Aula_004 1 Levantamento Planimétrico - Erros Lineares e Cálculo de Áreas [ESTÁCIO]

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TOPOGRAFIA
UNIDADE 03 – Levantamento planimétrico e Cálculo de Áreas
Prof.: Esp. Glauber Alves
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO – AULA 04 [SLIDE ‹nº›]
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Bibliografia recomendada:
VEIGA, Luis Augusto Koenig. Fundamentos de topografia: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura Universidade Federal do Paraná. Paraná: [s.n.], 2012. 274 p.
BORGES, Alberto De Campos. Topografia: Aplicada à Engenharia Civil. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1999. 191 p.
NETO, José Belo Salgado. Topografia para edificações. 1 ed. São Luis - MA: UEMANET, 2013. 210 p.
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ROTEIRO DA APRESENTAÇÃO
Coordenadas topográficas
Coordenadas UTM
Abscissa e Ordenada de pontos topográficos
Projeções dos alinhamentos
Determinação das projeções
Determinação das Coordenadas de Poligonais Abertas
Determinação das coordenadas de poligonais fechadas
Erro de fechamento linear
Precisão do erro de fechamento linear
Tolerância linear
Compensação das Projeções (Δx e Δy)
Determinação das Coordenadas da Poligonal Fechada
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As coordenadas topográficas coincidem com o sistema de coordenadas cartesianas. Neste sistema de coordenadas, existe um sistema de eixos perpendiculares entre si, denominados de eixo XX’ com orientação leste – oeste e eixo YY’ com orientação norte-sul. Tais eixos coincidem, respectivamente, com os eixos Leste – Oeste e Norte – Sul.
COORDENADAS TOPOGRÁFICAS
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Coordenadas UTM
Trata-se de um sistema de coordenadas plano-retangulares, obtido pela divisão do elipsoide em 60 fusos de 6°, cada (60 x 6° = 360°). E como se a Terra fosse dividida em gomos como uma laranja.
COORDENADAS UTM
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Além disso, cada fuso e dividido em 20 faixas, sendo que o cruzamento entre um fuso e uma faixa constitui-se numa zona.
Os fusos são indicados por números enquanto que as faixas são representadas por uma letra.
Cada zona e subdivida em quadrados de 100km x 100km de lado, com duas letras associadas a cada um.
Bacabal, por exemplo, esta no fuso 23, na faixa M, sendo a sua localização denominada por 23M, conforme a figura a seguir.
COORDENADAS UTM
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A projeção desses fusos se da num cilindro secante ao globo. Cada fuso tem um Meridiano Central que cruza o Equador. As coordenadas UTM são métricas, dai o interesse nas obras de engenharia. Além do que, permite que se visualizem mapas com escalas grandes que ampliam a região geográfica objeto de estudo. 
Por outro lado, na disciplina de Topografia, o calculo das coordenadas de pontos das poligonais, abertas ou fechadas, é determinado em metros, razão porque as coordenadas topográficas devem ser atreladas ao Sistema UTM.
COORDENADAS UTM
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O Sistema de Coordenadas UTM e independente para cada fuso. Sua origem esta no Meridiano Central do fuso, que para o hemisfério sul (o nosso), constitui-se dos valores de 500.000 m para (E) e 10.000.000 m para o (N). E e N equivalem, respectivamente, as abscissas X (longitudes) e ordenadas Y (altitudes).
COORDENADAS UTM
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A figura mostra um fuso de 6°, seu meridiano central e a grade de coordenadas. Para o hemisfério Norte, as ordenadas (N) variam de 0 (no equador) a 10.000 km (no Polo Norte). No hemisfério Sul, as ordenadas iniciam com 10.000 km (no equador) e decrescem ate 0 (no Polo Sul). As abscissas (E) variam de 500 a 100 km a Oeste do Meridiano Central e de 500 km a 700 a Leste do mesmo.
COORDENADAS UTM
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Uma coordenada é representada pela sua abscissa e ordenada, conforme os conceitos já conhecidos da geometria analítica:
Abscissa: Representada por X, e medida sobre o eixo XX’ da origem ate a projeção do ponto sobre o eixo;
Ordenada: Representada por Y, e medida sobre o eixo YY’ da origem ate a projeção do ponto sobre este eixo.
ABCISSA E ORDENADA
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Para a determinação das coordenadas dos vértices das poligonais (abertas ou fechadas) temos que conhecer o valor das projeções dos seus alinhamentos. Essas projeções ocorrem nos dois eixos cartesianos.
As projeções podem ser obtidas com os azimutes ou com rumos dos alinhamentos, conforme veremos a seguir. Entretanto, por ser mais simples, adotaremos o calculo das projeções dos alinhamentos a partir dos azimutes e dos comprimentos dos alinhamentos da poligonal.
PROJEÇÕES DO ALINHAMENTO
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PROJEÇÕES DOS ALINHAMENTOS
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DETERMINAÇÃO DAS PROJEÇÕES
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DETERMINAÇÃO DAS PROJEÇÕES
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A partir das coordenadas iniciais, ou seja, das coordenadas do primeiro ponto, calculamos as demais coordenadas por meio da soma algébrica das coordenadas encontradas com as suas projeções subsequentes.
Coordenadas de partida – UTM (GPS Geodésico)
Para a falta desse equipamento, pode-se arbitrar um valor de partida, e calcular os demais valores a partir desse ponto.
Preferencialmente, utilizaremos valores altos para as coordenadas iniciais, a fim de não encontrarmos valores negativos após as operações.
