Introdução à relatividade geral

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Trabalho de Física 4 – Bacharelado em física - noturno 
Título: Introdução à Relatividade Geral 
Aluno: Jônata Santos Soares NoUSP: 10300699 
Física 4 - Prof a Dra. Maria Fernanda de Araújo Resende 
Introdução 
Neste texto iremos fazer uma breve introdução à relatividade geral de Einstein, com o objetivo de 
mostrar a dedução das equações de campo de Einstein. Para isto, faremos uma breve revisão das 
transformações de Lorentz, em seguida apresentaremos uma revisão da teoria da relatividade restrita: 
descrevendo-a por meio dos quadrivetores e apresentando a forma tensorial do eletromagnetismo. 
Depois, usaremos o formalismo lagrangiano para deduzir a equação de Euler-Lagrange 
relativística e consequentemente, deduzir a famosa equação geodésica. No final, daremos uma breve 
introdução à relatividade geral, apresentando conceitos básicos e deduzindo as equações de campo de 
Einstein. 
Transformações de Lorentz 
As transformações de Lorentz são um conjunto de equações que descrevem a mudança de 
coordenadas entre 2 referenciais inerciais de forma que se respeite o princípio da relatividade, que afirma 
que não existe um sistema inercial privilegiado. Sejam (x′,y′,z′,t′) e (x,y,z ,t ) 2 referenciais 
inerciais; sabemos que as transformações de Lorentz são escritas como: 
x′ = γ(x − vt) y′ = y z′ = z 
{ 
t′ = γ (t − 
vx c2 
) 
O interessante é que podemos escrever este conjunto de equações de outras formas. Pela 
covariância das transformações de Lorentz, podemos escrevê-las como uma rotação no plano (ct,x), pois y 
e z são constantes, da forma 
{ 
x′ ct′ = = −ct ct coshψ sinhψ − + x x sinhψ coshψ 
O ângulo ψ é chamado de parâmetro de rapidez, ele é determinado como 
tan−1 ( 
v c 
) = ψ. Esta parametrização é coerente, devido ao fato de cosh2ψ − sinh2ψ = 1 e por esta 
informação, ds2 é invariante, ficando de acordo com o princípio da relatividade. Assim, quando queremos 
escrever as componentes do sistema S em função das variáveis de S’, basta trocar as posições dos termos 
de S’ pelos de S e vice-versa, pois a transposta da matriz de rotação é a mesma que a matriz original; e 
isto será usado na descrição da dilatação do tempo. 
 
Agora vamos escrevê-las na notação tensorial. Antes disso, definiremos uma nova notação para as 
coordenadas espaço-temporais como sendo xμ = (ct,x1,x2,x3), onde x1 = x; x2 = y e x3 = z. Dada esta 
notação, podemos escrever o conjunto de equações acima como 
x′μ = Λ 
μ ν 
xν 
onde Λ 
μ ν 
é representada na forma matricial por 
(Λ 
ν 
γ −βγ 0 0 
μ 
) = ( 
−βγ 0 γ 0 0 1 0 0 
) sendo β = 
v c 
e γ = 
√1−β2 1 
0 0 0 1 
Esta matriz é chamada de matriz de Lorentz. 
Sabemos que a métrica no espaço de Minkowski é invariante, ou seja, 
ds2 = ds′2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = g 
μν 
dxμdxν, 
onde g 
μν 
é o chamado tensor métrico, que matricialmente é escrito como 
(g 
μν 
−1 0 0 0 
) = ( 
0 0 1 0 0 1 0 0 
) 
0 0 0 1 
Usando as igualdades entre as métricas, temos que 
g 
μν 
dxμdxν = g 
μν 
dx′μdx′ν = g 
μν 
μ 
dxαΛ 
β ν 
dxβ = g 
μν 
μ 
Λ 
β ν 
dxαdxβ ≡ g 
αβ 
dxαdxβ 
Isto implica em 
g 
μν 
Λ 
α 
Λ 
α 
Λ 
μ α 
Λ 
β ν = g 
αβ 
que é chamada de condição de Lorentz. 
Portanto concluímos que o conjunto das transformações de Lorentz formam um grupo chamado 
grupo de Lorentz. Por meio destas transformações podemos chegar nos dois resultados clássicos que 
antecedem a teoria da relatividade restrita de Einstein a dilatação do tempo e a contração do espaço (ou de 
Lorentz). 
