Álgebra_Sup-cap3

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3. Grupos
Neste capı´tulo apresentaremos os aspectos elementares da teoria
de grupo e alguns dos resultados importantes dessa teoria.
3.1 Definic¸a˜o e exemplos
Definic¸a˜o 3.1.1. Seja G um conjunto na˜o vazio onde esta´ definida
uma operac¸a˜o entre pares de G, denotada por:
⊕ : G×G −→ G
(x, y) 7−→ x⊕ y.
Dizemos que o par (G,⊕) e´ um grupo se sa˜o va´lidas as seguintes
propriedades: para todo x, y, z ∈ G temos que
G1) x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z (associativa).
G2) ∃ e ∈ G tal que x⊕ e = e⊕ x = x (existeˆncia do elemento neutro).
G3) ∃ a′ ∈ G tal que x ⊕ a′ = a′ ⊕ x = e ( existeˆncia do elemento
inverso).
Ale´m disso, se um grupo (G,⊕) verifica a propriedade:
G4) x⊕ y = y ⊕ x (comutativa).
Dizemos que o par (G,⊕) e´ um grupo abeliano ou comutativo.
Saiba Mais: O
nome grupo
abeliano e´ em
honra ao grande
matema´tico
Noruegueˆs N.H
Abel-1802-1829.
Com o objetivo de simplificar notac¸o˜es, em alguns casos usare-
mos a notac¸a˜o G em vez de (G,⊕) para denotar um grupo. Usaremos
71
72
tambe´m, em alguns casos, a notac¸a˜o xy em vez de x ⊕ y para repre-
sentar o resultado de x operado com y.
Exemplo 3.1.1. Se a operac¸a˜o e´ dada por x ⊕ y = x + y enta˜o os
seguintes conjuntos
(Z,+), (Q,+), (R,+) e (C,+)
sa˜o grupos abelianos, chamados de grupos aditivos.
Exemplo 3.1.2. Se a operac¸a˜o e´ dada por x ⊕ y = x · y enta˜o os
seguintes conjuntos
(Q∗, ·), (R∗, ·) e (C∗, ·)
sa˜o grupos abelianos, chamados de grupos multiplicativos.
Exemplo 3.1.3. O conjunto (Zm,+) e´ grupo abeliano, onde a operac¸a˜o
+ foi definida no capı´tulo anterior.
Exemplo 3.1.4. Se a operac¸a˜o e´ dada por x ⊕ y = x + y − 1. Mostre
que (Z,⊕) e´ grupo abeliano. De fato:
G1) Associativa: Temos que
x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y + z − 1) = x+ y + z − 1− 1 = x+ y + z − 2.
Por outro lado
(x⊕ y)⊕ z = (x+ y − 1)⊕ z = x+ y − 1 + z − 1 = x+ y + z − 2.
Portanto, e´ associativa.
G4) Comutativa: x ⊕ y = x + y − 1 = y + x − 1 = y ⊕ x. Portanto,e´
comutativa.
G2) Existeˆncia do elemento neutro:
x⊕ e = x =⇒ x + e− 1 = x =⇒ e = 1.
Portanto, e = 1 e´ o elemento neutro.
73
G3) Existeˆncia do elemento inverso:
x⊕ a′ = e =⇒ x + a′ − 1 = 1 =⇒ a′ = 2− x.
Portanto, dado x seu inverso e´ a′ = 2− x.
Exemplo 3.1.5. Considere o conjunto das matrizes com m linhas e n
colunas com entradas reais, denotada por
Mm×n(R) = {a = (aij) |aij ∈ R, i = 1, 2, · · · , m e j = 1, 2, · · · , n}.
Defina a operac¸a˜o em Mm×n(R) dada por a ⊕ b = a + b = (aij + bij).
Mostre que (Mm×n(R),⊕) e´ grupo abeliano. Com efeito:
G1) Associativa: Temos que
a⊕ (b⊕ c) = a⊕ (bij + cij) = (aij + bij + cij)
Por outro lado
(a⊕ b)⊕ c = (aij + bij+)⊕ c = (aij + bij + cij).
Portanto e´ associativa
G4) Comutativa: a ⊕ b = (aij + bij) = (bij + aij) = y ⊕ x, portanto e´
comutativa.
G2) Existeˆncia do elemento neutro:
a⊕e = a =⇒ (aij +eij) = (aij) =⇒ aij +eij = aij =⇒ eij = 0 ∀ i, j.
Portanto,
e = (0) =


