exercicios e respostas calculo integral

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( ) Prova ( ) Prova Semestral 
 ( x ) Exercícios ( ) Segunda Chamada 
 ( ) Prova Modular ( ) Prova de Recuperação 
 ( ) Prática de Laboratório 
 ( ) Exame Final/Exame de Certificação 
 ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos 
Nota: 
 
 
 
 
Disciplina: CÁLCULO INTEGRAL, LISTA 1 Turma: 
Professor: Data: / / 
 
Aluno (a): 
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
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1) Dadas as funções abaixo, esboce o gráfico no intervalo [a,b] dividindo a região em n partições e determine a soma de 
Riemann . 
a) 
6]3,0[2.2  nxy
 , extremo direito. b) 
8]4,0[  nxy
 , extremo esquerdo. 
c) 
6]4,1[
2
 n
x
y
 , extremo direito. d) 
4
2
,0)cos( 





 nxy
, ponto médio. 
e) 
4]1,1[  ney x
, extremo direito. f) 
5
2
3
,0)( 





 nxseny
, extremo direito. 
g) 
5
2
3
,0)( 





 nxseny
, extremo esquerdo. h) 
4
2
,01)cos(.3 





 nxy
, ponto médio. 
i) 
  5,0)(.  nxsenxy 
, extremo esquerdo. 
j) 
  63,0)4.(  nxxy  .(4 ) 0,3 6y x x n  
: a) soma inferior b) soma superior 
 
2) A região limitada pelos gráficos de 
0,
3
)6(


 y
xx
y
, e as retas 
5e0  xx
 foi dividida em 5 subintervalos. Pede-
se: 
a) Esboçar o gráfico da região, mostrando a partição solicitada usando extremo esquerdo. 
b) Determinar a soma de Riemann usando a partição anterior. 
 
 
3) A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de 
ttR .4200)( 
, litros por minuto, onde 
500  t
. Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os dez primeiros minutos. 
 
 
4) Calcule as integrais a seguir: 
a) 3
1
dx
 b) 4
0
1
2
dx
 c) 1
1
5dx


 d) 1
0
( 3)x dx
 
e) 1
1
(2 1)x dx


 f) 1
2
2
( 1)x dx


 
g) 
2
2
0
( 3 3)x x dx 
 h) 
3
3
1
1
dx
x 
i) 
1
3
0
1
(5 )
2
x dx
 j) 
1
2
2
1
( )x dx
x



 k) 
4
0
x dx
 l) 
8
3
0
x dx
 
m) 
4
1
1
dx
x n) 
3
2
1
1
(5 )dt
t

 o) 
2 3
2
1
( 1)x
dx
x


 p) 
1
4
0
( )x x dx
 
q) 
2
3
1
1
( )
x
dx
x


 r) 
4
1
1
( )
x
dx
x


 s) 
2 2
4
1
1 t
dt
t


 t) 
3
1
1
(1 )dx
x

 
u) 
4
3
1
( 1)t t dt
 v) 
4
1
5
dh
h w) 
1
0
( 5cos )
4
xe
x dx
 x) 
64 3
1
1 s
ds
s


 
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
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5) Em 7 de maio de 1992, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49, cujo objetivo era instalar um novo motor 
de arranque no satélite de comunicação Intelsat. A tabela dá os dados de velocidade para o ônibus espacial entre a partida e 
a ejeção dos foguetes auxiliares. 
 
 
a) Use o Excel ou Geogebra para modelar esses dados por um polinômio de terceiro grau. 
b) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para estimar os valores máximo e mínimo da aceleração durante 
os primeiros 125 segundos. 
c) Estimar a altura atingida pela Endeavour 125 segundos depois do lançamento. 
 
 
6) Um modelo para a taxa de metabolismo basal, em Kcal/h, de um homem jovem é
12
.
cos18,085)(
t
tR


em que t é o 
tempo em horas medido a partir de 5 horas da manhã. Qual é o metabolismo basal total deste homem 

24
0
)( dttR
em um período 
de 24 horas? 
 
7) Esboce o gráfico e encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: 
 
a) 
 2x y e y x   
. x  [
2
1
, 1] b) 
2 22 2y x e x y 
 c) 
25 3y x e y x   
 
d) 
21 e 6
6
y x y 
 e) 
01,0,  yexxey x
 f)
]2,0[,  xxsenyexseny 
g) 







2
3
,
2
,coscos

xxyexy
 
h) Determine a área limitada pela curva 
652 23  xxxy
 e o eixo x de x = -1 a x=2. 
i) Determine a área da região que é limitada por 
xy 42 
 e 
yx  42
 
j) Calcule a área compreendida entre as curvas 
.4 22 xxyexy 
 
k) Considere a região delimitada por 
3
2
1
)(  xxf
,
1
4
1
)( 2  xxg
, 
0y
 e 
0x
. 
 
