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LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – ÁLGEBRA SUPERIOR I
Unidade 4 : Anéis e Corpos
(Obs.: as páginas indicadas em cada questão indicam onde o assunto pode ser
encontrado no livro texto adotado).
1. Seja (A,+, ·) um anel, com elemento neutro da adição 0. Para todo x ∈ A,
tem-se que −x ∈ A é tal que x + (−x) = (−x) + x = 0 (−x é o simétrico de x
em (A,+, ·) com respeito a operação +). Prove que:
(a) Seja θ ∈ A. Se x + θ = x, para algum x ∈ A, então θ = 0. (O elemento
neutro 0 – chamado de zero do anel – é único).
Solução:
θ = 0+ θ = [(−x) + x] + θ = (−x) + (x+ θ) = (−x) + x = 0,
(b) Sejam x,β ∈ A. Se x + β = 0, então β = −x. (O elemento simétrico −x
de cada elemento x de um anel (A,+, ·) é único).
Solução:
β = 0+ β = [(−x) + x] + β = (−x) + (x+ β) = (−x) + 0 = −x.
(c) O simétrico de 0 é 0.
Solução: Fica a cargo do aluno.
(d) Para todo x ∈ A, tem-se que [−(−x)] = x.
Solução: Fica a cargo do aluno.
1
2. Seja Z[
√
2] = {x ∈ R : x = a + b√2,a,b ∈ Z}. Defina ⊕ e · em Z[√2] como
segue
(a+ b
√
2)⊕ (c+ d
√
2) = [(a+ c) + (b+ d)
√
2]
(a+ b
√
2) · (c+ d
√
2) = [(ac+ 2bd) + (bc+ ad)
√
2]
Prove que: Para todo a,b, c,d ∈ Z,
(a) (a+ b
√
2) = (c+ d
√
2)⇔ a = c,b = d.
Solução: Se a = c e b = d então claramente (a+b
√
2) = (c+d
√
2), agora
suponha que (a+b
√
2) = (c+d
√
2), podemos escrever a−c = (d−b)
√
2.
Observe que o lado esquerdo é um número racional e no lado direito se
d−b fosse não nulo como
√
2 é irracional o termo (d−b)
√
2 seria irracional
mas não pode ocorrer pois a − c é racional assim b = d. Daí a − c = 0,
logo a = c.
(b) Mostre que Z[
√
2] com as operações definidas acima é um domínio de in-
tegridade.
Solução: Deve-se verificar as seguintes noves propriedades :
i. Associatividade da soma
ii. Comutatividade da soma
iii. Existência do elemento neutro da adição
iv. Existência do inverso aditivo
v. Associatividade na multiplicação
vi. Distributividade à direita e à esquerda
vii. Comutatividade da multiplicação
viii. Existência da unidade
ix. Não possui divisores de zero
3. Seja (D,+, ·) um domínio de integridade. Demonstre, utilizando os axiomas
de definição de domínio de integridade, que:
(a) 0 · x = 0, ∀ x ∈ A.
Solução:
0 ·x = (0+0) ·x = 0 ·x+0 ·x⇔ 0 ·x+0 = 0 ·x+0 ·x Cancelamento⇔ 0 = 0 ·x.
2
(b) −1 · x = −x, ∀ x ∈ A.
Solução: Relembre que x+[−(x)] = [−(x)]+x = 0, x ·0 = 0 ·x = 0. Daí,
− 1 · x+ 1 · x = (−1+ 1) · x = 0 · x = 0⇒ −1.x+ x = 0⇒ −1.x = −x.
(c) (−x) · y = −(x · y), ∀ x,y ∈ A.
Solução: Pela unicidade do elemento oposto, tem-se que
x · y+ [−(x · y)] = [−(x · y)] + x · y = 0. Daí,
(−x) · y+ x · y = [(−x) + x] · y = 0 · y = 0⇒ (−x) · y+ x · y = 0⇒ (−x).y = −(x.y).
(d) x · (−y) = −(x · y), ∀ x,y ∈ A.
Solução: Pela unicidade do elemento oposto, tem-se que
x · y+ [−(x · y)] = [−(x · y)] + x · y = 0. Daí,
x · (−y) + x · y = x · [(−y) + y] = x · 0 = 0⇒ x · (−y) + x · y = 0⇒ x · (−y) = −(x · y).
(e) (−x) · (−y) = x · y, ∀ x,y ∈ A.
