Irracionalidade e Transcendência do Número de Euler

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO CEARÁ
CAMPUS CRATEÚS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
FRANCISCO ELENILTON OLIVEIRA PAIVA
A IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO DE EULER
CRATEÚS
2017
FRANCISCO ELENILTON OLIVEIRA PAIVA
A IRRACIONALIDADE E TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO DE EULER
Trabalho de Conclusão de Curso apresen-
tado ao Curso de Graduação em Licencia-
tura em Matemática do Campus Crateús
do Instituto Federal de Educação, Ciência
e Tecnologia do Ceará, como requisito
parcial à obtenção do grau de licenciado em
Licenciatura em Matemática.
Orientador: Elano Caio do Nascimento.
CRATEÚS
2017
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação 
Instituto Federal do Ceará - IFCE
Sistema de Bibliotecas - SIBI
Ficha catalográfica elaborada pelo SIBI/IFCE, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
Pi Paiva, Francisco Elenilton Oliveira.
 A Irracionalidade e Transcendência do Número de Euler / Francisco Elenilton Oliveira Paiva. - 2017.
 33 f. : il. 
 Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) - Instituto Federal do Ceará, Licenciatura em
Matemática, Campus Cratéus, 2017.
 Orientação: Prof. Me. Elano Caio do Nascimento.
 1. Números Algébricos. 2. Irracionalidade do Número de Euler. 3. Transcendência do Número de
Euler. I. Titulo.
 CDD 510
Este trabalho é dedicado à todos que me ajuda-
ram nessa trajetória, em especial ao meu pai.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradecer a Deus por tudo que ele me proporcionou ao longo dessa trajetória,
por todas as realizações e as oportunidades de me levantar cada vez mais forte de cada tropeço.
Agradeço toda a minha família, minha mãe, irmã e em especial meu pai por estar junto comigo
todos os dias dessa caminhada. Agradeço a minha esposa pela paciência, por estar me dando
força, me incentivando e me ajudando a vencer todo os desafios do dia-a-dia. Agradeço aos
professores do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência
e Tecnologia do Ceará - Campus Crateús, em especial ao meu orientador Elano Caio e aos
professores Jucivânio Félix, João Luiz e João Victor pelas lições ensinadas no decorrer do curso
e por terem me ensinado a gostar cada vez mais da matemática e a todos os colegas que fiz ao
longo do curso pelo incentivo.
A todos muito obrigado!
RESUMO
O objetivo principal do trabalho, é demonstrar a irracionalidade e a transcendência do número
e (ou número de Euler). Os conceitos utilizados ao longo desse trabalho baseia-se em de-
monstrações de grandes matemáticos como, Ivan Niven (1947), que fez uma simplificação da
demonstração da irracionalidade pi feita por J. H. Lambert (1761), J. Liouville que demonstra a
existência dos números transcendentes em 1844 e Hurwitz (1893) que demonstrou a transcendên-
cia do número e. O número de Euler, será apresentado como o limite infinito de uma sequência
de números reais, a partir dessa definição mostraremos sua irracionalidade. A demonstração da
transcendência de e, será feita por uma série de lemas, teoremas e pelo estudo de um polinômio
de coeficientes inteiros, juntamente com fato de supormos que e seja algébrico, a partir dessa su-
posição, encontraremos a contradição de que existe um número inteiro, cujo o seu valor absoluto
esteja entre os números 0 e 1. Assim, vamos poder concluir que o mesmo é transcendente.
Palavras-chave: Números algébricos. Irracionalidade do número de Euler. Transcendência do
número de Euler.
ABSTRACT
The main objective of the paper is to demonstrate the irrationality and transcendence of the
number e (or number of Euler). The concepts used throughout this work are based on demons-
trations by great mathematicians such as Ivan Niven (1947), who made a simplification of the
demonstration of irrationality pi made by JH Lambert (1761), J. Liouville who demonstrates the
existence of transcendent numbers in 1844 and Hurwitz (1893) who demonstrated the transcen-
dence of the number e. The Euler number will be presented as the infinite limit of a sequence of
real numbers, from this definition we will show its irrationality. The proof of the transcendence
of e will be made by a series of lemmas, theorems, and the study of a polynomial of integer
coefficients, together with fact that we assume that e is algebraic, from this assumption we will
find the contradiction that there is an integer whose absolute value is between the numbers 0 and
1. So we can conclude that it is transcendent.
Keywords: Algebraic numbers. Irrationality of Euler’s number. Transcendence of Euler’s
number.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 SEQUÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Sequências de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 OS NÚMEROS ALGÉBRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 IRRACIONALIDADE DO NÚMERO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho, tem como principal objetivo, fazer uma demonstração da
irracionalidade e transcendência do número e. O número e, conhecido como constante de Euler,
é um número irracional cuja sua aproximação é de 2,718.... O número de Euler, aparece em
diversas áreas da matemática e entre elas no estudo de logaritmos e juros composto.
O estudo dos logaritmos, iniciou-se com John Napier (1550 – 1617), cuja a definição
formal temos a seguir. “Dados dois números reais a e b positivos com a 6= 1, chama-se logaritmo
de b na base a, o expoente que se deve dar a base a, de modo que a potência obtida seja igual a
b”. O principal objetivo no estudo dos logaritmos, era o de proporcionar uma maneira menos
trabalhosa, para a realização de cálculos com números de valores muito alto. Uma vez que na
época, a realização de cálculos com esses números, era algo extremamente trabalhoso.
Henry Briggs (1561 – 1631) sugeriu trabalhar com logaritmos na base 10, poste-
riormente surgiu trabalhos apresentando a base natural. O logaritmo natural ou logaritmo na
base natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, aparece frequentemente nos
processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o
estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.