0 · · · 0
0
.
.
. 0
.
.
. · · · ...
0 · · · 0


(matriz nula) e´ o elemento neutro.
G3) Existeˆncia do elemento inverso
a⊕a′ = e =⇒ (aij+a′ij) = (0) =⇒ aij+a′ij = 0 =⇒ a′ij = −aij ∀ i, j.
74
Portanto, dado a seu inverso e´
(a′ij) =


−a11 · · · −a1n
−a21 . . . −a2n
.
.
. · · · ...
−am1 · · · −amn


.
Exemplo 3.1.6. Considere o conjunto das matrizes com n linhas e n
colunas com entradas reais e determinante na˜o nulo, denotada por
GLn(R) = {a = (aij) |aij ∈ R, i, j = 1, 2, · · · , n e det(a) 6= 0 }.
Defina a operac¸a˜o em GLn(R) dada por a⊕ b = a · b = (cij) onde
cij =
n∑
k=1
aikbkj , (i, j = 1, 2, · · · , n).
Mostre que (GLn(R),⊕) e´ grupo. Com efeito:
G1) Associativa: a ⊕ (b ⊕ c) = a(bc) = (ab)(c) = (a⊕ b) ⊕ c. Portanto,
e´ associativa (caro leitor fac¸a o detalhes da afirmac¸a˜o).
G2) Existeˆncia do elemento neutro: Defina e = In = (δij) onde:
δij =


1 se i = j
0 se i 6= j
A matriz In e´ chamada de matriz identidade e dada por:
In =


1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0 1


donde a⊕ e = aIn = Ina = e⊕ a.
δij e´ conhecido
como o delta de
Kronecker.
G2) Existeˆncia do elemento inverso:
a⊕ a′ = e =⇒ aa′ = In =⇒ a′ = a−1
Portanto, dado a seu inverso e´ sua matriz inversa a−1. ´E claro
que
det(a−1) =
1
det(a)
6= 0.
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Observac¸a˜o 3.1.1. A exigeˆncia det(a) 6= 0 para todo a ∈ GLn(R) e´
para garantir a existeˆncia do elemento inverso a−1.
Observac¸a˜o 3.1.2. O grupo (GL2(R), ·) na˜o e´ abelino. De fato:
Sejam a, b ∈ GL2(R) dadas por
a =

 1 0
1 1

 e b =

 1 0
0 2

 ,
donde
ab =

 1 0
1 2

 6= ba =

 1 0
2 2


Exemplo 3.1.7. Seja S um conjunto na˜o vazio e seja
G = {f : S −→ S |f e´ bijetiva }.
Defina a operac¸a˜o em G dada por f ⊕ g = f ◦ g (f composta com g).
Mostre que (G,⊕) e´ grupo. Com efeito:
G1) Associativa: f ⊕ (g ⊕ h) = f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h = (f ⊕ g)⊕ h.
Portanto, e´ associativa.
G2) Existeˆncia do elemento neutro: Defina e = IS onde IS e´ func¸a˜o
identidade de S donde f ⊕ e = f ◦ IS = IS ◦ f = e⊕ f
G2) Existeˆncia do elemento inverso:
f ⊕ a′ = e =⇒ f ◦ a′ = IS =⇒ a′ = f−1
Portanto, dado f seu inverso e´ sua func¸a˜o inversa f−1.
O grupo (G, ◦) e´ chamado grupo das permutac¸o˜es do conjunto S.
Quando S = {1, 2, 3, · · · , n} denotaremos esse grupo por Sn, e temos
que o nu´mero de elementos de Sn e´ n!.
Um elemento de Sn e´ um func¸a˜o bijetiva
f : {1, 2, 3, · · · , n} −→ {1, 2, 3, · · · , n},
76
a qual denotaremos por:
f =

 1 2 3 · · · n
f(1) f(2) f(3) · · · f(n)


.
Quando n = 3 temos que S3 e´ possui 6 elementos, os quais deno-
taremos da seguinte maneira:
e = f0 =

 1 2 3
1 2 3

 , f1 =

 1 2 3
1 3 2

 , f2 =

 1 2 3
2 1 3


f3 =

 1 2 3
2 3 1

 , f4 =

 1 2 3
3 1 2

 e f5 =

 1 2 3
3 2 1


Observac¸a˜o 3.1.3. O grupo (S3, ·) na˜o e´ abelino. De fato:
Tome f1, f2 ∈ S2, assim
f1 ◦ f2 =