Dado um deslocamento em x’, denotamos x 
B ′ − x 
A ′ = l 
0 
como o comprimento próprio do objeto. 
Usando as transformações de Lorentz, podemos escrever as seguintes equações: 
x 
B ′ = γ(x 
B 
) 
x 
A 
− vt 
B 
′ = γ(x 
A 
− vt 
A 
) 
 
′ subtraindo as duas equações, obtemos: x B 
− x 
A ′ = γ(x 
B 
− x 
A 
) − v(t 
B 
− t 
A 
), mas o tempo no referencial 
S não variou, e portanto t 
B 
= 0. Assim, encontramos a chamada contração do espaço: 
x 
B 
− t 
A 
′ − x 
A ′ = γ(x 
B 
− x 
A 
) = l 
0 
= γl ⇒ l = 
l 
0 γ 
Agora consideremos uma variação temporal t 
A 
o tempo inicial; consequentemente, t 
B ′ − t 
A ′ em S, sendo t 
B ′ ′ = t A 
+ t 
0 
o tempo final e = t 
0 
. Escrevendo as transformações de Lorentz para os 
intervalos de tempo em S: 
t 
B 
′ − 
vx 
c2 
B ′ 
) 
t 
A 
= γ (t 
B 
= γ (t 
A ′ − 
vx c2 
A ′ 
) 
fazendo o procedimento como feito para a contração do espaço, obtemos: t 
B 
= γ(t 
B − ′ − t 
A ′) − 
c2 v 
t 
A (x 
B ′ − x 
A ′) ; porém estes intervalos de tempo foram medidos para um mesmo deslocamento em S’, ou seja, x 
B 
′. Então, chegamos a equação da dilatação do tempo: 
t 
B 
′ = x 
A 
− t 
A 
= γ(t 
B ′ − t 
A ′) ⇒ t = γt 
0 
Agora discutiremos o conceito de tempo próprio, que será muito importante para o 
prosseguimento do texto. O intervalo de tempo próprio é definido como o intervalo de tempo no 
referencial no qual o corpo está instantaneamente em repouso, ele é representado pela letra dτ. 
Considere, no referencial S’, um corpo em repouso num intervalo de tempo dτ; sabemos então que há 
um tempo correspondente no referencial S, além disso, a métrica é invariante, então ds2 = ds′2, isto 
consequentemente implica que 
ds2 = ds′2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = −c2dτ2 ⇒ dτ = 
dt γ 
consequentemente: τ = ∫ A B 
dτ 
= ∫ τ τ 
A 
B 
√1 − β(t)2 
dt . 
Outro tópico interessante que advém das transformações de Lorentz é a adição de velocidades na 
relatividade especial. Considere 2 referenciais inerciais S e S’, então denotamos v 
x ′ como a velocidade de um corpo qualquer em x’, v 
x 
a velocidade deste mesmo corpo em x e v a 
velocidade relativa entre S e S’. Então escrevemos: 
v 
x ′ = 
dx′ dt′ 
= 
γ(dx−vdt) 
γ(dt− 
vdx c2 
) 
= 
(1− dx dt 
c2 −v 
v 
dx dt 
) 
= 
1− v 
x 
−v vvx c2 
Para os eixos espaciais seguintes, o cálculo é semelhante, portanto será omitido deste texto. 
Dinâmica relativística 
Neste tópico iremos discutir os conceitos de força, momento e energia na relatividade restrita. A 
discussão destas grandezas se resume em apresenta-las no espaço quadridimensional 
 
para escrever a segunda lei de Newton na forma covariante. E fazemos isto escrevendo estas grandezas na 
forma de quadrivetores. 
Primeiro vamos definir a quadrivelocidade, definida como 
uμ = 
dτ 
μ 
onde τ é o chamado tempo próprio, que é o tempo medido no referencial S’ e suas componentes são 
dadas por uμ = ( 
dx 
dx 
dτ 
0 
, 
dr ⃗ dτ 
) = (γ,γv⃗). Um item importante é que ao longo deste texto iremos 
considerar c = 1. 
Deste fato, vemos que uμu 
μ 
uμuν = −γ2 + γ2v2 = −γ2(1 − v2) = −1. 