Como ja mencionado anteriormente o número e também aparece no estudo de juro
composto, imaginemos um exemplo feito Maor (2008) em e: A história de um número (MAOR,
2008), para visualizarmos tal fato. Suponha um investimento com capital de C, em uma conta
que paga r por cento de taxa de juros compostos anualmente. Sabemos que a fórmula para
calcular juro composto, é dada da seguinte forma: M =C(1+ r)n, onde M é o montante, C é o
capital, n o tempo e r a taxa de juros.
Na comunidade bancária podemos encontrar todos os tipos de composição de juros
anual, semestral, trimestral, semanal e mesmo diário. Suponha que a composição é feita n vezes
ao ano. Para cada “período de conversão”, o banco usa a taxa de juros anual dividida por n, que
é r/n. E como em t anos existem (nt) períodos de conversão, um capital C, após t anos renderá
M =C
(
1+
r
n
)nt
. (1.1)
Vamos considerar um caso especial da equação (1.1), onde assumimos que C = 1,
r = 100% e t = 1 ano. Assim,
10
M =
(
1+
1
n)n
.
Quanto maior o valor de n, o montante dessa operação se aproxima de 2,71828 . . .,
ou seja se n tender a infinito o montante será igual a e. Definiremos esse fato de modo formal no
capítulo 2.
No segundo capítulo desse trabalho falaremos sobre sequências de números reais
e limites de uma sequência, além disso, definiremos o número e como o lim
n→∞(1+1/n)
n. Já no
terceiro capítulo, falaremos sobre os números algébricos e a existência de números transcendentes,
mostraremos que, o conjunto formado por todos os números transcendentes, é não enumerável.
No decorrer do quarto capítulo mostraremos a irracionalidade de e usando o fato, de que o número
e é o limite de uma sequência de números reais, definido no segundo capítulo. Finalmente no
último capítulo mostraremos a transcendência no número e.
11
2 SEQUÊNCIAS
Neste capítulo, abordaremos alguns conceitos, que serão necessários no decorrer
deste trabalho. Iniciaremos com as definições de sequência de números reais e limite de uma
sequência.
2.1 Sequências de números reais
Toda sequência de números reais, é uma função x : N−→ R, onde para cada n ∈ N,
temos x(n) = xn ∈ R. Usaremos a notação (xn) para denotarmos uma sequência de números
reais.
Uma sequência (xn) é dita ser limitada superiormente, se existe b ∈R, tal que xn ≤ b
para todo n ∈ N. Analogamente, uma sequência (xn) é dita ser limitada inferiormente, se existe
a ∈ R, tal que a≤ xn, para todo n ∈ N. Consequentemente, uma sequência (xn) é dita limitada
se for limitada superiormente e limitada inferiormente.
Definição 2.1 Dada uma sequência (xn) de números reais, define-se uma subsequência de (xn),
à restrição da função x, a um subconjunto infinito A′ = {n1 < n2 < .. . < ni < .. .}, tal que
A′ ⊂ N. Usaremos (xni)i∈N, para indicarmos uma subsequência de (xn).
Uma sequência (xn) chama-se não-decrescente, quando xn ≤ xn+1 para todo n ∈ N.
Se xn < xn+1 para todo n ∈ N, dizemos que (xn) é crescente. Analogamente, uma sequência
chama-se não-crescente, quando xn ≥ xn+1 para todo n ∈ N. Se xn > xn+1 para todo n ∈ N,
dizemos que (xn) é decrescente. Todas as sequências crescentes, decrescentes, não-decrescentes
e não-crescentes são chamadas de sequências monótonas.
2.2 Limite de uma sequência
Diz-se que um número real a é limite de uma sequência (xn), e denota-se a = lim
n→∞xn
ou limxn = a, quando para qualquer número real ε > 0, podemos obter n0 ∈N, tal que |xn−a|<
ε , quando n > n0. Quando limxn = a, diz-se que a sequência converge para a, dessa forma, toda
sequência que possui limite é uma sequência convergente. Uma sequência que não converge é
chamada uma sequência divergente.
Os seguintes Teoremas encontram-se demonstrados em (LIMA, 2014)
12
Teorema 2.1 Se limxn = a e limxn = b, então a = b.
Teorema 2.2 Se limxn = a, então toda subsequência de (xn) converge para o limite a.
Teorema 2.3 Toda sequência convergente é limitada.
O próximo resultado fornece, uma condição suficiente para uma sequência ser
convergente.
Teorema 2.4 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Seja (xn) uma sequência não-decrescente limitada, ou seja, xn = {x1 ≤ x2 ≤
. . . ≤ xn . . .}. Considere a = sup{xn; n = 1, 2, . . .}. Afirmamos que limxn = a. De fato, dado
qualquer ε > 0, como a− ε < a temos que, a− ε não é cota superior do conjunto dos xn. Logo,
existe n0 ∈ N tal que n > n0, isso implica que a− ε < xn0 . Como a sequência é monótona
não-decrescente, n > n0 implica que xn0 ≤ xn. Portanto, a− ε < xn, como xn ≤ a, pois a =
sup{xn; n= 1, 2, . . .}, se n > n0 implica a−ε < xn < a+ε , isto é, |xn−a|< ε. Logo, limxn = a.
Analogamente prova-se o caso em que a sequência é não-crescente.
A seguir, enunciaremos um resultado conhecido que será utilizado à frente. Ele
afirma que a soma e o produto de sequências convergentes, são convergentes.
Teorema 2.5 Se limxn = a e limyn = b, então:
(i) lim(xn+ yn) = a+b;
(ii) lim(xn · yn) = a ·b;
(iii) lim
xn
yn
=
a
b
, se b 6= 0 e yn 6= 0, ∀ n ∈ N.
Demonstração. Ver o capítulo IV de (LIMA, 2014).