 1 2 3
1 3 2

 ◦

 1 2 3
2 1 3

 =

 1 2 3
3 1 2

 = f4.
Por outro lado
f2 ◦ f1 =

 1 2 3
2 1 3

 ◦

 1 2 3
1 3 2

 =

 1 2 3
2 3 1

 = f3.
Portanto, S3 na˜o e´um grupo abeliano.
Observac¸a˜o 3.1.4. Seja f1 ∈ S3, calcule f−11 ∈ S3 (elemento inverso).
Temos que resolver a equac¸a˜o f−11 ◦ f1 = e. Assim
f−11 ◦ f1 =

 1 2 3
a b c

 ◦

 1 2 3
1 3 2

 =

 1 2 3
1 2 3

 =⇒

 1 2 3
a c b

 =

 1 2 3
1 2 3

 =⇒ f−11 =

 1 2 3
1 3 2

 = f1
Exemplo 3.1.8. Sejam (G1,⊕1) e (G2,⊕2) grupos. Sobre o produto
cartesiano
G = G1 ×G2 = {(a, b) | a ∈ G1, b ∈ G2 }
77
considere a operac¸a˜o ⋆ definida por: ∀(a, b), (x, y) ∈ G1 ×G2
(a, b) ⋆ (x, y) = (a⊕1 x, b⊕2 y).
´E facil ver que G = (G1×G2, ⋆) e´ grupo, o qual e´ chamado de produto
direto (externo) dos grupos G1 e G2.
Definic¸a˜o 3.1.2. Seja (G,⊕) um grupo. Um subconjunto na˜o vazio
S ⊂ G e´ um subgrupo de G se, e somente se,
a) ∀ a, b ∈ S =⇒ a⊕ b ∈ S (isto e´, S e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o
⊕).
b) (S,⊕) e´ grupo.
Proposic¸a˜o 3.1.3. Seja (G,⊕) um grupo. Um subconjunto na˜o vazio
S ⊂ G e´ um subrupo de G se, e somente se,
∀ a, b ∈ S =⇒ a⊕ b′ ∈ S
onde b′ e´ sime´trico de b.
Prova.(=⇒) Sejam e e eS os elementos neutros de (G,⊕) e (S,⊕),
respectivamente. Assim, temos
eS ⊕ eS = eS = eS ⊕ e =⇒ eS = e.
Considere um elemento b ∈ S, e sejam b′ e b′S os elementos sime´tricos
b e bS, respectivamente nos grupos (G,⊕) e (S,⊕). Assim, temos
b′S ⊕ b = eS = e = b′ ⊕ b =⇒ b′S = b′.
Daı´, dados a, b ∈ S, temos que
a⊕ b′S ∈ S =⇒ a⊕ b′ ∈ S.
(⇐=) Sendo S 6= ∅,existe a ∈ S =⇒ a ⊕ a′ = e ∈ S. Dado b ∈ S,
por hipo´tese e a pela conclusa˜o anterior, segue-se que e⊕ b′ = b′ ∈ S.
Agora, dados a, b ∈ S, temos que a, b′ ∈ S, daı´
a⊕ b = a⊕ (b′)′ ∈ S.
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Acabamos de provar que S e´ fechado em relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕.
Como ja´ mostramos as existeˆncias do elemento neutro e do elemento
sime´trico, nos resta provar a propriedade associativa. Com efeito, da-
dos
a, b, c ∈ S =⇒ a, b, c ∈ G =⇒ a⊕ (b⊕ c) = (a⊕ b)⊕ c ∈ S
Portanto (S,⊕) e´ um grupo.
Exemplo 3.1.9. Mostremos que (Z,+) e´ um subgrupo de (R,+). De
fato:
∀ a, b ∈ Z =⇒ a + (−b) = a− b ∈ Z.
Exemplo 3.1.10. Mostremos que (R∗+, ·) e´ um subgrupo de (R, ·) onde
R∗+ = {x ∈ R | x > 0 }. Com efeito: sejam a, b ∈ R∗+, temos que
b′ = b−1 > 0. Assim
