AP2 MÉTODOS ESTATÍSTICOS I - 2019-1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Me´todos Estat´ısticos I –1/2019
Co´digo da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matr´ıcula:
Polo:
Atenc¸a˜o!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os
respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em
negrito) e o nu´mero da folha.
PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e
Polo.
• E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja
de telefone celular ou de qualquer outro aparelho que
permita a conexa˜o a` internet.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Fac¸a o desenvolvimento completo das soluc¸o˜es nas
Folhas de Respostas.
• Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta
para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado
para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o,
mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
• Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 1 A 3.
Se das unidades U1 e U2 saem respectivamente 39% e 26% das pec¸as produzidas por uma dada
indu´stria e as demais sa˜o produzidas na unidade U3 e se os lotes delas oriundos teˆm 2%, 2,5% e
3,5% de pec¸as defeituosas respectivamente, enta˜o sabendo que uma pec¸a sera´ sorteada ao acaso,
determine:
Questa˜o 1 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela unidade U3?
R: Como as pec¸as so´ podem ter sido produzidas por uma das 3 unidades, enta˜o:
P (U3) = 1− (0, 39 + 0, 26) = 1− 0, 65 = 0,35.
Questa˜o 2 [1,0 ponto] Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
Me´todos Estat´ısticos I AP2 1/2019
R: Seja D o evento: “A pec¸a e´ defeituosa”. Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos:
P (D) = P (U1)P (D|U1) + P (U2)P (D|U2) + P (U3)P (D|U3)
= (0, 39× 0, 02) + (0, 26× 0, 025) + (0, 35× 0, 035)
= 0, 0078 + 0, 0065 + 0, 01225
= 0,02655.
Questa˜o 3 [1,0 ponto] Se, ao sortear, percebe-se que a pec¸a e´ defeituosa, qual a probabilidade de
ela ter sa´ıdo da unidade U3?
R: Pelo Teorema de Bayes, temos:
P (U3|D) = P (U3)P (D|U3)
P (D) =
0, 01225
0, 02655 = 0,461394.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 4 A 8.
Algumas pessoas foram pesquisadas sobre prefereˆncia de filmes de acordo com a faixa eta´ria. Os
resultados esta˜o na tabela abaixo.
Drama (D) Come´dia (C) Ac¸a˜o (A) Total
≤ 16 anos (X) 30 15 25 70
de 17 a 20 anos (Y) 30 20 10 60
de 21 a 35 anos (Z) 10 25 20 55
≥ 36 anos (W) 20 10 35 65
Total 90 70 90 250
Se uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela:
Questa˜o 4 [0,5 ponto] Ter menos de 21 anos.
R: A probabilidade de ter menos de 21 anos e´ igual a`:
P (X ∪ Y ) = P (X) + P (Y ) = 70 + 60250 =
130
250 = 0,52.
Questa˜o 5 [0,5 ponto] Ter pelo menos 36 anos e preferir Drama.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Estat´ısticos I AP2 1/2019
R:
P (W ∩D) = 20250 = 0,08.
Questa˜o 6 [0,5 ponto] Ter de 21 a 35 anos ou preferir Come´dia.
R:
P (Z ∪ C) = P (Z) + P (C)− P (Z ∩ C) = 55250 +
70
250 −
25
250 =
100
250 = 0,4.
Questa˜o 7 [0,5 ponto] Preferir Ac¸a˜o, dado que tem de 17 a 20 anos.
R:
P (A|Y ) = P (A ∩ Y )
P (Y ) =
10/250
60/250 =
10
60 = 0,1667.
Questa˜o 8 [0,5 ponto] Ter no ma´ximo 16 anos, dado que prefere Drama.
R:
P (X|D) = P (X ∩D)
P (D) =
30/250
90/250 =
30
90 = 0,33.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 9 A 12.
Vinte por cento dos alunos de uma universidade possuem carro pro´prio. Detemine:
R: Este enunciado se refere a uma distribuic¸a˜o Binomial de Probabilidades, onde p = 0, 2 e´ a
probabilidade de sucesso e n varia em cada questa˜o.
