ESTUDO DE CASO grupos isomorfos

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ESTUDO DE CASO 
MÓDULO/FASE Módulo B – Fase II (2019) - Bacharelado 
DISCIPLINAS Análise Real 
Estrutura Algébrica 
Eletiva I 
TEMA Álgebra moderna: grupos isomorfos 
ESTUDO DE 
CASO 
 
Uma aplicação 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐻 é um isomorfismo se, e somente 
se, 𝑓 é um homomorfismo bijetor. Neste caso, dizemos que 
𝐺 e 𝐻 são grupos isomorfos e denotamos por 𝐺 ≅ 𝐻. 
Entende-se por grupos isomorfos aqueles que possuem a 
mesma estrutura algébrica. 
Assim, para verificarmos se uma aplicação é um 
isomorfismo faz-se: 
(I) (I) Verificação se a aplicação é um homomorfismo; 
(II) (II) Verificação se a aplicação é bijetiva. 
 
Definição: Dá-se o nome de homomorfismo de um grupo 
(𝐺,∗) num grupo (𝐽,∙ ) a toda aplicação 𝑓: 𝐺 → 𝐽 tal que, 
quaisquer que sejam 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺: 
𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦). 
Definição: Seja 𝑓: 𝐺 → 𝐻 um homomorfismo 
 Se 𝑓 é injetora, dizemos que ela é um monomorfismo. 
 Se 𝑓 é sobrejetora, dizemos que ela é um epimorfismo. 
 Se 𝑓 é bijetora, dizemos que ela é um isomorfismo. 
 Um isomorfismo de um grupo para ele mesmo é 
chamado um automorfismo. 
 
Por definição, todo isomorfismo é um homomorfismo. No 
entanto, nem todo homomorfismo é um isomorfismo. 
 
Vejamos os exemplos: 
1. Se 𝐺 = 𝐽 = (ℤ, +), então 𝑓: 𝐺 → 𝐽, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 é um 
homomorfismo de grupos porque 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 2(𝑥 +𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺. 
 
2. A função 𝑓(𝑥) = log(𝑥) é um isomorfismo de 𝐺 = (ℝ∗+ ,∙) 
em 𝐽 = (ℝ, +) porque : 
i) 𝑓: ℝ∗+ → ℝ, 𝑓(𝑥) = log(𝑥) é bijetora. 
ii) para ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ∗ temos: 
𝑓(𝑥 ∙ 𝑦) = log(𝑥 ∙ 𝑦) = log(𝑥) + log(𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦). 
 
QUESTÃO 
ORIENTADORA 
 
Sobre as características de isomorfismo das funções, 
considere a seguinte situação problema: 
 
1 - Considere os grupos (ℝ, +) e (ℝ+,∙). Seja 𝑓: ℝ → ℝ+ 
definida por 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑎. Analise e explique se 𝑓 é um 
isomorfismo, (onde ℝ é o conjunto dos reais). 
 
2) Verifique se 𝑃3(ℝ) é um isomorfismo à ℝ
4, onde 
𝑃3(ℝ) = {𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} 
e ℝ4 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑); 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} 
 
3) Baseado nas duas situações apresentadas pelo professor 
no problema, retire das referências uma terceira situação 
(que poderia ser sugerida por ele), para que os estudantes 
de sua sala de aula pudessem aprimorar seus 
conhecimentos sobre isomorfismo. 
 
 
 
 
Solução 
 
1 - Considere os grupos (ℝ, +) e (ℝ+,∙). Seja 𝑓: ℝ → ℝ+ 
definida por 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑎. Analise e explique se 𝑓 é um 
isomorfismo, (onde ℝ é o conjunto dos reais). 
Solução: 
i) a aplicação f, em 𝑓: ℝ → ℝ+ definida por 𝑓(𝑎) = 𝑒𝑎 
𝑓(𝑥 + 𝑦) = e(𝑥 +𝑦) = e𝑥 . e𝑦 = 𝑓(𝑥) . 𝑓(𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ 
Logo, é um homomorfismo de grupos (a operação do 
domínio é a soma e a operação do contradomínio é a 
multiplicação) 
 
ii) a aplicação 𝑓 é injetora 
∀x, y ∈ ℝ , f(x) = f(y) ⇒ e𝑥 = e𝑦 ⇒ x = y. 
 
iii) a aplicação 𝑓 é sobrejetora 
∀y ∈ ℝ+ ⇒ ∃ x = loge (y) ∈ ℝ : f(x) = e
log
e
 (y) = y. 
 
iv) 𝑓 é injetiva e sobrejetiva, então 𝑓 é bijetiva. 
 
 
v) portanto 𝑓 é um homomorfismo e bijetiva, então 𝑓 é um 
isomorfismo. 
 
 
 
2) Verifique se 𝑃3(ℝ) é um isomorfismo à ℝ
4, onde 
𝑃3(ℝ) = {𝑎𝑥
3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} 
e ℝ4 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑); 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ} 
Solução: 
Para todo x ∈ ℝ. Assim, temos que a = b = c = d = 0. 
Não é um isomofismo, pois não é bijetora. 
 
 
 
 
3) Baseado nas duas situações apresentadas pelo professor 
no problema, retire das referências uma terceira situação 
(que poderia ser sugerida por ele), para que os estudantes 
de sua sala de aula pudessem aprimorar seus 
conhecimentos sobre isomorfismo. 
Solução: 
Seja f: G → H um isomorfismo, mostre que então f−1 : H →G 
também é um isomorfismo. 
Demonstração: Seja f : G→H um isomorfismo. Como f é 
bijetora, a inversa f−1 : H→G de f existe e também é bijetora. 
Logo, nos resta provar apenas que f−1 é um homomorfismo 
de grupos. Sendo assim, 
∀ x, y ∈ H ⇒ ∃ a, b ∈ G tal que x = f(a) e y = f(b) ⇒ 
f−1(x) = a e f−1(y) = b 
Portanto, f−1 é um homomorfismo pois: 
f−1(xy) = f−1(f(a) f(b)) = f−1(f(ab)) = ab = f−1(x) f−1(y) 
 
 
REFERENCIAL 
TEÓRICO 
 
GALDINO, A. L. Álgebra I. 
https://galdino.catalao.ufg.br/up/635/o/algebra_I_ead_v1.pdf. 
Acesso em 12 de jul. de 2019. 
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA. O conceito de isomorfismo. 
https://www.youtube.com/watch?v=mYOdklO_4nk. Acesso em 12 
de jul. de 2019. 
FAGUNDES, P. L. Elementos de Álgebra. 
https://www.youtube.com/watch?v=Jx8QjqUWGvE. Acesso em 12 
de jul. de 2019. 
EPIC MATH TIME. What does isomorphic mean? What is an 
isomorphism? https://www.youtube.com/watch?v=ZPbYriK_gCs. 
Acesso em 12 de jul. de 2019.