a · b′ = a · b−1 > 0 =⇒ a · b−1 ∈ R∗+.
Exemplo 3.1.11. Mostremos que (S,+) e´ um subgrupo de (Z8,+)
onde S = {0, 4}. Devemos mostrar que para todos a, b ∈ S =⇒
a− b = a− b ∈ S.
Vamos analisar todas as possibilidades:
a b a− b a− b
0 0 0− 0 0− 0 = 0 ∈ S
4 4 4− 4 4− 4 = 0 ∈ S
4 0 4− 0 4− 0 = 4 ∈ S
0 4 0− 4 0− 4 = 4 ∈ S
Portanto (S,+) e´ subgrupo de (Z8,+).
3.1.1 Exercı´cios
1. Seja (G,⊕) um grupo. Se a⊕ θ = a e a⊕ ϑ = e para todo a ∈ G.
Prove
79
(a) θ = e
(b) ϑ = a′.
2. Seja (G,⊕) um grupo. Enta˜o para todo a, b ∈ G, prove que:
(a) Seja x ∈ G tal que a⊕ x = b enta˜o x = a′ ⊕ b.
(b) Se a 6= e tal que a⊕ x = a⊕ y com x, y ∈ G enta˜o x = y.
3. Mostre que o conjunto G = {a + b√2 | a, b ∈ Q e a + b√2 ∈ R∗}
e´ um grupo multiplicativo abeliano.
4. Mostre que (R,⊕) onde x ⊕ y = 3
√
x3 + y3 para todo x, y ∈ R e´
um grupo abeliano.
5. Mostre que (Q,⊕) onde x ⊕ y = x + y − 1
3
para todo x, y ∈ Q e´
um grupo abeliano.
6. Seja conjunto G = {f : R −→ R | f(x) = ax+b, a, b ∈ R e a 6= 0}.
Defina sobre G a operac¸a˜o ⊕ dada por f ⊕ g = f ◦ g para todo
f, g ∈ G. Mostre que (G, ◦) e´ um grupo.
7. Defina sobre R2 = R× R a operac¸a˜o ⊕ dada por
(a, b)⊕ (c, d) = (ac− bd, ad + bc) ∀ (a, b), (c, d) ∈ R2.
Mostre que (R2,⊕) e´ um grupo.
8. Verifique se sa˜o subgrupos:
(a) S1 = {x ∈ Q |x > 0} de (Q∗, ·);
(b) S2 = {1 + 2m
1 + 2n
|m,n ∈ Z } de (Q∗, ·);
(c) S3 = {cosα + i senα | α ∈ Z } de (C∗, ·);
(d) S4 = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q e a + b√2 ∈ R∗} de (R∗, ·).
9. Defina sobre Rn = {x = (x1, x2, · · · , xn) |xi ∈ R, i = 1, 2, · · · , n }
com n ≥ 2 a operac¸a˜o “adic¸a˜o” dada por
(x1, x2, · · · , xn)+(y1, y2, · · · , yn) = (x1+y1, x2+y2, · · · , xn+yn) ∀ x, y ∈ Rn.
Mostre que (Rn,+) e´ um grupo abeliano.
80
10. Verifique se sa˜o subgrupos de (Rn,+):
(a) S1 = {x = (x1, x2, · · · , xn) | x1 + x2 + · · ·+ xn = 0};
(b) S2 = {x = (x1, x2, · · · , xn) | x1 ∈ Z };
(c) S3 = {x = (x1, x2, · · · , xn) | x1x2 · · ·xn = 0}.
11. O conjunto S ⊂ Z e´ subgrupo de (Z,+) se, somente se, existe
m ∈ Z tal que S = {km | k ∈ Z}.
12. Se S1 e S2 sa˜o grupos de G enta˜o S1 ∩ S2 e´ subgrupo de G.
13. Se S1 e S2 sa˜o grupos de G, enta˜o S1 ∪ S2 e´ subgrupo de G se,
somente se, S1 ⊂ S2 ou S2 ⊂ S1.
14. Seja G um grupo e a ∈ G. Mostre que N(a) = {x ∈ G | xa = ax }
e´ um subgrupo de G.
3.1.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) Temos que a⊕θ = a e por A3) a⊕e = a. Assim a⊕θ = a⊕e
