Calculo2-2015-02-P1_DG

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - Instituto de Matemática
Disciplina: Cálculo II Uni�cado - MAC128
Data: 15/12/2015
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QUESTÃO DISSERTATIVA [Valor: 3 pontos]
Encontre as solução geral da equação diferencial
y′′ + y′ = e−x.
SOLUÇÃO
A solução da equação homogênea y′′ + y′ = 0 é
yh(x) = C1 + C2 e
−x.
A solução particular da equação não-homogênea tem a forma:
yp(x) = Ax e
−x.
Derivando yp temos:
yp
′(x) = (−Ax+ A) e−x.
yp
′′(x) = (Ax− 2A) e−x.
Assim,
yp
′′ + yp′ = −A e−x = e−x.
Logo, A = −1 e yp(x) = −x e−x.
Finalmente, a solução geral da equação é
y(x) = C1 + (C2 − x) e−x.
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