COORDENADAS (POLIG. ABERTA)
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Lembrando que a soma é algébrica e, portanto, o sinal das projeções devera ser considerado. Quando a poligonal for fechada, as projeções deverão ser compensadas ou corrigidas devido a existência do erro linear de fechamento.
COORDENADAS (POLIG. ABERTA)
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Exemplo: Calcular as coordenadas dos vértices 2, 3, 4 e 5, da poligonal aberta, conforme a planilha adiante. Sabe-se que as coordenadas do vértice 1 são X1= 10.000,00m e Y1= 20.000,00m.
COORDENADAS (POLIG. ABERTA)
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COORDENADAS (POLIG. ABERTA)
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Erro de fechamento linear:
Quando se inicia um levantamento de uma poligonal fechada, verificamos que no caminhamento o aparelho se desloca tanto no sentido do leste quanto para o oeste. O mesmo se verifica com relação ao norte e ao sul.
Soma algébrica dos resultados – “0”
COORDENADAS (POLIG. FECHADA)
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Porém, na prática, quando as projeções no eixo X-X’ são calculadas elas não são iguais, ou seja, apresentam uma diferença. De igual modo acontece com relação ao eixo Y-Y’. Essas diferenças são os erros em x (Ex) e em y (Ey). Portanto, temos que:
ERRO DE FECHAMENTO
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Devemos conhecer a precisão do levantamento realizado a fim de compararmos com a tolerância para o erro de fechamento linear ou simplesmente, tolerância linear.
PRECISÃO DO ERRO
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A tolerância para o erro de fechamento linear e um valor relativo, que pode ser expresso em metros/km de poligonal fechada ou ainda por uma relação do tipo 1/N, onde N representa um valor em metros de perímetro para 1m de erro de fechamento linear.
Tabela 11 da Norma NBR 13.133/94:
Estabelece como tolerância linear, para as poligonais topográficas comuns, o valor de 0,56m de erro máximo de fechamento linear para cada quilometro de poligonal fechada, ou seja, 0,56m/km. Essa relação também pode ser expressa na forma de1/N, bastando dividir 1000m por 0,56m. Assim, tal relação poderá ser expressa dos seguintes modos:'
TOLERÂNCIA LINEAR
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COMPENSAÇÃO DAS PROJEÇÕES
Cx = correção de cada projeção no eixo X-X’
Cy = correção de cada projeção no eixo Y-Y’
Ex = erro no eixo X-X’
Ey= erro no eixo Y-Y’
Δx = projeção de cada alinhamento no eixo X-X’
Δy = projeção de cada alinhamento no eixo Y-Y’
ΣІΔxІ = somatório das projeções em modulo no eixo X-X’
ΣІΔyІ = somatório das projeções em modulo no eixo Y-Y’
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As projeções compensadas (Δx’ e Δy’) serão obtidas mediante uma operação de soma ou subtração com as respectivas correções (Cx e Cy).
COMPENSAÇÃO DAS PROJEÇÕES
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O cálculo das coordenadas (abscissa e ordenada) de vértices ou pontos de uma poligonal fechada obedece a mesma sistemática adotada para poligonais abertas, sendo que tal procedimento somente e realizado quando as projeções estiverem compensadas, pois caso contrario, conforme dissemos, os cálculos não fecharão.
DET. DAS COORDENADAS
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Exemplo: Queremos determinar as coordenadas das estacoes 2,3 e 4 da poligonal fechada da planilha abaixo, sabendo-se que as coordenadas da estação 1 são: X1 = 300,00m e Y1 = 500,00m.
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DET. DAS COORDENADAS
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ROTEIRO DA APRESENTAÇÃO
Cálculo de Áreas
Método geométrico ou gráfico
Método mecânico ou eletrônico
Método Analítico
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O calculo de áreas de poligonais fechadas e informação valiosa para quem adquire um lote ou terreno – pela possibilidade de avaliar-se o valor de mercado da propriedade – além de possibilitar o planejamento e projeto das futuras edificações.
São muitos os modelos de avaliação das áreas, porem nesta aula estudaremos os mais usados. São eles:
Método geométrico ou gráfico;
Método mecânico ou eletrônico;
Método analítico pela matriz de Gauss.
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CÁLCULO DE ÁREAS
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Divisão do terreno em figuras geométricas conhecidas:
Triângulos, quadrados, trapézios, etc.
Precisão pouco elevada;
Rápida obtenção de resultados.
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MÉTODO GEOMÉTRICO
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MÉTODO GEOMÉTRICO
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A medição de superfícies pelo método mecânico ou digital e realizada com o auxílio de um equipamento denominado planímetro ou integrador mecânico. Pelo fato dos modernos planímetros serem digitais, tais planímetros sao denominados de planímetros eletrônicos.
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MÉTODO MECÂNICO
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O método analítico e o mais utilizado para o calculo da área de poligonais fechadas, pelo fato de ser o mais preciso. Conhecendo-se as coordenadas de cada vértice ou ponto (X e Y) aplicamos o determinante de Gauss:
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MÉTODO ANALÍTICO
S=1/2 {[(X1.Y2) + (X2.Y3) + (X3.Y4) + (X4.Y1)] – [(Y2.X3) + (Y3.X4) + (Y4.X1) + (Y1.X2)]}
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E
P.V.
Grau Sexagesimal (azimute)
 