Solução: Pela unicidade do elemento oposto, tem-se que
x · y+ [−(x · y)] = [−(x · y)] + x · y = 0. Daí,
(−x) · (−y) + [−(x · y)] = (−x) · (−y) + x · (−y) = [(−x) + x] · (−y) = 0 · (−y) = 0⇒
(−x) · (−y) + [−(x · y)] = 0⇒ (−x) · (−y) = x · y.
4. Considere o conjunto dos números racionais Q, munido das operações ⊕ e ⊗,
definidas por:
x⊕ y = x+ y+ 1 e x⊗ y = x+ y+ x · y.
Sabendo que (Q,⊕,⊗) é um corpo, determine:
(a) k ∈ Q, tal que x⊕ k = x, ∀ x ∈ Q.
Solução: Elemento neutro da adição
x⊕ k = x⇔ x+ k+ 1 = x⇔ k+ 1 = 0⇔ k = −1.
(b) t ∈ Q, tal que x⊗ t = x, ∀ x ∈ Q, x 6= −1.
Solução: Elemento neutro da multiplicação
x⊕ t = x⇔ x+ t+ x · t = x⇔ t+ x · t = 0⇔ t · (1+ x) = 0⇔ t = 0, pois x 6= −1.
3
(c) r ∈ Q, tal que 2⊗ r⊕ 3⊗ r = r.
Solução:
2⊗ r⊕ 3⊗ r = r⇔ (2+ r+ 2 · r)⊕ (3+ r+ 3 · r) = r⇔
(2+ r+ 2 · r) + (3+ r+ 3 · r) + 1 = r⇔ 2+ r+ 2 · r+ 3+ r+ 3 · r+ 1 = r⇔ 6 · r+ 6 = 0
6 · (r+ 1) = 0⇔ r+ 1 = 0⇔ r = −1.
5. Considere o conjunto dos números racionais Q, munido das operações ⊕ e ⊗,
definidas por:
x⊕ y = x+ y+ 3 e x⊗ y = x+ y+ x · y
3
.
Sabendo que (Q,⊕,⊗) é um corpo, determine:
(a) k ∈ Q, tal que x⊕ k = x, ∀ x ∈ Q.
Solução: Elemento neutro da adição
x⊕ k = x⇔ x+ k+ 3 = x⇔ k+ 3 = 0⇔ k = −3.
(b) t ∈ Q, tal que x⊗ t = x, ∀ x ∈ Q, x 6= −3.
Solução: Elemento neutro da multiplicação
x⊗ t = x⇔ x+ t+ x · t
3
= x⇔ t+ x · t
3
= 0⇔ t ·
(
1+
x
3
)
= 0⇔ t = 0, pois x 6= −3.
(c) r ∈ Q, tal que −3⊗ r⊕ 2⊗ r = r.
Solução:
− 3⊗ r⊕ 2⊗ r = r⇔
(
−3+ r+
(−3).r
3
)
⊕
(
2+ r+
2.r
3
)
= r⇔(
−3+ r+
(−3).r
3
)
+
(
2+ r+
2.r
3
)
+ 3 = r⇔ −3+ r− r+ 2+ r+ 2.r
3
+ 3 = r⇔
2+
2.r
3
= 0⇔ 6
3
+
2.r
3
= 0⇔ 2.r
3
=
−6
3
⇔ 2r = −6⇔ r = −3.
6. Seja (A,⊕,⊗) um anel tal que x2 = x para todo x ∈ A. Mostre que A é um
anel comutativo.
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Solução: Devemos mostrar que se x,y ∈ A então x ⊗ y = y ⊗ x. Segue da
hipótese e das propriedades do anel que
x⊕ y = (x⊕ y)⊗ (x⊕ y)
= (x⊗ x)⊕ (x⊗ y)⊕ (y⊗ x)⊕ (y⊗ y)
= x⊕ (x⊗ y)⊕ (y⊗ x)⊕ y
Somando o elemento simétrico de x e de y nos lados esquerdo e direito da
igualdade respectivamente segue que
(x⊗ y)⊕ (y⊗ x) = 0A.
Multiplicando y à direita, segue que
[(x⊗ y)⊕ (y⊗ x)]⊗ y = 0A.
Como y⊗ y = y segue que
(x⊗ y)⊕ [(y⊗ x)⊗ y] = 0A.
Multiplicando x à esquerda, segue que
x⊗ [(x⊗ y)⊕ (y⊗ x)] = 0A.
Como x⊗ x = x segue que
(x⊗ y)⊕ [(x⊗ y)⊗ x] = 0A.