Questa˜o 9 [0,5 ponto] A probabilidade de no ma´ximo 1 aluno possuir carro pro´prio em uma
amostra de 5 alunos.
R:
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1)
=
[(
5
0
)
(0, 2)0(0, 8)5
]
+
[(
5
1
)
(0, 2)1(0, 8)4
]
= (1× 1× 0, 32768) + (5× 0, 2× 0, 4096)
= 0, 32768 + 0, 4096
= 0,73728.
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Questa˜o 10 [0,5 ponto] A probabilidade de nenhum aluno possuir carro pro´prio em uma amostra
de 6 alunos.
R:
P (X = 0) =
(
6
0
)
(0, 2)0(0, 8)6
= 1× 1× 0, 262144
= 0,262144.
Questa˜o 11 [0,5 ponto] O nu´mero esperado de alunos com carro pro´prio em uma amostra de 50
alunos.
R: Deseja-se obter a esperanc¸a. Logo:
E(X) = np = 50× 0, 2 = 10.
Ou seja, “Espera-se que 10 alunos tenham carro pro´prio.”
Questa˜o 12 [0,5 ponto] O desvio padra˜o do nu´mero de alunos com carro pro´prio em uma amostra
de 625 alunos.
R: Neste caso, inicialmente precisa-se obter a variaˆncia e, em seguida, o desvio padra˜o.
V (X) = np(1− p) = 625× 0, 2× 0, 8 = 100.
O desvio padra˜o e´ a raiz quadrada da variaˆncia. Logo:
σ =
√
V (X) =
√
100 = 10.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTO˜ES DE 13 A 17.
A tabela a seguir e´ uma distribuic¸a˜o parcial referente ao lucro projetado da empresa BOX Company
(X e´ o lucro em milhares de do´lares) para o primeiro ano de operac¸a˜o (o valor negativo e´ preju´ızo).
X -100 0 50 100 150 200
p(X) 0,10 0,20 0,30 0,25 0,10
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Me´todos Estat´ısticos I AP2 1/2019
Questa˜o 13 [0,5 ponto] Qual e´ o valor adequado para P (X = 200)?
R: Sabemos que a soma das probabilidades e´ igual a` 1. Enta˜o, partindo deste argumento, obtemos:
∑
p = 1
0, 95 + P (X = 200) = 1
P (X = 200) = 1− 0, 95
P (X = 200) = 0,05.
Questa˜o 14 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de a empresa BOX lucrar pelo menos U$ 100,000.00?
R: Com o valor encontrado na questa˜o 13, a tabela completa sera´:
x -100 0 50 100 150 200
p(x) 0,10 0,20 0,30 0,25 0,10 0,05
Assim:
P (X ≥ 100) = p(100) + p(150) + p(200) = 0, 25 + 0, 10 + 0, 05 = 0,40.
Questa˜o 15 [0,5 ponto] Qual o lucro esperado da empresa BOX?
R:
E(X) =
∑
xip(xi)
= (−100× 0, 10) + (0× 0, 20) + (50× 0, 30) + (100× 0, 25) + (150× 0, 10) + (200× 0, 05)
= −10 + 0 + 15 + 25 + 15 + 10
= 55.
Ou seja, o lucro esperado e´ de U$ 55,000.00.
Questa˜o 16 [0,5 ponto] Qual e´ a probabilidade de a empresa BOX ter preju´ızo?
R: So´ havera´ preju´ızo se o lucro for negativo. Isso so´ acontece se X = −100. Sua probabilidade e´
igual a` P (X = −100) = 0,10.
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Questa˜o 17 [1,0 ponto] Seja Y = X−15050 (tambe´m em milhares de do´lares). Obtenha E(Y ).
R:
E(Y ) = E
(
X − 150
50
)
= 150E(X − 150)
= 150(E(X)− E(150))
= 55− 15050
= −9550
= −1,9.
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