Dada esta definição, podemos escrever a segunda lei de Newton na forma covariante como 
m 
= g 
μν 
d2x 
μ 
dτ2 
du 
dτ 
μ 
= Fμ 
onde 
= m 
d2x 
dτ2 
μ 
= aμ é a quadraceleração e suas componentes são aμ = (γ4v⃗.a⃗,γ4(v⃗.a⃗)v⃗ + γ2a⃗), a⃗ sendo a 
aceleração tridimensional. 
Agora derivando a expressão uμu 
μ 
= −1 em relação à τ, obtemos 
uμ 
du 
dτ 
μ 
+ u 
μ 
du 
dτ 
μ 
= 0 ⇒ m(uμ 
du 
dτ 
μ 
+ u 
μ 
du 
dτ 
μ 
) = 0 ⇒ uμg 
μν 
m 
du dτ 
ν 
+ u 
μ 
m 
du 
dτ 
μ 
= 0 
uμg 
μν 
Fν + u 
μ 
Fμ = 0 ⇒ u 
μ 
Fμ = 0 ⇒ u 
μ 
aμ = 0. 
Agora calcularemos as componentes de Fμ. Suas componentes espaciaissão escritas como γF⃗. Já 
a componente temporal é dada por γF⃗.v⃗. Portanto Fμ = γ(F⃗.v⃗,F⃗). 
Outra grandeza é o quadrimomento definido por pμ = muμ = (mγ,mγv⃗). Fazendo o produto 
escalar, obtemos 
pμp 
μ 
= m2uμu 
μ 
= −m2 
Também podemos escrever a segunda lei de Newton da forma 
dp 
dτ 
μ 
= Fμ 
A partir destas equações iremos construir a energia relativística. Começaremos pela seguinte 
equação 
dp dτ 
0 
= 
dp dt 
0 
dτ dt 
= γ 
dt d 
(mγ) = γF⃗.v⃗ ⇒ 
dt d 
(mγ) = F⃗.v⃗ 
É sabido pela mecânica newtoniana que o produto escalar F⃗.v⃗ é a potência fornecida pela força F⃗ 
e como potência, por definição, é a variação temporal da energia, definimos a energia relativística por 
E = mγ = 
√1−v2 m 
e assim o quadrimomento também pode ser escrito como pμ = (E, p⃗). 
 
Voltando ao produto escalar pμp 
μ 
, ele também é equivalente a 
pμp 
μ 
= pμg 
μν 
pν = −(p0)2 + (p⃗)2 = −E2 + (p⃗)2 
Igualando a −m2, encontramos a relação energia-momento de Einstein: 
E2 = m2 + (p⃗)2 
fazendo uma expansão binomial a equação da energia relativísitica, obtemos a expressão 
E = m + 
1 2 
mv2 + 
3 8 
mv4 + 
16 5 
mv6 + ⋯ 
O segundo termo corresponde a energia cinética newtoniana e os termos seguintes são correções 
relativísticas à energia cinética clássica e primeiro termo é chamado de energia de repouso, que 
corresponde a famosa equação de Einstein 
E 
0 
= m 
Equação de Euler-Lagrange relativística e a equação da geodésica 
Podemos usar o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento de uma partícula 
numa trajetória do espaço-tempo. Na relatividade restrita, as componentes do tensor métrico são 
constantes e isto implica que suas derivadas em relação ao tempo e às componentes espaciais são nulas; 
consequentemente as equações de movimento de um corpo serão determinadas pela dinâmica relativística 
discutida no item anterior. 
Mas na relatividade geral, o tensor métrico não é constante, implicando que suas derivadas são 
diferentes de zero. Ou seja, as componentes deste tensor variam com o tempo e com as coordenadas 
espaciais, como a geometria do espaço-tempo curvo é determinada pelo tensor métrico, devemos achar 
uma nova equação de movimento para um corpo nesta nova geometria, mantendo a invariância das leis 
físicas sobre quaisquer referenciais. Esta equação é a chamada equação geodésica. 
Antes de a obtermos, usaremos o cálculo variacional para determinar a equação de 
Euler-Lagrange relativística, a solução desta equação nos dará uma outra equação diferencial que será a 
equação geodésica. 
Começamos definindo a ação relativística pela integral: 
B S = ∫ dτ 
A 
L {xμ, 
dxμ dτ 
} 
onde L é a lagrangiana. Um item importante é que a lagrangiana nem sempre será a energia 
cinética menos a energia potencial, como definida na mecânica clássica. 