Teorema 2.6 Se limxn = a tal que a > 0, existe então n0 ∈N tal que n > n0 implica que xn > 0.
Demonstração. Seja ε =
a
2
. Como a > 0, tem-se
a
2
> 0, portanto, (a− ε, a+ ε) =
(
a
2
,
3a
2
)
.
Logo, existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica que xn ∈
(
a
2
,
3a
2
)
. Ou seja, xn >
a
2
, logo n > n0
implica que xn > 0.
Corolário 2.1 Sejam (xn) e (yn) sequências convergentes. Se xn ≤ yn para todo n ∈ N, então
limxn ≤ limyn.
13
Demonstração. Se limxn > limyn, então 0 < limxn− limyn. Logo lim(xn− yn) > 0 e dessa
forma (xn− yn)> 0 para todo n suficientemente grande. Assim, xn > yn.
A seguir temos um outro Teorema importante:
Teorema 2.7 Sejam xn ≤ zn ≤ yn para todo n ∈ N. Se limxn = limyn = a então limzn = a.
Demonstração. Dado ε > 0 qualquer, existem n1, n2 ∈ N tal que n > n1 implica que xn ∈
(a− ε, a+ ε), e n > n2 implica que yn ∈ (a− ε, a+ ε). Seja n0 = max{n1, n2}. Temos que
a−ε < xn≤ zn≤ yn < a+ε , ou seja, a−ε < zn < a+ε, e, consequentemente zn ∈ (a−ε, a+ε).
Logo, limzn = a.
Exemplo: Considere a sequência, onde seu n-ésimo termo é an =
n
∑
j=0
1
j!
, para n∈N. Afirmamos
que essa sequência é crescente e limitada.
Note que essa sequência é crescente. De fato, para cada k ∈ N, temos que
ak =
k
∑
j=0
1
j!
<
k
∑
j=0
1
j!
+
1
k+1
=
k+1
∑
j=0
1
j!
= ak+1.
Essa sequência também é limitada. De fato, sabemos que, se j ≥ 4⇒ j! > 2 j. Daí
1
j!
<
1
2 j
. Segue-se que,
n
∑
j=0
1
j!
< 1+
n
∑
j=0
1
2 j
. (2.1)
Afirmamos que
1+
n
∑
j=0
1
2 j
< 3. (2.2)
Primeiramente, vamos provar que
1+
n
∑
j=0
1
2 j
=
(
3− 1
2n
)
.
Seja
S =
n
∑
j=1
1
2 j
⇒ S/2 =
n+1
∑
j=2
1
2 j
,
Subtraindo S/2 de S, temos:
14
S−S/2 =
n
∑
j=1
1
2 j
−
n+1
∑
j=2
1
2 j
⇒
S/2 =
1
2
− 1
2n+1
⇒
S = 1− 1
2n
.
Observe que
1+
n
∑
j=0
1
2 j
= 2+S.
Consequentemente,
1+
n
∑
j=0
1
2 j
=
(
3− 1
2n
)
.
Por outro lado, 0 <
1
2n
implica que 3− 1
2n
< 3, para todo n ∈ N. Assim, provamos a
afirmação (2.2). Logo, pela desigualdade (2.1), segue-se que
0 <
n
∑
j=0
1
j!
< 3.
Portanto essa sequência é limitada e convergente. �
Exemplo: A sequência cujo o n-ésimo termo bn =
(
1+
1
n
)n
, é uma sequência crescente.
Primeiramente observe que:
bn =
(
1+
1
n
)n
(2.3)
Desenvolvendo a equação (2.3) temos como resultado
bn = 1+n
1
n
+
n(n−1)
2!
1
n2
+ · · ·+ n(n−1) · · ·2 ·1
n!
1
nn
bn = 1++
1
1!
+
1
2!
n(n−1)
n2
+
1
3!
n(n−1)(n−2)
n3
+ · · ·+ 1
n!
n(n−1)(n−2) · · ·2 ·1
nn
bn = 1+1+
1
2!
(
1− 1
n
)
+
1
3!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
+ . . .+
1
n!
(
1− 1
n
)
. . .
(
1− n−1
n
)
Temos então,
15
bn > 1+
1
1!
+
1
2!
(
1− 1
n−1
)
+
1
3!
(
1− 1
n−1
)(
1− 2
n−1
)
+ · · ·
· · ·+ 1
(n−1)!
(
1− 1
n−1
)(
1− 2
n−1
)
· · ·
(
1− n−2
n−1
)
= bn−1
Conclui-se assim que bn > bn−1, para todo n ∈ N. Logo (bn) é crescente. �
A partir dos exemplos acima, mostraremos que liman = limbn = e. De fato, como
bn < an para todo n ∈ N, então limbn ≤ liman, pelo Corolário (2.1) do Teorema (2.6). Fixando
k ∈ N, para todo n > k, obtemos
bn ≥ 1+1+ 12! ·
(
1− 1
n
)
+ ...+
1
k!
·
(
1− 1
n
)
· .... ·
(
1− k−1
n
)
. (2.4)
Fazendo n→ ∞ e mantendo-se o k fixo, tem-se que o segundo membro da desigual-
dade (2.4) tende para ak. Logo, limbn ≥ ak para todo k ∈ N. Portanto, podemos concluir que
lim
n→∞bn ≥ limk→∞ak, de onde obtemos que
lim
k→∞
ak ≤ limn→∞bn ≤ limn→∞an.
Assim, lim
n→∞an = limn→∞bn = e.16
3 OS NÚMEROS ALGÉBRICOS
Iniciaremos esse capítulo falando sobre os inteiros algébricos. Em seguida, definire-
mos os números algébricos e, a partir dessa definição, mostraremos a existência dos números
transcendentes.