daı´ (a′ ⊕ a)⊕ θ = (a′ ⊕ a)⊕ e =⇒ e⊕ θ = e⊕ e =⇒ θ = e.
(b) Ana´loga a demonstrac¸a˜o anterior.
2. (a)
(b)
3.
4. G1) Associativa: Temos que
x⊕(y⊕z) = x⊕( 3
√
y3 + z3) = (
3
√
x3 + [( 3
√
y3 + z3]3 = 3
√
x3 + y3 + z3.
Por outro lado,
(x⊕y)⊕z = ( 3
√
x3 + y3)⊕z = 3
√
[ 3
√
x3 + y3]3 + z3 = 3
√
x3 + y3 + z3.
Portanto, e´ associativa.
G4) Comutativa: x ⊕ y = 3
√
x3 + y3 = 3
√
y3 + x3 = y ⊕ x. Por-
tanto,e´ comutativa.
81
G2) Existeˆncia do elemento neutro:
x⊕ e = x =⇒ 3
√
x3 + e3 = x =⇒ e = 0.
Portanto, e = 0 e´ o elemento neutro.
G3) Existeˆncia do elemento inverso:
x⊕ a′ = e =⇒ 3
√
x3 + [a′]3 = 0 =⇒ a′ = −x.
Portanto, dado x seu inverso e´ a′ = −x.
5.
6.
7.
8. (a) Sim;
(b) Sim;
(c) Sim;
(d) Sim.
9.
10. (a) Sim;
(b) Sim;
(c) Na˜o.
11. Sugesta˜o: Similar a demonstrac¸a˜o de que S = {km | k ∈ Z} e´
um ideal de Z (ver demonstrac¸a˜o no capı´tulo 2).
12.
13.
14.
82
3.2 Homomorfismo e isomorfismo
Definic¸a˜o 3.2.1. Dados dois grupos (G,⊕) e (H,⊖). Dizemos que a
func¸a˜o f : G −→ H e´ homomorfismo do grupo G no grupo H se, e
somente se
f(x⊕ y) = f(x)⊖ f(y) ∀ x, y ∈ G
Exemplo 3.2.1. Sejam os grupos (G,⊕) = (R,+) e (H,⊖) = (R∗+, ·).
Enta˜o a func¸a˜o f : R −→ R∗+ definida por f(x) = ex e´ um homomor-
fismo entre os grupos R e R∗+. Com efeito:
∀ x, y ∈ R =⇒ f(x+ y) = ex+y = ex · ey = f(x) · f(y).
Exemplo 3.2.2. A func¸a˜o f : Z −→ Zm definida por f(z) = z, e´ um
homomorfismo do grupo (Z,+) no grupo (Zm,+). De fato:
∀ x, y ∈ Z =⇒ f(x+ y) = (x + y) = (x) + (y) = f(x) + f(y).
Exemplo 3.2.3. A func¸a˜o f : Z −→ C∗ definida por f(z) = iz, e´ um
homomorfismo do grupo (Z,+) no grupo (C∗, ·). De fato:
∀ x, y ∈ Z =⇒ f(x+ y) = i(x+y) = ix · iy = f(x) · f(y).
Mostraremos a seguir algumas propriedades que um homomor-
fismo satisfaz. Dados dois grupos (G,⊕) e (H,⊖), e um homomor-
fismo f : G −→ H de G e H. Sejam eG e eH os respectivos elementos
neutros de G e H.
Proposic¸a˜o 3.2.2. f(eG) = eH .
Prova. Sendo f um homomorfimos enta˜o
eH ⊖ f(eG) = f(eG) = f(eG ⊕ eG) = f(eG)⊖ f(eG) =⇒ eH = f(eG).
Proposic¸a˜o 3.2.3. Para todo a ∈ G temos f(a′) = [f(a)]′
Prova.Sendo f um homomorfimos enta˜o
f(a)⊖[f(a)]′ = eH = f(eG) = f(a⊕a′) = f(a)⊖f(a′) =⇒ f(a′) = [f(a)]′.
83
Proposic¸a˜o 3.2.4. Se S e´ um subgrupo de G enta˜o f(S) e´ um sub-
grupo de H
Prova. Sendo S um subgrupo de G, temos que eS = eG ∈ S, assim