Fazendo δS = 0, e lembrando das condições de mínimo, obtemos a equação 
 
∂L ∂xμ ∂L 
− 
dτ d 
( 
∂( 
) = 0 
que é a equação de Euler-Lagrange relativística. Mas fazendo uma mudança de variáveis como a 
descrita abaixo 
σ = 
dxμ dτ 
) 
τ 
A 
−τ 
τ = τ 
A ⇒ τ 
A 
se { 
τ = τ 
B ⇒ σ σ = −τ 
B 
= 0 1 
⇒ σ ∈ [0,1] 
e utilizando o fato de que 
dτ2 = −ds2 ⇒ dτ = √−g 
μν 
dxμ dσ 
dxν dσ 
Escrevemos a ação relativística, com esta mudança, da forma 
S = ∫ dτ 
dxμdxν ⇒ 
dσ dτ 
= √−g 
μν 
τ 
B 
ν 
τ 
A 
= ∫ 0 
1 
dσ dτ 
dσ 
= ∫ 0 
1 
√ 
−g 
μν 
μ 
ν 
dσ 
dσ 
dσ 
Onde L é definida como a lagrangiana relativística e semelhante ao feito anteriormente, escrevemos a 
equação de Euler-Lagrange nesta nova variável como 
∂L ∂xμ 
dx 
dx 
dσ 
→ L{xμ, 
dxμ dσ 
} = 
√ 
−g 
μν 
dx 
μ 
dx dσ 
d 
∂L dσ 
∂( 
) = 0 
Então a equação obtida acima é a chamada equação de Lagrange relativística e vemos que, como 
dito numa observação, a lagrangiana não é a mesma que a da mecânica clássica; na relatividade ela 
corresponde a raiz quadrada do negativo da métrica de Minkowski. Usando esta equação, prosseguiremos 
como num problema de mecânica 1, resolveremos a equação de Lagrange e sua solução será a equação de 
movimento do corpo na geometria do espaço-tempo da relatividade geral, a chamada equação geodésica. 
A partir da equação acima, calculamos as derivadas em relação à uma linha qualquer da 
geometria espaço-temporal xλ 
∂L ∂xλ 
− 
( 
dxμ dσ 
) 
1 
∂g 
αβ 
dx 
α 
dx 
β 
β 
2L 
∂xλ 
dσ 
dσ 
L 
∂g 
αβ 
dx 
α 
dx 2 
∂xλ 
dτ 
dτ 
(A) 
∂L 
∂( 
= − 
= − 
1 
β 
L 
dx 
dσ 
(B) 
Fazendo a derivada de (B) em respeito a σ, obtemos a expressão: 
− 
dx 
dσ 
λ 
) 
= − 
g 
λβ 
d 
∂L 
d 
1 
dx 
β 
d 
dx 
β 
β 
dσ 
∂( 
dσ 
L 
dσ 
dτ 
dτ 
d2x 
β 
dτ2 
dg 
dτ 
λβ 
dx 
dτ 
] (C) 
Agora substituindo a expressão (C) e a equação (A) na equação de Euler-Lagrange, temos: 
− 
( 
dx 
dσ 
μ 
) 
) = − 
(− 
g 
λβ 
) = L 
(g 
λβ 
) = L [g 
λβ 
+ 
L 
β 
2 
∂g 
∂xλ 
αβ 
dx 
dτ 
α 
dx 
dτ 
β 
+ L [g 
λβ 
d 
dτ2 
2 
x 
β 
+ 
dg 
dτ 
λβ 
dx 
dτ 
β 
] = 0 = − 
1 2 
∂g 
∂xλ 
αβ 
dx 
dτ 
α 
dx 
dτ 
β 
+ [g 
λβ 
d 
dτ2 
2 
x 
β 
+ 
dg 
dτ 
λβ 
dx 
dτ 
] ⇒ 
 
β ⇒ g 
λβ 
d 
dτ2 
2 
x 
β 
− 
1 2 
∂g 
∂xλ 
αβ 
dx 
dτ 
α 
dx 
dτ 
β 
+ 
∂g 
∂xγ 
λβ 
dx 
dτ 
γ 
dτ dx 
= 0 e rearranjando os termos, ficamos com: 
g 
λβ 
d 
dτ2 
2 
x 
β 
+ ( 
∂g 
∂xγ 
λβ 
− 
1 2 
∂g 
∂xλ 
γβ 
) 
dx 
dτ 
γ 
dx 
dτ 
β 
= 0 ; 
∂g 
∂xγ 
λβ 
− 
1 2 
∂g 
∂xλ 
γβ 
= 
1 2 
( 
∂g 
∂xγ 
λβ 
+ 
∂g 
∂xγ 
λβ 
− 
∂g 