Um número α é dito ser um inteiro algébrico, se o mesmo for solução de uma
equação polinomial da forma
xn+an−1xn−1+ . . .+a1x+a0 = 0, (3.1)
onde a0, ...,an−1 ∈ Z.
Observe que qualquer número b ∈ Z é um inteiro algébrico, pois o mesmo é solução
de uma equação polinomial da forma x−b = 0.
Teorema 3.1 Um inteiro algébrico real é inteiro ou irracional.
Demonstração. Considere que um número α seja um inteiro algébrico. Suponha que α seja
um número racional, ou seja, α =
p
q
onde p ∈ Z, q ∈ N,q > 1 e mdc(p,q) = 1. Como α é um
inteiro algébrico, o mesmo é solução de uma equação da forma (3.1). Substituindo-o nessa
equação, tem-se: (
p
q
)n
+an−1
(
p
q
)n−1
+ . . .+a1
(
p
q
)
+a0 = 0. (3.2)
Multiplicando ambos os lados de (3.2) por qn, temos
pn =−an−1 pn−1q−an−2 pn−2q2− ...−a1 pqn−1−a0qn (3.3)
Colocando q em evidencia na equação (3.3), temos
pn = q(−an−1 pn−1−an−2 pn−2q− ...−a1 pqn−2−a0qn−1).
Isso implica que q divide pn. Consequentemente q divide p, porém isso contradiz o fato de p e q
serem primos entre si. A contradição vem do fato de supormos que α seja solução da equação
(3.1). Dessa forma, a solução de (3.1) é inteiro ou irracional.
Definição 3.1 Um número algébrico é definido como uma solução de uma equação polinomial
da forma
anxn+an−1xn−1+ ...+a1x+a0 = 0, (3.4)
onde an, ...,a0 ∈ Z.
17
Qualquer número racional α =
p
q
é algébrico, pois α é solução de uma equação da
forma qx− p = 0. E além disso, qualquer inteiro algébrico é um número algébrico. Um número
que não é algébrico é dito ser transcendente.
Definição 3.2 Um conjunto X é dito ser finito quando é vazio ou quando existir para algum
n ∈ N uma bijeção f : In→ X, onde In = {1,2, ...,n}. Se x não for finito então dizemos que X é
infinito.
Definição 3.3 Um conjunto A é dito ser enumervel quando é finito ou quando seus elementos
puderem ser colocados em correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais.
Ou seja, se A for infinito, então A a enumerável se existir uma função f : N→ A, tal que f seja
bijetiva. Um conjunto que não é enumerável é dito ser não-enumerável.
Um exemplo de conjunto enumerável é o conjunto P formado pelos números naturais
pares. Basta considerarmos f : N→ P tal que f (n) = 2n. Note que f é uma bijeção dos naturais
sobre o conjunto P.
Outro exemplo de conjunto enumerável é o conjunto Z dos números inteiros. De fato,
considerando f : N→ Z tal que f (n) = n
2
se n for par, f (n) =
−n+1
2
se n for ímpar, nota-se
que f é bijeção.
Enunciaremos dois resultados que estão demonstrados em (LIMA, 2014)
Proposição 3.1 Se f : X → Y é injetiva e Y é um conjunto enumerável, então X é enumerável.
Proposição 3.2 Seja X um conjunto enumerável. Se f : X → Y é sobrejetiva então Y é enume-
rável.
É importante destacar que o conjunto Q dos números racionais é enumerável. Para
demonstrarmos esse fato, enunciaremos uma proposição que está demonstrada em (LIMA, 2014).
Proposição 3.3 Se X e Y são enumeráveis então X×Y é enumerável.
Teorema 3.2 O conjunto Q dos números racionais é enumerável.
Demonstração. De fato, seja Z∗ o conjunto dos números inteiros diferentes de zero. Como
o conjunto Z dos números inteiro é enumerável, segue que o conjunto Z∗ também é. Logo,
pela Proposição (3.3), Z×Z∗ é enumerável. Definimos agora a função f : Z×Z∗→Q, tal que
(m, n)→ m
n
. Observe que f é sobrejetiva, pois para todo par (m, n) ∈ Z×Z∗ conseguimos
18
m
n
∈Q e como Z×Z∗ é enumerável, segue pela Proposição (3.2) que o conjunto Q dos números
racionais é enumerável.
Uma reunião enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável. Seja X =
∞⋃
n=1
Xn
e tome para cada m ∈ N, uma função sobrejetiva fm : N→ Xm. Defina agora uma função
f : N×N→ X , onde f (m, n) = fm(n). Observe que f é sobrejetiva, pois para cada m ∈ N, fm
é sobrejetiva. Como N×N é enumerável pela Proposição (3.3), segue da Proposição (3.2) que
X =
∞⋃
n=1
Xn é enumerável.
Teorema 3.3 O conjunto R dos números reais é não-enumerável.
Demonstração. Mostraremos que o intervalo [0, 1) é não-enumerável e consequentemente o
conjunto R dos números reais será não-enumerável. Os números x ∈ [0, 1) tem representação
decimal da forma
0,a1a2a3..., (3.5)
onde a j é um algarismo de 0 a 9. Alguns números têm duas representação da forma (3.5).
Exemplo: 1/2 é 0.500... ou 0,4999.... Para esses números escolhemos a representação decimal
que "termina", ou seja, eliminamos as casas decimais de (3.5) que a partir de uma certa ordem,
todos os elementos são o número 9. Suponhamos agora que o intervalo [0, 1) é enumerável, isto
é, podemos listar os números pertencentes ao intervalo [0, 1)
x1 = 0,x11x12x13 . . .
x2 = 0,x21x22x23 . . .
x3 = 0,x31x32x33 . . .
...
xn = 0,xn1xn2xn3 . . .
...
19
onde os xi j são algarismos de 0 a 9 para todos i, j = 0, 1, 2, 3....