f(eG) = eH ∈ f(S) daı´ f(S) e´ na˜o vazio. Sejam a, b,∈ S =⇒ a⊕b′ ∈ S,
assim
f(a)⊖ [f(b)]′ = f(a)⊖ f(b′) = f(a⊕ b′) ∈ f(S).
Portanto f(S) e´ um subgrupo de H.
Proposic¸a˜o 3.2.5. Sejam os grupos (G,⊕), (H,⊖) e (J,⊗). Dados os
homomorfismos f : G −→ H e g : H −→ J . Enta˜o g ◦ f : G −→ J e´
um homomorfismo de G em J .
Prova. A cargo do prezado leitor.
Definic¸a˜o 3.2.6. Sejam (G,⊕), (H,⊖) grupos, e f : G −→ H um
homomorfismo de G em H. Chama-se nu´cleo de f e denota-se por
N(f) ou Ker(f) o seguinte subconjunto de G dado por
N(f) = {x ∈ G | f(x) = eH }
Exemplo 3.2.4. Sejam os grupos (G,⊕) = (R,+) e (H,⊖) = (R∗+, ·).
Seja f : R −→ R∗+ definida por f(x) = ex um homomorfismo entre os
grupos R e R∗+. Calcule o N(f).
N(f) = {x ∈ R | f(x) = 1 } =⇒ ex = 1 ⇔ x = 0.
Portanto N(f) = {0}
Exemplo 3.2.5. Calcule o nu´cleo de f : Z −→ Zm definida por f(z) =
z, a qual e´ um homomorfismo do grupo (Z,+) no grupo (Zm,+).
N(f) = {x ∈ Z | f(x) = 0 } =⇒ z = 0 ⇔ z ≡ 0 (mod m).
Portanto N(f) = {km | k ∈ Z}
Exemplo 3.2.6. Seja o homomorfismo f : Z −→ C∗ definido por
f(z) = iz, do grupo (Z,+) no grupo (C∗, ·). Calcule o N(f).
N(f) = {x ∈ Z | f(x) = 1 } =⇒ iz = 1 ⇔ z = 4k, k ∈ Z.
Portanto N(f) = {4k | k ∈ Z}.
84
Proposic¸a˜o 3.2.7. Seja f : G −→ H um homomorfismo de (G,⊕) em
(H,⊖). Enta˜o:
a) N(f) e´ um subgrupo de G.
b) f e´ injetiva se, e somente se, N(f) = {eG}
Prova. a) Como f(eG) = eH , enta˜o eG ∈ N(f) logo N(f) 6= ∅.
Sejam a, b ∈ N(f), donde
f(a⊕ b′) = f(a)⊖ f(b)′ = eH ⊖ e′H = eH =⇒ a⊕ b′ ∈ N(f).
Portanto, N(f) e´ subgrupo de G.
b) (=⇒) Seja a ∈ N(f) enta˜o f(a) = f(eG) = eH . Como f e´ injetiva,
temos que a = eG.
(⇐=) Sejam a, b ∈ G. Se
f(a) = f(b) =⇒ f(a)⊖ f(b)′ = eH =⇒ f(a⊕ b′) = eH =⇒ a⊕ b′ ∈ N(f)
Sendo N(f) = {eG}, temos que a ⊕ b′ = eG =⇒ a = b. Portanto, f e´
injetiva.
Definic¸a˜o 3.2.8. Sejam (G,⊕), (H,⊖) grupos. A func¸a˜o f : G −→ H
chama-se isomorfimo de G em H se, e somente se,
a) f e´ um homomorfismo de G em H .
b) f e´ bijetiva.
Se G e H sa˜o isomorfos, denota-se por G ≈ H.
Se G = H o isomorfismo chama-se automorfimo de G.
Exemplo 3.2.7. A func¸a˜o f : R −→ R∗+ definida por f(x) = ex e´ um
isomorfismoentre os grupos R e R∗+. Com efeito: Ja´ provamos que f
e´ homomorfismo, e que N(f) = {0}, logo f e´ injetiva. E fa´cil ver que
f e´ sobrejetiva, pois
∀ y ∈ R∗+ tal que f(x) = ex = y ⇐⇒ x = ln y.
