EXERCÍCIOS EXTRAS DE FIXAÇÃO - Matemática Aplicada a Computação

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1)Quais das equações abaixo são do 2º grau?
( ) x – 5x + 6 = 0				( ) 2x³ - 8x² - 2 = 0
( ) x² - 7x + 10 = 0			( ) 4x² - 1 = 0
( ) 0x² + 4x – 3 = 0			( ) x² - 7x
2)Classifique as equações do 2º grau em completas ou incompletas e determine os coeficientes a, b, c.
a) x² - 7x + 10 = 0
b) 4x² - 4x +1 = 0 
c) –x² - 7x = 0
d) x² - 16 = 0
e) x² + 0x + 0 = 0
3)Resolva as equações do 2º grau:
4x² - 36 = 0
7x² - 21 = 0
x² + 9 = 0
x² - 49 = 0	
5x² - 20 = 0 		
 Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65 (R: x = 6)
b) 23x - 16 = 14 - 17x (R: x = ¾)
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20 (R: x = 21)
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 (R: x = 2)
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 (R: x = -21)
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 (R: x = 12)
Resolva as Equações em R
a) 2x + 6 = x + 18 (R: x = 12)
b) 5x – 3 = 2x + 9 (R: x = 4)
c) 3(2x – 3) + 2(x + 1) = 3x + 18 (R: x = 5)
d) 2x + 3(x – 5) = 4x + 9 (R: x = 24)
e) 2(x + 1) – 3(2x – 5) = 6x – 3 (R: x = 2)
f) 3x – 5 = x – 2 (R: x = 3/2)
g) 3x – 5 = 13 (R: x = 6)
h) 3x + 5 = 2 (R: x = -1)
i) x – (2x – 1) = 23 (R: x = -22)
j) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3) (R: x = 7/2)
 
Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 (R: a = 5, b = -3, c = -2)
b) 3x2  + 55 = 0 (R: a = 3, b = 0, c = 55)
c) x2 - 6x = 0 (R: a = 1, b = -6, c = 0)
d) x2 - 10x + 25 = 0 (R: a = 1, b = -10, c = 25)
 
Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 (R: x’ = 5 e x’’ = -4)
b) x2 - 3x -4 = 0 (R: x’ = 4 e x’’ = -1)
c) x2 - 8x + 7 = 0 (R: x’ = 7 e x’’ = 1)
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
 
1) x² - 5x + 6 = 0 (R: 2, 3)
2) x² - 8x + 12 = 0 (R: 2, 6)
3) x² + 2x - 8 = 0 (R: 2, -4)
4) x² - 5x + 8 = 0 (R: vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0 (R: 2,) 
6) x² - 4x - 5 = 0 (R: -1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0 (R: -3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0 (R: 1, 5)
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
9) 6x² + x - 1 = 0 (R: 1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 (R: 2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 (R: 5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x (R: 3/2)
13) x² = x + 12 (R: -3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 (R: -3 )
15) x² + 9 = 4x (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 (R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² (R: 3, -5)
18) x² + 3x – 6 = -8 (R: -1, -2)
19) x² + x – 7 = 5 (R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² (R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x (R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 (R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 (R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 (R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 (R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 (vazio) 
 
RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU
28) x² - 18x + 45 = 0 (R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 (R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 (R:3)
31) (x + 3)² = 1 (R:-2,-4)
32) (x - 5)² = 1 (R:3,7)
33) (2x - 4)² = 0 (R:2)
34) (x - 3)² = -2x² (R:vazio)
35) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
36) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
37) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)
1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem? 
2) Uma tela retangular com área de 9600 cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela? 
3) Num congresso havia 50 pessoas entre mulheres e homens. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens.
RESPOSTA Nº 1 - Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que:
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos;
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos.
Montando a sentença matemática obtemos:
3x2 = 63 - 12x, que pode ser expressa como 3x2 + 12x - 63 = 0.
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. 
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 12² – 4.3.(– 63) 
Δ = 144 + 756 
Δ = 900
Como Δ é maior que zero, sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x = (– b  Δ)/2.a
x1 = (– 12 + 900)/6
x1 = (– 12 + 30)/6
x1 = 18/6 
x1 = 3
3x² + 12x – 63 = 0 a = 3 b = 12 c = – 63
x2 = (– 12 – 900)/6
x2 = (– 12 – 30)/6
x2 = – 42/6 
x2 = – 7
A raízes encontradas são 3 e –7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz –7.
Portanto: Pedro tem 3 filhos.
RESPOSTA Nº 2 - Se chamarmos de x a altura da tela, temos que:
1,5x será a sua largura. 
Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. 
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática obtemos:
x . 1,5x = 9600
A sentença matemática x.1,5x = 9600, também pode ser expressa como:
1,5x2 – 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:
1,5x2 – 9600 = 0
1,5x2 = 9600
x2 = 9600/1,5
x2 = 6400
x =  6400
x =  80
As raízes reais encontradas são – 80 e 80.
No entanto, como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz – 80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:
Esta tela tem as dimensões de 80 cm de altura, por 120 cm de largura.
RESPOSTA Nº 3 - Sendo h: número de homens e m o número de mulheres no congresso, temos que:
 h + m = 50 equivale ao total de pessoas no congresso;
 h . m = 621 equivale ao produto das quantidades dos dois grupos.
Montando a sentença matemática obtemos:
h + m = 50  h = 50 – m
h . m = 621
Substituindo h por 50 – m na 2ª equação, temos:
(50 – m).m = 621
50m – m² – 621 = 0 x(-1)
m² – 50m + 621 = 0
a = 1 b = – 50 c = 621
 = b² – 4.a.c 
 = (– 50)² – 4.1.621 
= 2500 – 2484 
= 16
m = (– b  )/2.a 
m = (50  4)/2
m1 = (50 + 4)/2 
m1 = 54/2 
m1 = 27
m2 = (50 – 4)/2 
m2 = 46/2 
m2 = 23
Como h + m = 50, e o número de mulheres é maior que o número de homens, então havia 27 mulheres e 23 homens no congresso.
*Quantos são os anagramas da palavra mito podemos formar. 
Solução: 
Um anagrama é uma troca de posição entre as letras. Por exemplo: mtoi, iotm. São exemplos de anagramas. Portanto, este é um problema onde a ordem importa. 
O número de anagramas será = (nº de maneiras de escolher a primeira letra)x(número de maneira de escolher a segunda letra) x(número de maneira de escolher a terceira letra) x(número demaneira de escolher a quarta letra)= 4x3x2x1=24. 
* Considere os conjuntos A = {3, 5} e B = {– 1, 2, 4}.
Represente A × B e B × A enumerando, um a um, seus elementos.
AxB = {(3, – 1), (3, 2), (3, 4), (5, – 1), (5, 2), (5, 4)}
BxA = {(–1, 3), (–1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 3), (4, 5)}
* Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1} e a correspondência entre A e B dada por y = x – 2, com x A e y B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
 GABARITO: Não é função, pois o elemento 0 de A não está associado a algum elemento de B.
* Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a relação R = {(x,y) AxB /y = 3.x} faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
GABARITO: É função, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B
* Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. Faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B.
GABARITO:  É função, pois todos os elementos de A estão associados a um único elemento de B.
*Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4}, determine cada uma das relações seguintes, representando-as em diagrama de flechas. Indique as que são funções e dê seu domínio e imagem:
 (a) R1 = {(x, y) ∈ A X B | y = x2}
 (b) R2 = {(x, y) ∈ A X B | y = x + 1}
 (c) R3 = {(x, y) ∈ A X B | y > x + 1} 
 
Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:
SOLUÇÃO: 
Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, } e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formação:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f( )=2.( )²+1, então f( )=11
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}
Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. 
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h 
b) f e h 
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
 
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
*Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog ≠ gof .
 * Seja f a função de R em R, dada por f(x)= - x /3 + 2. Se f –1 é a função inversa de f, então f –1(1) é igual a: 
– 3	 b) – 1/3 		c) 3 		d) 6 		e) 9 
*Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, e a relação R de A em B definida por R = { (x, y) ε A X B | y = 2x – 3 }. R é representada por: 
R = { (2, 1), (3,3), (4,5) }
R = { (1, 3), (2,5) } 
R = { (1, 2), (3,3), (5,4) } 
R = { (1, 3), (2,4), (3,5) } 
R = { (2, 2), (1,4) } 
1)Verifique se a função f : Q→Q definida por f(x) = x2 + 1 é injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora e nem sobrejetora.
Solução: Se f é injetora, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2. Daí, x12 + 1 =x22 + 1 ⇒ x12 =x22
Se f não é sobrejetora pois, para f(x) = 0 não existe x tal que x2 + 1= 0. Como f não é sobrejetora ela também não pode ser bijetora. Portanto ela é injetora.
 
2)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é injetora.
Solução: A função f(x)=x2 não é injetora pois, por exemplo 1 ≠-1 mas f(1) = f(-1) = 1.
 
3)Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x + 1, é injetora.
Solução: A função f(x)=x+1 é injetora pois sempre x1≠x2, x1+1 ≠ x2+1.
 
4) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x2, é sobrejetora.
Solução: A função f(x) = x2 não é sobrejetora pois, por exemplo para f(x) = -1 não existe x tal que x2 = -1.
 
5) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x) = x+1, é sobrejetora.
Solução: A função f(x) = x + 1 é sobrejetora pois para todo inteiro y existe um inteiro x tal que x + 1 = y.
 
6) Determine se a função f : Z→Z definida por f(x)=x+1, é bijetora.
Solução: A função f(x) = x+1 é bijetora pois, como vimos acima é injetora e sobrejetora.