Agora observe que (y⊗ x)⊗ y e y⊗ x e (x⊗ y)⊗ x são elementos simétricos
de x⊗ y, pela unicidade do elemento simétrico segue que
(y⊗ x)⊗ y = y⊗ x = (x⊗ y)⊗ x
Agora observe que
x⊗ y = (x⊗ y)⊗ (x⊗ y)
= [(x⊗ y)⊗ x]⊗ y
= [(y⊗ x)⊗ y]⊗ x
= y⊗ x.
Isto prova que o anel A é comutativo.
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7. Seja (A,⊕,⊗) um anel e a ∈ A. Prove que, B = {x ∈ A : x⊗ a = a⊗ x} é um
subanel de A.
Solução: De acordo com a proposição 4.1.5 basta provar que se y, x ∈ B então
x− y ∈ B e x⊗ y ∈ B. Observe que se x ∈ B então −x ∈ B, de fato
(−x⊗ a)⊕ (x⊗ a) = (−x⊕ x)⊗ a
= 0A
e
(a⊗ (−x))⊕ (x⊗ a) = (a⊗ (−x))⊕ (a⊗ x)
= a⊗ (x⊕ () − x))
= 0A
Da unicidade do elemento simétrico segue que −x⊗a = a⊗(−x) assim −x ∈ B.
Agora observe que
(x− y)⊗ a = x⊗ a− y⊗ a
= a⊗ x⊕ a⊗ (−y)
= a⊗ (x− y)
Logo x− y ∈ B. Também temos que
(x⊗ y)⊗ a = x⊗ (y⊗ a)
= x⊗ (a⊗ y)
= (x⊗ a)⊗ y
= (a⊗ x)⊗ y
= a⊗ (x⊗ y)
Isto prova que x⊗ y ∈ B.
8. Vamos definir duas operações no conjunto dos números inteiros, usando as
operações usuais de Z, que o tornam um anel.
a⊕ b = a+ b+ 1
a� b = ab+ a+ b
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(a) Qual é o elemento zero de (Z,⊕,�) ?
Solução: O elemento zero ou elemento neutro é o −1 pois
x⊕−1 = x+ (−1) + 1 = x
para todo x ∈ Z.
(b) (Z,⊕,�) possui unidade? Qual?
Solução: A unidade é o 0 pois x⊗0 = x�0+x+0 = x para todo x ∈ Z.
(c) Mostre que (Z,⊕,�) é um domínio de integridade.
Solução: Como já sabemos que (Z,⊕,�) é um anel para verificar que os
inteiros com estas operações é uym domínio de integridade só precisamos
verificar três propriedades.
1. Comutatividade da Multiplicação: Dados a,b ∈ Z temos
a� b = ab+ a+ b = ba+ b+ a = b� a.
2. Existência da unidade: Já encontramos no item b).
3. Não existência de divisores de zero: Se um produto de dois elementos
é igual o elemento neutro da adição então um dos elementos coincide com
o elemento neutro.
Se a � b = −1 então ab + a + b = −1 daí (a + 1)(b + 1) = 0. Logo
a = −1 ou b = −1, isto prova que não existem divisores de zero.
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Dado dois anéis (A,+, ·) e (B,⊕,⊗), dizemos que a função f : A → B é um
homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, para quaisquer x,y ∈ A
tem-se que
• f(x+ y) = f(x)⊕ f(y);
• f(x · y) = f(x)⊗ f(y).
Se além disso f é uma bijeção então dizemos que f é um isomorfismo e neste
caso dizemos que A e B são isomorfos.
Responda os itens abaixo:
9. Mostre que f(0A) = 0B.
Solução: Observe que f(0A) = f(0A+0A) = f(0A)⊕f(0A), somando o inverso
aditivo do elementof(0A) nos dois lado da igualdade obtemos que 0B = f(0A)
e isso termina a solução.
10. Mostre que f(−a) = −f(a), onde −a é o simétrico de a em relação a operação
⊕.
Solução: Segue do exercício anterior que f(a)−f(a) = f(a−a) = f(0A) = 0B.
Daí, f(−a) = −f(a).