Construímos agora um número b ∈ [0, 1),b = 0,b1b2b3 . . ., onde b1 6= x11, b2 6= x22, b3 6= x33 e
assim sucessivamente.
Ou seja, b 6= x1 na primeira casa decimal, b 6= x2 na segunda casa decimal, b 6= x3 na
terceira casa decimal e assim sucessivamente. Observe que b será diferente de todos os números
listados anteriormente, isto é, b /∈ [0, 1). Mas isso é um absurdo, pois b ∈ [0, 1). O absurdo vem
do fato de supormos que o intervalo [0, 1) fosse enumerável, logo [0, 1) é não-enumerável, e
consequentemente o conjunto R dos números reais também é não-enumerável.
Teorema 3.4 O conjunto dos números algébricos é enumerável.
Demonstração. Consideremos o polinômio abaixo de coeficientes inteiros.
P(x) = anxn+ ...+a1x+a0 (3.6)
Definimos a altura desse polinômio como um número |P| natural, obtido da seguinte forma:
|P|= |an|+ ...+ |a1|+ |a0|+n. (3.7)
O teorema fundamental da álgebra nos diz que P(x) = 0, com P(x) dado em (3.6) tem exatamente
n raízes complexas, podendo ter alguma delas real ou não. Observe agora que o número de
polinômios da forma (3.6) com uma altura dada é finito, pois a parcela n que incluímos na
equação (3.7) nos garante este fato. Assim, as raízes de todos os polinômios de uma dada altura
formam um conjunto finito. Observe também que o conjunto de todas as raízes de todos os
polinômios de todas as alturas formam um conjunto enumerável, pois ele é uma união enumerável
de conjuntos finitos.
O fato demonstrado no Teorema (3.4) mostra a existência dos números transcenden-
tes. Por outro lado, veja que o conjunto dos números transcendentes reais é não-enumerável. De
fato, o conjunto dos números reais R é não-enumerável. Temos que R é a união dos números
algébricos reais com os números transcendentes reais. Pelo Teorema (3.4), o conjunto dos núme-
ros algébricos é enumerável. Assim, o conjunto dos números transcendentes é não-enumerável,
pois do contrário, teríamos que os reais seria uma união de conjuntos enumeráveis, que já
sabemos ser enumerável e isso é um absurdo.
20
4 IRRACIONALIDADE DO NÚMERO e
Mostraremos agora que o número e é irracional. Para isso, usaremos fatos que foram
demonstrados nos capítulos anteriores.
Definiremos o número e da seguinte forma:
e = 1+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
n!
+ . . . (4.1)
Teorema 4.1 O número e é irracional.
Demonstração. Vamos supor que e seja racional, ou seja, e =
p
q
, onde p ∈ Z, q ∈ N e
mdc(p, q) = 1.
Assim, pela equação (4.1) temos que:
p
q
=
q
∑
j=0
1
j!
+
∞
∑
j=q+1
1
j!
(4.2)
Dessa forma temos
0 <
p
q
−
q
∑
j=0
1
j!
=
∞
∑
j=q+1
1
j!
. (4.3)
Agora, observe que
∞
∑
j=q+1
1
j!
=
1
(q+1)!
+
1
(q+2)!+ . . . (4.4)
Colocando
1
q!
em evidência no segundo membro da equação (4.4) temos
∞
∑
j=q+1
1
j!
=
1
q!
·
(
1
(q+1)
+
1
(q+1)(q+2)
+
1
(q+1)(q+2)(q+3)
+ . . .
)
. (4.5)
Por outro lado, observe que
(q+1) > (q+1)
(q+1)(q+2) > (q+1)2
...
(q+1)(q+2)(q+3) · · · > (q+1)i,
21
para todo i ∈ N. Somando termo a termo dessas desigualdades temos:
[(q+1)+(q+1)(q+2)+(q+1)(q+2)(q+3)+ . . .]>
∞
∑
i=1
(q+1)i
Dessa forma:(
1
(q+1)
+
1
(q+1)(q+2)
+
1
(q+1)(q+2)(q+3)
+ . . .
)
<
∞
∑
i=1
1
(q+1)i
.
Obtemos então
∞
∑
j=q+1
1
j!
=
1
q!
·
(
1
(q+1)
+
1
(q+1)(q+2)
+ ...
)
<
1
q!
·
(
∞
∑
i=1
1
(q+1)i
)
(4.6)
O somatório entre parênteses na equação (4.6), é a soma infinita de uma progressão
geométrica de razão
1
(q+1)
, onde 0 <
1
(q+1)
< 1. Essa soma é igual a:
S =
1
q+1
1− 1
q+1
=
1
q
(4.7)
Usando (4.7) no segundo membro da equação (4.6), tem-se que
∞
∑
j=q+1
1
j!
<
1
q!
· 1
q
Contudo, pela equação (4.3) temos
∞
∑
j=q+1
1
j!
=
p
q
−
(
1+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ . . .+
1
q!
)
.
Isso implica que
0 <
p
q
−
(
1+
1
1!
+
1
2!
+ ...+
1
q!
)
<
1
q!
· 1
q
. (4.8)
Multiplicando a desigualdade (4.8) por q! obtemos
0 < q!
(
p
q
−1− 1
1!
− 1
2!
− ...− 1
q!
)
<
1
q
. (4.9)
22
Como q ∈ N, temos q≥ 1. Isso implica que 1
q
≤ 1. Pro outro lado, observe que o
termo do meio da desigualdade acima é um número inteiro, pois q! cancela todos os denomi-
nadores das frações. Assim, essa desigualdade nos diz que existe um número inteiro entre os
números zero e um. Isso é um absurdo, pois não existe nenhum número inteiro entre zero e
um. O absurdo vem do fato de supormos que e fosse racional, de onde podemos concluir que o
número e é irracional.