∂xλ 
γβ 
) (D) 
Posso escrever a equação obtida em (D) trocando a ordem entre β e γ nas derivadas temporais e então 
acrescento um termo 
∂g ∂xβ 
λγ 
na expressão dentro do parêntesis; e isto resulta em 
g 
λβ 
d 
dτ2 
2 
x 
β 
+ 
1 2 
( 
∂g 
∂xγ 
λβ 
+ 
∂g ∂xβ 
λγ 
− 
∂g 
∂xλ 
γβ 
) 
dx 
dτ 
β 
dx 
dτ 
γ 
= 0 
Por fim, multiplicando toda a equação por gελ e sabendo que gελg 
λβ 
ε, obtemos 
d 
= δ 
β 
dτ2 
2 
x 
ε 
+ 
1 2 
gελ ( 
∂g 
∂xγ 
λβ 
+ 
∂g 
∂xβ 
λγ 
− 
∂g 
∂xλ 
γβ 
) 
dx 
dτ 
β 
dx 
dτ 
γ 
= 0 
Finalmente, escrevendo numa forma mais compacta: 
d2xε dτ2 
+ Γ 
βγ ε 
dxβ dτ 
dxγ dτ 
= 0 
que é a chamada equação geodésica. 
Onde Γ 
βγ ε 
= 
1 2 
gελ ( 
∂g 
∂xγ 
λβ 
+ 
∂g ∂xβ 
λγ 
− 
∂g 
∂xλ 
γβ 
) é definido como símbolos de Christoffel . 
Os símbolos de Christoffel são simétricos à troca de índices inferiores, porém eles não são 
tensores. 
Equações de Maxwell na forma covariante 
As equações de Maxwell constituem um conjunto de 4 equações diferenciais parciais que 
sintetizam, juntamente com a força de Lorentz, o estudo do eletromagnetismo e a óptica. 
Pelo princípio de equivalência da relatividade especial, sabemos que as leis físicas são invariantes                           
perante mudança de referenciais inerciais. Por isso, é interessante escrever as equações de Maxwell na                             
forma covariante, pois assim elas serão válidas para quaisquerreferenciais inerciais, e estarão numa forma                             
mais compacta e elegante. 
Sejam as equações de Maxwell: 
∇⃗⃗⃗.E⃗⃗ = 
ε ρ 
0 
∇⃗⃗⃗ × E⃗⃗ = − 
∂B ⃗⃗ ∂t 
∇⃗⃗⃗.B⃗⃗ = 0 ∇⃗⃗⃗ × B⃗⃗ = μ 
0 
j⃗+ μ 
0 
ε 
0 
∂E ⃗⃗ ∂t 
Escrevendo-as no sistema CGS, temos: 
 
∂B⃗⃗ ∇⃗⃗⃗.E⃗⃗ = 4πρ ∇⃗⃗⃗ × E⃗⃗ = − 
∂t 
∇⃗⃗⃗.B⃗⃗ = 0 ∇⃗⃗⃗ × B⃗⃗ = 4πj⃗+ 
∂E ⃗⃗ ∂t 
Por facilidade consideramos c = 1 ao longo do texto. 
Outra equação muito importante é a equação da continuidade: 
+ ∇⃗⃗⃗.j⃗ = 0 . 
Para escrever as equações de Maxwell e a equação da continuidade na forma covariante, devemos 
construir quadrivetores correspondentes às grandezas vetoriais envolvidas neste conjunto de equações, no 
caso, para os campos elétrico, magnético e densidade de corrente. 
O campo elétrico pode ser descrito pelo quadrivetor Eμ = (0,E1,E2,E3), o campo magnético por 
Bμ = (0,B1,B2,B3) e a densidade de corrente jμ = (ρ,j1,j2,j3). A componente 0 de E e B é nula pois ela 
não varia com o tempo. Com esta notação, já podemos colocar nossas equações na forma tensorial. 