Portanto R ≈ R∗+.
85
Proposic¸a˜o 3.2.9. Sejam (G,⊕), (H,⊖) grupos. Se f : G −→ H um
isomorfimo de (G,⊕) em (H,⊖), enta˜o f−1 : H −→ G e´ um isomor-
fismo de (H,⊖) em (G,⊕).
Prova. Sendo f bijetiva enta˜o f−1 tambe´m o e´. Agora, dados
y, z ∈ H existem a, b ∈ G tais que y = f(a) e z = f(b). Assim
f−1(y⊖z) = f−1(f(a)⊖f(b)) = f−1(f(a⊕b)) = a⊕b = f−1(y)⊕f−1(z).
Daı´ f−1 e´ um homomorfismo, e portanto um isomorfismo de (H,⊖) em
(G,⊕).
3.2.1 Exercı´cios
1. Verificar em cada caso abaixo, se f e´ um homorfismo.
(a) f : Z −→ Z dada por f(z) = az, sendo Z grupo aditivo e
a ∈ Z.
(b) f : R∗ −→ R∗ dada por f(x) = |x|, sendo R∗ grupo multi-
plicativo.
(c) f : R −→ C∗ dada por f(x) = eix = cosx + i sen x, sendo R
grupo aditivo e C∗ grupo multiplicativo.
(d) f : Z −→ Z × Z dada por f(z) = (z, 0), sendo Z e Z × Z
grupos aditivos.
(e) f : C∗ −→ C∗ dada por f(z) = z, sendo C∗ grupo multiplica-
tivo.
2. Quais homomorfismos acima sa˜o injetores? Quais sa˜o sobreje-
tores?
3. Prove que um grupo G e´ abeliano se, e somente se, f : G −→ G
definida por f(x) = x−1 e´ um isomorfismo.
4. Prove que f : Z −→ 2Z = {0,±2,±4, · · · } definida por f(m) =
2m para todo m ∈ Z, e´ um isomorfismo de (Z,+) em (2Z,+).
86
5. Mostre que G = {2m3n| m,n ∈ Z} e H = {m + ni| m,n ∈ Z}
sa˜o subgrupos de (R∗+, ·) e (C,+), respectivamente, e que sa˜o
isomorfos.
6. Denotando por Aut(G) o conjunto de todos automorfimos (iso-
morfismo) de um grupo G. Mostre que (Aut(G), ◦) e´ um grupo.
3.2.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. (a) Sim;
(b) Sim;
(c) Sim;
(d) Sim;
(e) Sim.
2. Injetores: a) se a 6= 0, d) e e). Sobrejetores: a) se a = ±1 e e).
3.
4.
5. Sugesta˜o: Defina a func¸a˜o f : H −→ G dada por
f(m+ ni) = 2m3n e mostre que f e´ um isomorfismo de H em G.
6.
3.3 Grupos cı´clicos
Seja (G,⊕) grupo. Para facilitar a notac¸a˜o vamos denotar x ⊕ y
simplemente por xy; o elemento neutro de G por e, e sime´trico de
x ∈ G por x−1.
Definic¸a˜o 3.3.1. Seja G grupo multiplicativo . Dados a ∈ G e n ∈ Z
define-se poteˆncia de a da seguinte maneira:
n = 0 n > 0 n < 0
a0 = e an = an−1a an = [a−n]−1
87
Exemplo 3.3.1. Seja (Q∗, ·) grupo multiplicativo. Considere 2 ∈ Q∗,
assim temos que
20 = 1, 21 = 2, 22 = 2.2 = 4, 23 = 22.2 = 8 e 2−2 = [22]−1 =
1
4
.
Exemplo 3.3.2. Seja (GL2(R), ·) grupo das matrizes inversı´veis 2× 2
com “entradas” reais. Considere
a =