23
5 TRANSCENDÊNCIA DO NÚMERO e
Veremos agora, que o número e definido no segundo capítulo, além de ser um número
irracional é um número transcendente. A demonstração de tal fato será feita por uma serie de
lemas.
Definimos a função
F(x) =
r
∑
j=0
P j(x), (5.1)
onde P j representa a j-ésima derivada de um polinômio P(x) de grau r.
Lema 5.1 A partir da função F(x) definida em (5.1) temos que:
d
dx
(e−xF(x)) =−e−xP(x). (5.2)
Demonstração. Observe, que na equação (5.2) tem-se:
d
dx
(e−xF(x)) =
d
dx
(e−x
r
∑
j=0
P j(x))
= −e−x
r
∑
j=0
P j(x)+ e−x
r+1
∑
j=1
P j(x)
= e−x[−P(x)+Pr+1(x)]
= −e−x[P(x)−Pr+1(x)]
Veja que o polinômio P(x) tem grau r, então Pr+1(x) = 0. Isso implica que
d
dx
(e−xF(x)) =−e−xP(x)
Lema 5.2 Para todo k > 0, existe θk ∈ (0, 1), tal que
F(k)− ekF(0) =−kek(1−θk)P(kθk).
Demonstração. Seja f = e−xF(x), observe que f é continua no intervalo [0, k] e diferenciável
no intervalo ]0, k[ (Pois e−x e F(x) têm essas mesmas propriedades). Pelo TVM (GUIDORIZZI,
2000), temos que
f (k)− f (0)
k−0 = f
′(c), onde c ∈ ]0, k[. Assim temos e
−kF(k)− e0F(0)
k−0 =
−e−cP(c), dessa forma:
24
e−kF(k)−F(0) =−ke−cP(c)
⇒ e−kekF(k)− ekF(0) =−keke−cP(c)
⇒ F(k)− ekF(0) =−kek−cP(c).
Observer que como c ∈ ]0, k[, então existe θk ∈ ]0, 1[, tal que c = kθk, consequentemente
F(k)− ekF(0) =−kek−kθkP(kθk)
⇒ F(k)− ekF(0) =−kek(1−θk)P(kθk).
Lema 5.3 Seja εk =−kek(1−θk)P(kθk). Suponha que e seja algébrico, isto é existem c0,c1, ...,cn; c0 >
0 tais que cnen+ ...+ c1e+ c0 = 0. Então, c0F(0)+ c1F(1)+ ...+ cnF(n) = c1ε1+ c2ε2+ ...+
cnεn.
Demonstração. Pelo Lema (5.2) temos que εk = F(k)− ekF(0), logo:
c1ε1+ ...+ cnεn = c1[F(1)− eF(0)]+ c2[F(2)− e2F(0)+ ...+ cn[F(n)− enF(0)]
= c1F(1)+ c2F(2)+ ...+ cnF(n)−F(0)[c1e+ c2e2+ ...+ cnen]
Como por hipotese
cnen+ ...+ c1e+ c0 = 0, (5.3)
então segue que cnen+ ...+ c1e =−c0, dessa forma
c1ε1+ ...+ cnεn = c1F(1)+ c2F(2)+ ...+ cnF(n)−F(0)(−c0)
Consequentemente
c1ε1+ ...+ cnεn = cnF(0)+ c1F(1)+ c2F(2)+ ...+ cnF(n).
A partir de agora consideremos o polinômio P(x) =
1
(p−1)!x
p−1(1− x)p · ... · (n−
x)p sendo p um número primo tal que p > n e p > c0, onde n e c0 são dados na equação (5.3).
25
Lema 5.4 Seja Q(x) =
r
∑
j=0
a jx j um polinômio com coeficientes inteiros e seja p < r. Dessa
forma,
Qi(x) =
r
∑
j=i
j!
( j− i)!a jx
j−i, i≤ r. (5.4)
Além disso pela a equação (5.4) acima tem-se
1
(p−1)!Q
i(x), para i ≥ p é um polinômio de
coeficientes inteiros divisíveis por p.
Demonstração. A demonstração será feita por indução em i. Observe que vale para i = 1, pois
Q1(x) = [
r
∑
j=0
a jx j]′ = [a0+a1x+ ...+arxr]′
= a1+2a2x+3a3x2+ ...+ rarxr−1
=
1!
(1−1)!a1+
2!
(2−1)!a2x+
3!
(3−1)!a3x
2+ ...+
r!
(r−1)!arx
r−1
=
r
∑
j=1
j!
( j−1)!a jx
j−1
Supomos que seja verdade para i = k. Então Qk(x) =
r
∑
j=k
j!
( j− k)!a jx
j−k. Agora veja que:
Qk+1 = [Qk]′ = [
r
∑
j=k
j!
( j− k)!a jx
j−k]′
=
[
k!
(k− k)!akx
k−k + ...+
r!
(r− k)!arx
r−k
]′
= (k+1− k) (k+1)!
[(k+1)− k]!ak+1x
(k+1−k−1)+ ...+(r− k) r!
(r− k)!arx
(r−k−1)
=
(k+1)!
[(k+1)− (k+1)]!ak+1x
(k+1−k−1)+ ...+
r!
[r− (k+1)]!arx
(r−k−1)
=
r
∑
j=k+1
j!
[ j− (k+1)]!a jx
( j−(k+1))
Por outro lado observe que:
1
(p−1)!Q
i(x) =
1
(p−1)!Q
i(x)
r
∑
j=0
a jx j
Considerando que b j =
1
(p−1)! ·
j!
( j− i)! , então queremos mostrar que b j é divisível por p.
Observer então que
1
(p−1)! =
p
p!
. Assim temos:
b j =
p
p!
· j!
( j−1)! = pa j ·
j!
p!( j− i)!