A primeira será a equação da continuidade, que definido o operador 
∂ 
μ 
∂t ∂ 
,∇⃗⃗⃗); escrevemos como: 
∂ 
μ 
∂ρ ∂t 
= ( 
jμ = 0 
Sabemos que os campos elétricos e magnéticos podem ser escritos em função dos potenciais 
escalar e vetor (devido ao teorema de Helmholtz) como: 
B⃗⃗ = ∇⃗⃗ × A⃗ e E⃗⃗ = −∇⃗⃗φ − 
∂A ⃗ ∂t 
onde A⃗ é o chamado potencial vetor e φ chamado potencial escalar. Devido à este fato, é definido um 
quadrivetor potencial Aμ como Aμ = (φ,A⃗). Dada esta definição, podemos definir um tensor covariante 
Fμν chamado tensor campo eletromagnético (ou de Maxwell) como sendo 
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ 
sendo: ∂μ = gμν∂ 
ν 
= (− 
∂t ∂ 
,∇⃗⃗⃗) . 
Exemplo: F01 = ∂0A1 − ∂1A0 = − 
∂A ∂t 
x 
∂φ ∂x 
= E1 . 
Seguindo esta lógica, obtemos a matriz do tensor de Maxwell que está representada abaixo 
(Fμν) = ( 
− 
= E 
x 
0 E1 E2 E3 −E1 0 B3 −B2 −E2 −B3 0 B1 −E3 B2 −B1 0 
) 
 
É importante ressaltar que o tensor de Maxwell é um tensor antissimétrico; e assim, podemos escrever as 
equações de Maxwell de uma forma compacta e elegante por 
∂ 
μ 
Fμν = 4πjν 
∂ρFμν + ∂μFνρ + ∂νFρμ = 0 
e as componentes do campo elétrico e magnético em outro referencial de Lorentz são obtidas 
pelas transformações 
A′μ = Λ 
μ ν 
Aν e F′μν = Λ 
μ l 
Λ 
νFlk k 
. 
Agora, consideremos uma partícula carregada imersa num campo eletromagnético, então pela 
segunda lei de Newton, sua equação de movimento é dada por 
dp 
dτ 
μ 
= m 
du 
dτ 
μ 
= qF 
ν 
μ 
uν 
Mas lembremos que a equação de movimento de um corpo sobre o espaço-tempo curvo é dada 
pela equação geodésica; só que neste caso em que há um campo eletromagnético, ela não será igualada a 
zero e sim a contribuição do campo eletromagnético, ficando da forma: 
d2xμ dτ2 
+ Γ 
νγ μ 
dxν dτ 
dxγ dτ 
= 
m q 
F 
ν 
μ 
dxν dτ 
Equações de campo de Einstein 
Até aqui, foi discutido de forma breve e sucinta, a teoria da relatividade restrita de Einstein, onde 
há a covariância das leis físicas perante a condição de Lorentz. De agora em diante, iremos dar uma breve 
introdução à relatividade geral. A teoria da relatividade geral, diferente da relatividade restrita, estuda não 
só os referenciais em movimento uniforme, mas também os referenciais acelerados; contudo sempre 
mantendo o princípio de equivalência, de que não existe um referencial privilegiado, implicando na 
covariância das leis físicas. 
Um item importante é que na relatividade geral, a aceleração é o que causa a curvatura do 
espaço-tempo. Portanto, na relatividade restrita, há ausência de curvatura no espaço. Com isto, quando 
temos um corpo acelerado, ele curva o espaço-tempo, implicando que o tensor métrico é variável com as 
coordenadas espaço-temporais. Mostraremos isto a seguir. 
Considere 2 observadores A e B. O observador A está num referencial que se move em 
movimento uniforme, já B está num referencial acelerado. Escrevendo o intervalo invariante para A, 
temos: 
ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = g 
μν 
dxμdxν (A) 
como B está num referencial acelerado, suas transformações de coordenadas são dadas por 
 
1 x′ = x − 
2 
at2; y′ = y;z′ = z;t′ = t 
Diferenciando as transformações obtidas: dx′ = dx − atdt ;dy′ = dy ;dz′ = dz ;dt′ = dt 
Substituindo na equação (A) e lembrando da invariância da métrica, obtemos que 
ds2 = ds′2 = −(1 − a2t2)dt′2 + 2at′dt′dx′ + dx′2 + dy′2 + dz′2 = g 
μν ′ dx′μdx′ν 
E portanto: 
(g 
μν 
−(1 − a2t′2) at′ 0 0 ′ ) = ( 
at′ 0 1 0 0 1 0 0 
) 
0 0 0 1 
o que queríamos mostrar. 