Grau Decimal
Funções Trigonométricas
Projeção no eixo X-X'
Projeção no eixo Y-Y'
Coordenadas
Cálculo da Área
Unid
Grau °
Minuto '
Segundo "
Distância
 
Seno
Cosseno
Direta (∆x)
Corre. (Cx)
Compens (∆x')
Direta (∆y)
Corre. (Cy)
Compens (∆y')
Abcissa (X)
Ordenada (Y)
Produto (+)
600455,0361
m²
1
2
274
0
0
21,42
274,0000
-0,997564
0,069756
-21,36782196
-0,0185936
-21,386416
1,494183668
-0,000446546
1,493737
300,00
500,00
Produto (-)
602481,3764
2
3
352
43
50
40,01
352,7306
-0,126536
0,991962
-5,062690083
-0,0044054
-5,067095
39,6884022
-0,011861129
39,676541
278,61
501,49
Soma algébrica ∑a
2026,340298
3
4
91
2
0
29,16
91,0333
0,999837
-0,018034
29,15525778
-0,0253699
29,129888
-0,525874101
-0,000157161
-0,526031
273,55
541,17
A = ∑a/2
1013,170149
4
1
183
45
55
40,72
183,7653
-0,065669
-0,997841
-2,674049967
-0,0023269
-2,676377
-40,63210377
-0,01214316
-40,644247
302,68
540,64
 
 
 
 
∑x Direta
∑x Corrigida
∑x Compensada
∑y Direta
∑y Corrigida
∑y Compensada
300,00
500,00
 
 
 
 
0,050695777
-0,05069578
0,000000
0,024607996
-0,02460800
0,000000
 
 
 
 
 
∑|x|
∑|y|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58,25981979
 
 
82,34056374
 
 
 
 
 
 
 
Precisão
 
Tolerável?
 
0,429156941
m/Km
ok
NBR 13.133/98
0,56
m/Km
Erro de fechamento linear
0,056352598
MÉTODO ANALÍTICO
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Obrigado!
"A educação faz com que as pessoas sejam fáceis de guiar, mas difíceis de arrastar; fáceis de governar, mas impossíveis de escravizar." (Henry Peter)
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