
4 − 2√
33
e
(−1−√33)t
4
7. y = 1
10
e−9(t−1) + 9
10
et−1
8. y = −1
2
e
t+2
2 + 3
2
e−
t+2
2
9. y′′ + y′ − 6y = 0
10. 2y′′ + 5y′ + 2y = 0
11. y = 1
4
et + e−t; o mínimo é y = 1 em t = ln2
12. y = −et + 3et/2; o máximo é y = 9/4 em t = ln(9/4), y = 0 em t = ln9.
13.
14. A equação é não linear.
15. Sim.
16. Sim.
17. Sim.
18. (a)
(b) Sim.
(c) [y1(t), y3(t)] e [y1(t), y4(t)] são conjuntos fundamentais de soluções; [y2(t), y3(t)] e
[y4(t), y5(t)] não são.
19. y = 1
2
sen(2t)
20. y = e−2tcost+ 2e−2tsent
21. y = −et−pi2 sen(2t)
22. y = (1 + 2
√
3)cost− (2−√3)sent
23. y = 3e−
t
2 cost+ 5
2
e−
t
2 sent
5
24. y =
√
2e
pi
4
−tcost+
√
2e
pi
4
−tsent
25.
26. y = 2e
2t
3 − 7
3
te
2t
3
27. y = 2te3t
28. y = −e− t3 cos(3t) + 5
9
e−
t
3 sen(3t)
29. y = 7e−2(t+1) + 5te−2(t+1)
30. (a) y = e−
3t
2 − 5
2
te−
3t
2
(b) t = 2
5
(c) t0 = 1615 , y0 =
5
3
e−
8
5
31. (a) y = e−
t
2 + 5
2
te−
t
2
(b) tM = 85 , yM = 5e
− 4
5
32. y2(t) = t3
33. y2(t) = t−2
34. y2(t) = t−1ln(t)
35. y2(t) = tet
36. y2(x) = cos(x2)
37. y2(x) = x
38. y2(x) = x
1
4 e−2
√
x
39. y2(x) = x−
1
2 cos(x)
40. y = c1e3t + c2e−t − e2t
41. y = c1e−tcos(2t) + c2e−tsen(2t) + 317sen(2t)− 1217cos(2t)
42. y = c1e−t + c2e2t − 72 + 3t− 2t2
43. y = c1e2t + c2e−3t + 2e3t − 3e−2t
44. y = c1e3t + c2e−t + 316te
−t + 3
8
t2e−t
45. y = c1 + c2e−2t + 32t− 12sen(2t)− 12cos(2t)
46. y = c1cos(3t) + c2sen(3t) + 1162(9t
2 − 6t+ 1)e3t + 2
3
47. y = c1e−t + c2te−t + t2e−t
6
48. y = c1e−t + c2e−t/2 + t2 − 6t+ 14− 310sent− 910cost
49. y = c1cost+ c2sent− 13tcos(2t)− 59sen(2t)
50. y = et − 1
2
e−2t − t− 1
2
51. y = 7
10
sen(2t)− 19
40
cos(2t) + 1
4
t2 − 1
8
+ 3
5
et
52. y = 4tet − 3et + 1
6
t3et + 4
53. y = e3t + 2
3
e−t − 2
3
e2t − te2t
54. y = 2cos(2t)− 1
8
sen(2t)− 3
4
tcos(2t)
55. y = e−tcos(2t) + 1
2
e−tsen(2t) + te−tsen(2t)
56. Y (t) = et
57. Y (t) = −2
3
te−t
58. Y (t) = 3
2
t2e−t
59. Y (t) = 2t2et/2
60. y = c1cost+ c2sent− (cost)ln(tant+ sect)
61. y = c1cos(3t) + c2sen(3t) + (sen(3t)ln(tan(3t)+ sec(3t))− 1
62. y = c1e−2t + c2te−2t − e−2tlnt
63. y = c1cos(2t) + c2sen(2t) + 34(sen(2t))ln(sen(2t))− 32tcos(2t)
64. y = c1cos( t2) + c2sen(
t
2
) + tsen( t
2
) + 2cos( t
2
)ln(cos( t
2
))
65. y = c1et + c2tet − 12etln(1 + t2) + tetarctan(t)
7