Para atender estas exigências, devemos escrever as equações que regem a relatividade geral como 
equações tensoriais, pois elas são invariantes perante uma mudança de coordenadas, o objetivo deste 
tópico é apresentar a equação que rege esta teoria, que são as equações de campo de Einstein, que consiste 
numa forma tensorial da equação de Poisson da mecânica Newtoniana. 
Iremos fazer uma aproximação de que a matéria é como um fluido ideal. Um fluido ideal é 
definido por não conduzir calor e que não tem viscosidade, além disso a pressão é a mesma em todas as 
direções. Consideremos c = 1 para todas as deduções. Então o tensor energia-momento, para um fluido 
ideal, pode ser escrito da forma: 
ρ 0 0 0 
(Tμν) = ( 
0 0 p 0 0 p 0 0 
) ; Tμν = (ρ + p)uμuν − pgμν 
0 0 0 p 
Por analogia com a equação da continuidade, podemos escrever a conservação da energia e do 
momento pela equação: 
∂ 
μ 
Tμν = 0 
Esta equação, com algumas manipulações, implica na famosa equação de Euler da mecânica dos 
fluidos. 
As equações da relatividade geral, como foi dito, são equações tensoriais; contudo sabemos as 
equações mais importantes da mecânica são equações diferenciais, ou seja, há derivadas. Mas as 
derivadas não se transformam como tensores e assim, elas não podem ser usadas na dedução da equação 
de Einstein. Para isto, temos que achar um correspondente a derivada que são as derivadas covariantes, 
que se transformam como tensores. 
Definimos a derivada covariante como: 
∇ 
μ 
Vα = ∂ 
μ 
Vα + Γ 
βμ 
α Vβ 
Semelhante ao feito para a derivada, a curvatura é o que determina a geometria do espaço-tempo, 
mas também não se transforma como tensores, então temos que definir uma curvatura generalizada, 
chamada de tensor curvatura de Riemann e o definimos como: 
R 
αβγ ε 
= ∂ 
β 
Γ 
αγ 
ε − ∂ 
γ 
Γ 
αβ ε 
+ Γ 
αγ 
λ Γ 
λβ ε 
− Γ 
αβ λ 
Γ 
λγ ε 
 
A partir desta definição, obtemos algumas propriedades importantes do tensor de Riemann, que serão 
utilizadas na dedução do tensor de Einstein. Aqui estão elas: 
a) R 
αβγε 
λ 
b) R 
αβγε 
= g 
αλ 
R 
βγε = −R 
βαγε 
; R 
αβγε 
= −R 
αβεγ 
; R 
αβγε 
= R 
γεαβ c) R 
αβγε 
+ R 
αγεβ 
+ R 
αεβγ 
= 0 d) ∇ 
λ 
R 
αβγε 
+ ∇ 
γ 
R 
αβελ 
+ ∇ 
ε 
R 
αβλγ 
= 0 (identidade de Bianchi) 
Dado este tensor, podemos escrever a curvatura Gaussiana K como 
κ = 
R 
1212 
g 
com g = det (g 
αβ 
) 
Outros tensores importantes na relatividade geral são o tensor de Ricci e a curvatura escalar, 
definidos como: 
R 
αβ 
≡ R 
αβγ γ 
(tensor de Ricci) 
R ≡ gαβR 
αβ 
(curvatura escalar) 
Por meio destes tensores falados até agora, podemos definir um novo tensor, um tensor no qual 
sua derivada covariante seja nula e que represente uma grandeza semelhante à um potencial. 
Considere a identidade de Bianchi: 
∇ 
λ 
R 
αβγε 
+ ∇ 
γ 
R 
αβελ 
+ ∇ 
ε 
R 
αβλγ= 0 
multiplicando esta identidade por g 
α 
α + ∇ 
α 
α = 0 
∇ 
λ 
ε temos que: ∇ 
λ 
R 
βγ 
+ ∇ 
γ 
R 
βαλ 
R 
βλγ 
R 
βγ 
− ∇ 
γ 
R 
βλα α 
+ ∇ 
α 
R 
βλγ α 
= 0 ⇒ ∇ 
λ 
R 
βγ 
− ∇ 
γ 
R 
βλ 
+ ∇ 
α 
R 
βλγ α 
= 0 
agora, multiplicando esta nova expressão por g 
β λ 
: 
∇ 
β 
R 
γ β 
− ∇ 
γ 
R + ∇ 
α 
R 
βγ αβ 
= 0 ⇒ ∇ 
β 
R 
γ β 
− ∇ 
γ 
R + ∇ 
β 
R 
γ β 
= 0 ⇒ 2∇ 
β 
R 
γ β 
− ∇ 
γ 
R = 0 
Escrevendo tudo em função de ∇ 
β 
: 
∇ 
β 
(R 
γ β 
− 
1 2 
δ 
γ β 
R) = 0 ⇒ ∇ 
β 
(Rβγ − 
1 2 
gβγR) = 0 
E enfim definimos 
Gμν ≡ Rμν − 
1 2 
gμνR 
como o tensor de Einstein. 
