VALOR ABSOLUTO_texto de apoio_2018-2

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Módulo (Valor Absoluto) de um número real. 
Gostaria que prestassem bastante atenção na definição do Valor Absoluto. É muito comum os alunos 
usarem incorretamente essa definição. É um tópico muito importante, vamos tentar esclarecer as 
possíveis dúvidas que vocês ainda possam ter sobre esse assunto! 
Seja 
a
um número real qualquer, 









0,
0,0
0,
asea
ase
asea
a
 
Assim, por exemplo: 
55 
, pois 
05 
. 
7)7(7 
, pois 
07 
. 


















3,3
3,0
3,3
3
03,)3(
03,0
03,3
3
xsex
xse
xsex
x
xsex
xse
xsex
x
 
ATENÇÃO: 
Um erro muito comum encontrado nas soluções dos exercícios é: 









0,)3(
0,0
0,3
3
xsex
xse
xsex
x
 
Observe que o que está sendo modulado é 
3x
 e não 
x
. Assim, é incorreto escrever 
0,33  xsexx
. O correto é 
03,33  xsexx
. 
Vamos lembrar aqui a definição geométrica do módulo de um número real: 
a
, 
IRa
 é a distância de 
a
até a origem sobre a reta real. 
Por isso, 
0a
, para todo número real 
a
e 
00  aa
. 
E mais, 
baba 
 
baba 
 
0,  b
b
a
b
a
 
Mas, atenção: 
baba 
não é sempre verdadeira. Por exemplo; 
10373)7(374)4(4373)7( 
. 
 
2 de 6 
O correto é 
baba 
, para quaisquer 
IR, ba
. Esta é a chamada Desigualdade 
Triangular. 
A definição geométrica explica facilmente as seguintes propriedades que são muito úteis na 
resolução de equações e inequações. 
Suponhamos 
0,IR  kk
, então: 
 
kxkx 
ou
kx 
 (
x
dista 
k
unidades da origem 
 kx 
ou
kx 
). 
 
kxkkx 
 (
x
dista menos do que 
k
unidades da origem 
 x
está entre 
k
e 
k
, não podendo ser igual a
k
nem a 
k
). 
 
kxkx 
ou
kx
 (
x
dista mais do que 
k
unidades da origem 
 x
for 
maior que 
k
 ou 
x
 for menor que 
k
). 
Sejam 
a
e 
b
dois números reais quaisquer, então a distância entre 
a
e 
b
 sobre a reta real é: 
abbabad ),(
. 
Exemplos: 
 Distância de 
3
 a origem: 
33 
. 
 Distância de 
8,6
 a origem: 
8,6)8,6(8,6 
. 
 Distância de 
8,6
 a 
2
: 
8,88,62)8,6(2 
. 
 
555  xx
. 
 
7373  xx
ou
1073  xx
ou
4x
. 
 
28535353553  xxxx
. A solução é 
o intervalo aberto 
)2,8(
. Portanto os números reais que distam menos do que 
5
unidades do 
número real 
3
são os números que estão no intervalo de centro em 
3
e raio 5, que é o 
intervalo aberto 
)2,8(
. 
 
 74x 74 x
ou
 74x 11x
ou
3x
. A 
solução é 
),11()3,( 
. Portanto os números reais que distam mais do que 
7
unidades do número real
4
são os números que estão na seguinte união de intervalos 
),11()3,( 
. 
_________________________________________________________________________________ 
É muito importante notar que 
 
aa 2
 e que não é correto: 
aa 2
. 
De fato, observe o exemplo abaixo. 
4416)4( 2 
 e 
4)4(416)4( 2 
. 
 
3 de 6 
 
a
é, por definição, o único número real positivo, 
b
, tal que 
ab 2
. 
E mais: 
525 
 e 
525 
. E por isso, muita atenção, não é correto escrever:
 
525 
. 
_________________________________________________________________________________ 
Mais alguns exemplos: 
1) Reescreva a expressão 
31  xx
 sem usar Valor Absoluto. 
2) Agora resolva a equação 
531  xx
. 
3) Estude o sinal da expressão: 
x
xx


1
23
. 
Solução: 
1) Dada a expressão 
31  xx
, sabemos que: 


















1,1
1,0
1,1
1
01,)1(
01,0
01,1
1
xsex
xse
xsex
x
xsex
xse
xsex
x
 


















3,3
3,0
3,3
3
03,)3(
03,0
03,3
3
xsex
xse
xsex
x
xsex
xse
xsex
x
 
Veja agora uma forma, que julgo eficiente, para encontrar a expressão de 
31  xx
sem o 
uso de valor absoluto: 
 
1 x
 
1x
 
31  x
 
3x
 
 x3
 
1x
 
1 x
 0 
1x 4 1x 
3x
 
3 x 4 
3 x 0 3x 
1x
 
 

 
3x
 
 
(
1 x
) 
 + 
)3(  x
 
 
0 
+ 
4 
(
1x
) 
 + 
)3(  x
 
 
4 
+ 
0
 
(
1x
) 
 + 
)3( x
 
 
1x
 
 

 
3x
 
22  x 4 4 4 22 x 
 
4 de 6 
Assim, 
 















3,22
3,4
31,4
1,4
1,22
31
xsex
xse
xse
xse
xsex
xx
 
 









3,22
31,4
1,22
31
xsex
xse
xsex
xx
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2) Agora resolvendo a equação 
531  xx
. 
 









3,522
31,54
1,522
531
xsex
xse
xsex
xx
 
 
Logo, 
 
2
3
1,321,522  xxsexxsex
 é uma 
solução da equação original. 
 
 31,54 xse
a equação não tem solução no intervalo 
 3,1
. 
 
2
7
3,723,522  xxsexxsex
é uma solução da 
equação original. 
Portanto, o conjunto solução da equação 
531  xx
 é 







2
7
,
2
3
. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3) A expressão 
x
xx


1
23
pode ser fatorada da seguinte forma: 
x
xxx
x
xx
x
xx








1
)2()2(
1
)2(
1
2 23
. 
 
Vamos fazer a tabela dos sinais. Para isso note que: 
 
5 de 6 
 
202  xx
. 
202  xx
. 
11101  xxx
. 
 
Analisando o sinal da expressão no intervalo 
]0,( 
 
 
 
2 x
 
2x
 
12  x
 
1x
 
01  x
 
0x
 
x
 

 

 

 

 

 0 
2x
 

 

 

 

 

 

 
2x
 

 0 

 + 

 + 
1 − |𝑥| 

 

 

 0 

 + 
produto 
dos 
sinais 

 0 

 nd 

 0 
 
Analisando o sinal da expressão no intervalo 
),0( 
 
 
 
10  x
 
1x
 
21  x
 
2x
 
 x2
 
x
 

 + 

 + 

 
2x
 

 

 

 0 

 
2x
 

 + 

 + 

 
1 − |𝑥| 

 0 

 

 

 
produto 
dos 
sinais 

 nd 

 0 

 
 
 
Assim: 
 
 
 
6 de 6 
 
)2,1()0,1()2,(0
1
23



x
x
xx
 
),2()1,0()1,2(0
1
23



x
x
xx
 
2020
1
23



xouxoux
x
xx
 
x
xx


1
23
 não pode ser calculada para 
11  xex
. 
_____________________________________________________________________________________