26
Como os números p e a j são inteiros, para que b j seja um número inteiro basta mostrar que
j!
p!( j− i)! é um número inteiro. Para isso observe que:
j!
p!( j− i)! =
j( j−1)( j−2) . . .(p+1)p!
p!( j− i)! =
j( j−1)( j−2) . . .(p+1)
( j− i)! .
Como j ≥ i≥ p, temos que j( j−1)( j−2) . . .(p+1)
( j− i)! irá cancelar eu denominador para todo
p≥ 2. e dessa forma teremos que b j ∈ Z.
Lema 5.5 Considere
P(x) =
1
(p−1)!x
p−1(1− x)p · ... · (n− x)p. (5.5)
Então P(x) é da forma
P(x) =
(n!)p
(p−1)!x
p−1+
b0
(p−1)!x
p+ ....
Onde b0 = p{−np−1 · [(n−1)!]p · [(n−2)!]p · (n−1)p−1. Além disso Pi(k) = 0 para k = 1, ...,n
e i < p, Pp−1(0) = (n!)p e Pi(0) = 0 para todo i < p−1.
Demonstração. Primeiramente vamos observar que para todo α ∈ N temos:
(α− x)p = α p+ pα p−1(−x)+ ...+ pα(−x)p−1+(−x)p.
Deselvolvendo os produtos notáveis da equação (5.5) tem-se:
(1− x)p · . . . · (1− x)p = (n!)p+ xp{−np−1 · [(n−1)!]p ·−[(n−2)!]p · (n−1)p−1}
= (n!)p+b0x
Agora veja que P(x) definido em (5.5) tem a seguinte forma:
P(x) =
1
(p−1)!x
p−1 · [(n!)p+b0x]
=
(n!)p
(p−1)!x
p−1+
1
(p−1)!x
p−1 ·b0x+ . . .
=
(n!)p
(p−1)!x
p−1+
b0
(p−1)!x
p+ . . .
Observe agora pela equação (5.5) Pi(k) = 0 para k = 1, ...,n e i < p. Pois quando
aplicarmos k em Pi(x) algum de seus termos irá se anular, isso resulta que Pi(k) = 0.
Por outro lado Pp−1(x) = (n!)p+b0x+b1x2+ ..., logo ao aplicarmos essa derivada no ponto
x = 0 resulta que:
Pp−1(0) = (n!)p+b0(0)+b1(0)2+ ...
= (n!)p. (5.6)
27
Já para i < p−1 tem-se que toda parcela do polinômio Pi(x) vai possuir a variavél x, assim se
aplicarmos no ponto x = 0 resulta que Pi(0) = 0.
Lema 5.6 Pelo os lemas (5.4) e a (5.5) tem-se que F(k), para k = 1, ...,n, é um inteiro divisível
por p. E além disso F(0) é um inteiro não divisível por p. (Use o fato de (n!)p não é divisível
por p, uma vez que p > n e p é primo).
Demonstração. Veja que F(k) = P(k)+P1(k)+P2(k)+ ...+Pp(k). Pelo lema (5.5) Pi(k) é
igual a zero para todo i < p, logo divisível por p, e se i = p pelo lema (5.4) Pi(k) é divisível
por p. Assim F(k) é uma soma de parcelas que são divisíveis por p e consequentemente F(k) é
divisívelpor p. Por outro lado F(0) = P(0)+P1(0)+ ...+Pp−1(0)+Pp(0), dessa forma temos
pelo lema (5.5) que:
Pi(0) = 0; para i < p−1
Pp−1(0) = (n!)p
Pp(0) =
b0 p!
(p−1)! .
Logo dessa forma segue que:
F(0) = (n!)p+
b0 p!
(p−1)!
Mais (n!)p não é divisível por p, pois p > n e p é primo. Dssa forma F(0) não é divisível por p.
Lema 5.7 Como 0 < c0 < p, então pelo (5.6) temos que c0F(0)+ c1F(1)+ ...+ cnF(n) é um
inteiro não divisível por p.
Demonstração. Observe que como c0 < p, e pelo lema (5.6) p não divide F(0) então p não
divide c0. Suponha por absurdo que c0F(0)+ c1F(1)+ ...+ cnF(n) = kp tal que k ∈ Z.
Por outro lado pelo lema(5.6) temos que F(k) é divisível por p com k = 1, ...,n, dessa forma
c1F(1)+ ...+ cnF(n) = λ p, onde λ ∈ Z, logo:
c0F(0)+ c1F(1)+ ...+ cnF(n) = c0F(0)+λ p = kp, assim
c0F(0) = kp−λ p
= p(k−λ )
Dessa forma c0F(0) = p(k−λ ), ou seja p divide c0F(0) e isso é um absurdo.
28
Lema 5.8 Observe que os εk definidos no lema (5.3), e calculados para o polinômio P(x),
definido no lema (5.5) tem a forma
εk =−kek(1−θk) · 1
(p−1)! · (kθk)
p−1(1− kθk)p · ... · (n− kθk)p.
Se 0 < θk < 1, então temos que
|εk| ≤ e
nnpλ p
(p−1)! , para k ≤ n.
Demonstração. Observe que:
|εk|= |− kek(1−θk) · 1
(p−1)! · (kθk)
p−1(1− kθk)p · ... · (n− kθk)p|
isso implica que
|εk| = 1
(p−1)! |− k| · |e
k(1−θk)| · |(kθk)p−1| · |(1− kθk)p| · ... · |(n− kθk)p|
≤ 1
(p−1)!ne
n(1−θk) ·np−1
≤ e
nnpλ p
(p−1)! ,
onde λ p = |(1− kθk) · ... · (n− kθk)|p.
Lema 5.9 Se p for um número primo suficientemente grande, então
|c1ε1+ ...+ cnεn|< 1.