Dadas as definições anteriores, iremos deduzir as equações de campo de Einstein. Estas equações 
são as equivalentes à equação de Poisson na mecânica Newtoniana; onde o potencial gravitacional agora 
será o tensor de Einstein e a densidade de cargas é representada pelo tensor energia-momento. 
Seja a equação de Poisson: ∇2φ = 4πGρ 
 
= Consideremos que g 
00 
−(1 + 2φ), pois 2φ ≪ 1. Como estamos aproximando no limite 
clássico , então o tensor energia-momento só terá a componente T 
00 
= ρ . Assim, a equação de 
Poisson se torna da forma: 
∇2g 
00 
= −8πGT 
00 
A ideia fundamental de Einstein foi supor que o tensor curvatura do espaço-tempo era 
proporcional ao tensor energia momento, onde esta constante de proporcionalidade é a curvatura 
intrínseca. Então temos que 
K 
μν 
= κT 
μν 
, onde K 
μν 
é o tensor curvatura do espaço-tempo 
Mas a curvatura espaço-temporal também pode ser escrita em termos de outros tensores que                           
descrevem a geometria do espaço Riemanniano, que são: o tensor de Ricci, o tensor métrico e a curvatura                                   
escalar. Ou seja, 
K 
μν 
= aR 
μν 
+ bRg 
μν 
, onde a e b são constantes. 
Pela conservação de Tμν e pelo fato de que a derivada covariante do tensor métrico é nula, 
podemos escrever 
∇ 
μ 
Kμν = ∇ 
μ 
(aRμν + bRgμν) = 0 = ( 
1 2 
a + b)gμν∇ 
μ 
R ⇒ b = − 
1 2 
a 
fazendo uma comparação com a equação abaixo 
∇ 
μ 
(Rμν − 
1 2 
Rgμν) = 0 , chegamos na expressão: a (R 
μν 
− 
1 2 
Rg 
μν 
) = κT 
μν 
para satisfazer o limite Newtoniano, temos que considerar a = -1 e portanto: 
R 
μν 
− 
1 2 
Rg 
μν 
= 8πGT 
μν 
e assim chegamos as equações de campo de Einstein: 
G 
μν 
= 8πGT 
μν 
Agora deduzida a equação de Einstein, podemos estudar alguns casos interessantes dela. O 
primeiro é escrevê-la para o vácuo. Sabemos assim, que no vácuo, o tensor energia-momento é 0, então: 
R 
μν 
− 
1 2 
Rg 
μν 
= 0 
multiplicando por gμν, obtemos que R = 0 e consequentemente R 
μν 
= 0 . 
Enfim, falaremos da constante cosmológica. Podemos adicionar ao tensor de Einstein um termo 
implicando que a derivada do tensor métrico se anula, este termo é descrito como Λg 
μν 
, onde Λ é denominada constante cosmológica; ela foi adicionada pelo Einstein e assim descreve 
um universo estático. 
Temos que as equações de Einstein serão escritas da forma 
R 
μν 
− 
1 2 
Rg 
μν 
+ Λg 
μν 
= 8πGT 
μν 
Porém, anos depois, Hubble mostrou que o universo se expandia e então a constante cosmológica 
não existia, o próprio Einstein falou que ter colocado este termo foi o maior erro da sua vida. Só que em 
anos recentes, na década de 1960-1970, descobriram que o universo está se expandindo de maneira 
acelerada e isto seria filiado a existência de uma energia extra, que foi 
 
denominada energia escura e esta energia pode ser representada pela constante cosmológica. Ou seja, ao 
que tudo indica, Einstein acertou novamente.