8) Determine a área da região limitada pelas funções abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
( ) 4
( ) 2
f x x
g x x x
 
  
)a
2
4 2
( ) 2
( ) 2
f x x
g x x x

 
)b
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9) Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região, delimitada pelos gráficos, em torno do eixo dado: 
 
a) 
1 ; 0 ; 2 ; 0y x x x y    
 (eixo : y = 0) b) 
21 ; 1 ; ; 0y x x e y
x
   
 (eixo : y = 0) 
c) 
2
2 ; 0 ; 2 ; 1
2
x
y x x y    
 (eixo : y = 0) d) 
3 ; 1 ; 1 ; 0y x x x y    
 (eixo : y = 0) 
e) 
2 ;y x y x 
 (eixo : y = 0) f) 
2 ;y x y x 
 (eixo : y = 1) g) 
2 ;y x y x 
 (eixo : x = 0) 
h) 
2 ; 0 ; 2 ; 0y lnx y y ln x   
 (eixo : x = 0) i) 
1 1
; 0 ; ; 2
2
y x y y
x
   
 (eixo : x = 0) 
j) 
2 ; 0 ; 4x y y x  
 (eixo : x = 4) k) 
:4,0,0,12  xxyxy
ao redor do eixo dos x. 
l) 
:2,0,0,122  yxyxy
 ao redor do eixo dos y. 
 
 
10) Conhecendo A(x) como a função que representa a área da seção, do sólido, perpendicular ao eixo x, pode-se determinar o 
volume deste fazendo 
( )
b
a
A x dx
. Com base neste conceito, determine o volume dos sólidos abaixo. 
 
a) Seção quadrada cuja altura é definida por 
( ) , 0 2f x x( 2 - x ) x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seção triangular (eqüilátero) cuja altura é definida por 
2( ) , 0 2f x x x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2( ) 4
( ) 2
f x x
g x x
  
  
)c
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c) Seção circular cujo diâmetro é definido por 
( ) , 0 4f x x x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Num teste para um carro de fórmula 1, foram coletados pelo computador o tempos com suas respectivas velocidades no 
intervalo de zero a 10s. Usando a linha de tendência foi obtido o polinômio:4 3 20,06 0,8 2, 4 10v t t t t    
 
Use o conceito da integral para determinar: 
a) O espaço percorrido 
b) A velocidade média. 
Dica: 2
1
( )
t
t
espaço v t dt 
 
 
 
 
 
 
12) O gráfico abaixo representa a vazão de gás natural (temperatura constante) num processo industrial monitorado por 30 
min. Determine: 
a) Volume do gás consumido; 
b) Vazão média; 
c) Tempo necessário para consumir 50% do volume anterior. 
Dica: 2
1
. ( ).
t
t
vol consumido vazão t dt 
 
 
 
 
 
13) Calcule as integrais improprias a seguir: 
 
a) 



0
.dxe x
 
b) 



1
.dxe x
 
c) 



1
.2 dxx
 
d) 



0
.2. dxx x
 
e) 


5
.
1
1
dx
x
 
f) 


0
2 .. dxex x
 
g) 



0
2
.. dxex x
 
 
h) 




dx
x
.
16
1
2
 
 
i) 



0
.5.
2
dxx x
 
 
 
 
 
 
 
342 ( / min)vazão t m
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1- Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
Resposta: 16,5 
 
b) 
 
Resposta: 4,76 
c) 
 
Resposta: 2,435 
d) 
 
Resposta: 1.006 
e) 
 
Resposta: 2.986 
f) 
 
Resposta: 0,454 
g) 
 
Resposta: 1,396 
h) 
 
Resposta: : 4,590 
i) 
 
Resposta: 3,038 
j) a) 
 
Resposta: 7,625 
j) b) 
 
Resposta: : 10,125 
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2 - Respostas: 
a) b) 10 
 
 
 
 
3) Usando estremo direito 1780 litros. 
 
 
4) Respostas: 
a) R: 2 b) R: 2 c) R: 10 d) R: 7/2 
e) R: 2 f) R: 0 g) R: 8/3 h) R: 4/9 
i) R: 3/4 j) R: -1 k) R: 16/3 l) R: 12 
m) R: 2 n) R: 32/3 o) R: - 2 + 3 ln2 p) R: 13/10 
q) R: 7/8 r) R: 20/3 s) R: 19/24 t) R: 2 + ln3 
u) R: 980/9 v) R: 
2 5
 w) R: 
1
5 (1)
4
e
sen


 
 x) R: 256/5 
 
5) a) 4899,66143,70352,00004,0 23  xxxy 
 
 
b) 
 
c) 
 
6) 2035,68 
 
7) Respostas: 
 
a) 
1 / 3
 u.a. b) 
4 / 3
 u.a. c) 
9 / 2
 u.a. d) 48 u.a. e) (e – 1) u.
 
f) 8 u.a. g) 8 u.a. h) 157/12 u.a i) 9 u.a. j) 8/3u.a. k) 20/3 ua 
 
 
 
-500
0
500
1000
1500
0 50 100 150
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8) Respostas: 
 
) 11 / 3 9 . .a u a
 
) 128 / 15 . .b u a
 
) 11 / 6 9 / 2 11 / 6 . .c u a 
 
 
 
9) Respostas: a) 
26
3

 b) 
2
 c) 
194
15

 d) 
2
7

 e) 
2
15

 f) 
5

 g) 
6

 
 
 
 
h) 

 i) 
3
2

 j) 
256
15

 k) 
3
172
 l) 
5
8
 
 
 
10) Respostas: a) 
16
15
 b) 
32 3
15
 c) 
2
 11) Respostas: a) 500 m b) 50 m/s 
 
 
12) Respostas: a) 112,34 m3 b) 3,74 m3/min c) 17,23 min 
 
 
13) a) 1 b) divergente c) 
2ln2
1
 d) 
2ln
1
2
 e) divergente f) 
2
 g) 0 h) 
4

 i) 
5ln2
1