11. Seja N(f) = {x ∈ A : f(x) = 0B}, mostre que N(f) é um subanel de A.
Solução: Pelo exercício 1 temos que f(0A) = 0B assim 0A ∈ N(f). Agora
tome x,y ∈ N(f), pelo exercício 2 temos que
f(x− y) = f(x+ (−y)) = f(x− y) = f(x) − f(y) = 0B − 0B = 0B,
isto mostra que x − y ∈ N(f). Da definição de homomorfismo, se x,y ∈ N(f)
segue que
f(x · y) = f(x)⊗ f(y) = 0B ⊗ 0B = 0B,
isto nos diz que x · y ∈ N(f). Como N(f) satisfaz as três propriedades acima
segue que N(f) é um subanel.
12. Seja f : Z −→ Z um homomorfismo do anel dos inteiros com as operações
usuais nele mesmo. Prove que f é a função identidade ou a função constante
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igual a zero.
Solução: Seja a = f(1), como f é um homomorfismo segue que
a = f(1) = f(1 · 1) = f(1)2 = a2.
Daí a = 0 ou a = 1. Observe que se n ∈ N então
f(n) = f(1+ 1+ · · ·+ 1) = f(1) + · · ·+ f(1) = nf(1) = n · a.
Como f é homomorfismo sabemos que f(0) = 0, se n < 0 e n ∈ Z sabemos que
−n ∈ N e usando o fato de que f é homomorfismo segue que
f(−n+ n) = f(0) = 0 = f(−n) + f(n) = −n · a+ f(n)
Portanto f(n) = n · a e assim provamos que f(x) = a · x para todo x ∈ Z. Se
a = 0 então a função f é constante e igual à zero e se a = 1 então a função f é
constante.
13. Se f : Q→ Q é um homomorfismo de (Q,+, ·) em (Q,+, ·) (anel dos racionais
com as operações usuais) mostre que f(x) = x, para todo x ∈ Q ou f(x) = 0,
para todo x ∈ Q.
Solução: Da definição de homomorfismo segue que f(1) = f(1 ·1) = f(1) · f(1),
daí f(1) = 0 ou f(1) = 1. Por outro lado, para qualquer n ∈ N não nulo temos
que f(n) = f(1+ · · ·+ 1) = f(1)+ · · ·+ f(1) = n · f(1), do exercício 2 segue que
f(−n) = −f(n) = −n · f(1), em particular provamos que f(x) = x · f(1) para
todo x ∈ Z.
Agora considere um número racional da forma
p
q
, com p ∈ Z e q ∈ N∗. Da
definição de homomorfismo segue que,
f(
p
q
) = f(p · 1
q
) = f(p) · f( 1
q
).
Note que f(1) = f(q · 1
q
) = f(q) · f( 1
q
), se f(1) = 1 então 1 = q · f( 1
q
) assim
f(
1
q
) =
1
q
, substituindo na igualdade anterior segue que
f(
p
q
) = f(p · 1
q
) = f(p) · f( 1
q
) = p · f(1) · f( 1
q
) =
p
q
.
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Assim f(x) = x, para todo x ∈ Q . Se f(1) = 0 então
f(
p
q
) = f(p · 1
q
) = f(p) · f( 1
q
) = p · f(1) · f( 1
q
) = 0
Assim f(x) = 0, para todo x ∈ Q.
14. Mostre que 2Z e 3Z não são isomorfos.
Solução: Suponha que exista um isomorfismo f : 2Z → 3Z, daí f(2) = 3 · k
com k ∈ Z e k 6= 0 pois f(0) = 0 e f é um isomorfismo. Por outro lado, da
definição de isomorfismo segue que
f(4) = f(2+ 2) = f(2) + f(2) = 6k
e
f(4) = f(2 · 2) = f(2) · f(2) = 9k2.
Daí, 9k2 = 6k, como k é não nulo segue que k = 2/3 mas isto é um absurdo
pois k é um número inteiro. Portanto, 2Z e 3Z não são isomorfos.
15. Mostre que {0, 1, 2} não é subanel de Z5.
Solução: Observe que o simétrico aditivo de 2 em Z5 é 3. Por outro lado,
1+ 3 = 4 /∈ {0, 1, 2} assim este subconjunto não pode ser um anel.
16. Calcule os divisores de zero nos anéis Z6.
Solução: Os divisores de zero de Z6 são 2, 3 e 4 pois 2·3 = 6 = 0 e 3·4 = 12 = 0
e cada um deles é não nulo.
17. Se p é um número primo mostre que Zp com as operações usuais é um corpo.
Solução: Veja a seção 2.5 da Unidade 2 do livro texto.
18. Calcule os divisores de zero no anel Z18.
Solução: Os divisores de zero são os elementos 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15
e 16.
Bom Trabalho!
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