Demonstração. Observe que:
|c1ε1+ ...+ cnεn| ≤ |c1ε1|+ ...|+ cnεn|
= |c1 e
nnpλ p
(p−1)! |+ ...+ |cn
ennpλ p
(p−1)! |
= |c1| e
nnpλ p
(p−1)! + ...+ |cn|
ennpλ p
(p−1)!
= (|c1|+ ...+ |cn|) e
nnpλ p
(p−1)! .
Por outro lado veja que lim
p→∞
ennpλ p
(p−1)! = 0. Ou seja existe um número primo p suficientemente
grande tal que
(|c1|+ ...+ |cn|) e
nnpλ p
(p−1)! < 1.
E consequentemente |c1ε1+ ...+ cnεn|< 1, como queriamos demonstrar.
Utilizando-se dos lemas demonstrados ao longo desse capítulo mostraremos agora a
transcendência do número e.
29
Teorema 5.1 O número e é transcendente.
Demonstração. Pelo lema (5.3) supomos que e fosse um número algébrico, isto é existem
c0,c1, ...,cn, tais que
cnen+ ...+ c1e+ c0 = 0.
E a partir desse fato concluimos que c1ε1+ ..+ cnεn = c0F(0)+ ...+ cnF(0). Utili-
zando o lema (5.7) mostramos que c0F(0)+ ...+cnF(0) é um inteiro não divisível por p, ou seja
c0F(0)+ ...+ cnF(0) 6= 0. Já pelo lema (5.9) temos que |c1ε1+ ...+ cnεn|< 1. Observe agora
que c1ε1 + ...+ cnεn = c0F(0)+ ...+ cnF(0) 6= 0 , isso nos mostra que c0F(0)+ ...+ cnF(0)
é um número inteiro não nulo cujo seu valor absoluto é menor que 1 e isso é um absurdo. O
absurdo vêm do fato de supormos que e fosse algébrico, logo o número e é transcendente como
queriamos demonstrar.
30
6 CONCLUSÃO
No decorrer desse trabalho, tentamos desenvolver de forma detalhada as demonstra-
ções de que o número de Euler é irracional e transcendente, trabalhamos conceitos principalmente
na área de análise matemática, como sequências de números reais e limite de uma sequência,
que foram importantes para o desenvolvimento do mesmo. A partir desses estudos e demonstra-
ções, podemos citar um outro número irracional e transcendente, extremamente importante para
matemática, o número pi .
O número de Euler aparece em estudos de diversas áreas da matemática, como por
exemplo no estudo de logaritimos que se iniciou com Jhon Napier (1550 - 1617), na área da
análise com o estudo das sequências e até mesmo ocorre de outras áreas distintas da matemática
que em seus estudos utilizam o número de Euler, temos por exemplo na física e química. O
mesmo tem uma grande importancia nos trabalhos do matemático Euler (1707 - 1783), onde
muintos consideram como o maior matemático da história. O mais influente entre seus trabalhos
foi a obra ”Introcutio in analysin infinitorum”, obra em dois volumes publicada em 1748 e
considerada o alicerce da análise matemática. Neste trabalho Euler resumiu suas numerosas
descobertas sobre séries infinitas, produtos infinitos e frações contínuas e, pela primeira vez,
chamou a atenção para o papel do número e e da função ex.
Em seus estudos considerou os desenvolvimentos das séries de potência de ex, cosx
e sinx, ou seja.
ex = 1+ x+
x2
2
+
x3
3
+ . . . (6.1)
cosx = 1− x
2
2
+
x4
4
− x
6
6
+ . . . (6.2)
sinx = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ . . . (6.3)
Substituindo x por ix na equação (6.1) temos como resultado eix = cosx+ isinx.
Analogamente substituindo x por −ix na equação (6.1) obtemos e−ix = cosx− isinx. Somando
e subtraindo as expressões obtidas para ix e −ix, tem-se
cosx =
eix+ e−ix
2
, sinx =
eix− e−ix
2i
(6.4)
31
Onde em (6.4) dazendo x = pi , obtemos eipi + 1 = 0. Essa expressão é chamada
de identidade de Euler, considerada por muitos considerados por muitos matemáticos como a
expressão mais ”bela” da matemática. Esse resultado relaciona as cinco constantes importantes da
matemática que podem simbolizar quatro grandes ramos da matemática: aritmética, representada
pelo 0 e pelo 1; a álgebra representado pelo i; a geometria pelo pi e a análise pelo e.
32
REFERÊNCIAS
FIGUEIRA, R. F. O número de Euler. João Pessoa: Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN,
2017.
FIGUEIREDO, D. G. Números irracionais e transcendentes. 3. ed. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matamática, 2002.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. [S.l.]: Grupo Gen-LTC, 2000. v. 1.
LIMA, E. L. Curso de análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matamática Pura e Aplicada,
2014. v. 1.
MAOR, E. e: A história de um número. 5. ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2008.
NIVEN, I. Numbers: rational and irrational. New York: New Mathematical Library, Random
House, Inc., 1961.
OLIVEIRA, J. P. Introdução à teoria dos números. 3. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matamá-
tica Pura e Aplicada, 2015.
SPIVAK, M. Calculus. 3. ed. Houston, Texas: Publish or Perish, Inc., 1994.
VASCONCELOS, G. d. A. A irracionalidade e transcendência do número e. Rio de Claro:
Dissertação (mestrado) - UNESP, Instituto de Geo ciências e Ciências Exatas, 2013.
	Folha de rosto
	Agradecimentos
	Resumo
	Abstract
	Sumário
	Introdução
	Sequências
	Sequências de números reais
	Limite de uma sequência
	Os Números Algébricos
	Irracionalidade do Número e
	Transcendência do Número e
	Conclusão
	REFERÊNCIAS