 1 2
0 1

 ∈ GL2(R).
Temos que
a0 =

 1 0
0 1


a2 = a.a =

 1 2
0 1



 1 2
0 1

 =

 1 4
0 1


a−2 = [a2]−1 =

 1 −4
0 1


Exemplo 3.3.3. Seja f3 =

 1 2 3
2 1 3

 ∈ S3 grupo das permutac¸o˜es.
Assim
[f3]
0 = e =

 1 2 3
1 2 3


[f3]
2 = f3.f3

 1 2 3
2 3 1



 1 2 3
2 3 1

 =

 1 2 3
3 1 2


[f3]
−2 = [f 23 ]
−1 =



 1 2 3
3 1 2




−1
=

 1 2 3
2 3 1


Definic¸a˜o 3.3.2. Seja G grupo aditivo . Dados a ∈ G e n ∈ Z define-
se mu´ltiplo de a da seguinte maneira:
n = 0 n > 0 n < 0
0a = e na = (n− 1)a + a na = −[(−n)a]
Exemplo 3.3.4. Seja (Z8,+) grupo aditivo. Considere 3 ∈ Z8, assim
temos que
0·3 = 0, 2·3 = 3+3 = 6, 3·3 = 2·3+3 = 1, e−2·3 = −[2·3] = −6 = −6 = 2.
88
Definic¸a˜o 3.3.3. Um grupo multiplicativo G e´ dito cı´clico se existe x ∈
G tal que
G = {xn | n ∈ Z} . Notac¸a˜o : G = 〈x〉.
O elemento x e´ dito gerador de G.
Saiba Mais: Para
mais detalhes
sobre a teoria de
grupos cı´clicos,
ver refereˆncia [1]
Exemplo 3.3.5. Seja G = {−i,−1, 1, i}. ´E fa´cil ver que (G, ·) e´ grupo
multiplicativo. Ale´m disso, e´ cı´clico pois
G = {in | n ∈ Z} = 〈i〉.
Observac¸a˜o 3.3.1. No grupo cı´clico pode existir mais de um gerador.
Ver exemplo (3.3.5), onde o elemento −i e´ de gerador G.
Observac¸a˜o 3.3.2. Todo grupo cı´clico e´ abeliano, pois dados a, b ∈ G
existem n,m ∈ Z tais que a = xn e b = xm, daı´
ab = xnxm = xn+m = xm+n = xmxn = ba.
Observac¸a˜o 3.3.3. Um grupo aditivo G e´ dito cı´clico se existe x ∈ G
tal que
G = {nx | n ∈ Z}.
Proposic¸a˜o 3.3.4. Dado um grupo multiplicativo G e um elemento
x ∈ G enta˜o S = {xn | n ∈ Z} = 〈x〉 e´ subgrupo de G.
Prova. Temos x0 = e =⇒ e ∈ S, logo S e´ na˜o vazio. Sejam a, b ∈ G
existem n,m ∈ Z tais que a = xn e b = xm, daı´
ab−1 = xn[xm]−1 = xnx−m = xn−m ∈ S
Portanto, S e´ subgrupo de G.
Acabamos de provar que todo elemento x ∈ G gera um grupo
cı´clico, o qual denotaremos por 〈x〉.
Exemplo 3.3.6. Seja i ∈ C∗ grupo multiplicativo. enta˜o
〈i〉 = {in | n ∈ Z} = {−i,−1, 1, i}.
89
Exemplo 3.3.7. Seja 2 ∈ Q∗ grupo multiplicativo. enta˜o
〈2〉 = {2n | n ∈ Z} = {· · · , 1
4
,
1
2
, 1, 2, · · · }.
Exemplo 3.3.8. No grupo aditivo dos inteiros, temos que:
〈1〉 = {n · 1 | n ∈ Z} = Z = 〈−1〉.
Neste caso, (Z,+) e´ grupo cı´clico.
Definic¸a˜o 3.3.5. Dado x um elemento do grupo multiplicativo G, se
xn = e⇐⇒ n = 0
dizemos que elemento x tem ordem (perı´odo) zero e que 〈x〉 grupo
cı´clico infinito.
Exemplo 3.3.9. O nu´mero 2 ∈ Q∗ grupo multiplicativo tem ordem zero
, pois
2n = 1 ⇐⇒ n = 0.
Proposic¸a˜o 3.3.6. Seja x ∈ G um elemento de perı´odo zero, sendo G
um grupo multiplicativo. A func¸a˜o f : Z −→ 〈x〉 definida por f(z) = xz
e´ um isormofismo de Z em G.
Prova.
i) (f e´ um homomorfismo). Para todo m,n ∈ Z, temos que
f(m + n) = xm+n = xmxn = f(m)f(n),
portanto f e´ um homomorfismo.
ii) (f e´ injetiva). Se f(z) = e = xz ⇐⇒ z = 0, daı´ N(f) = {0}, portanto
f e´ injetiva.
iii) (f e´ sobrejetiva). Seja a ∈ 〈x〉 enta˜o existe n ∈ Z tal que a = xn =
f(n), portanto f e´ sobrejetiva.
Assim conclui-se que f e´ um isomorfismo de Z em 〈x〉.
90
Definic¸a˜o 3.3.7. O menor inteiro h > 0 tal que xh = e chama-se ordem
ou perı´odo do elemento x, o qual denotaremos por O(x) = h.
Observac¸a˜o 3.3.4. Vimos anteriormente que se na˜o existe h > 0 tal
que xh = e enta˜o o elemento x tem perı´odo zero e 〈x〉 e´ um conjunto
infinito.
Exemplo 3.3.10. O elemento i ∈ C∗ possui ordem 4, pois
i1 = 1, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1.
Exemplo 3.3.11. O elemento −1 ∈ R∗ possui ordem 2, pois
(−1)1 = −1, (−1)2 = 1.
Exemplo 3.3.12. Seja f2 =

 1 2 3
1 3 2

 ∈ S3. Calcule a ordem de f2.
[f2]
1 = f2 =

 1 2 3
1 3 2


[f2]
2 = f2 · f2 =

 1 2 3
1 3 2

 ·

 1 2 3
1 3 2

 =

 1 2 3
1 2 3

 = f1 = e.
Logo a ordem de f2 e´ 2,
Exemplo 3.3.13. Seja G um grupo e x ∈ G com x 6= e. Enta˜oO(x) = 2
se, e somente se, x = x−1. De fato:
x2 = e⇐⇒ x−1x2 = x−1e⇐⇒ x = x−1.
Proposic¸a˜o 3.3.8. Seja x ∈ G onde G e´ grupo multiplicativo. Se
O(x) = h > 0, enta˜o 〈x〉 e´ um grupo finito de ordem h dado por
〈x〉 = {e, x, x2, · · · , xh−1}.
Prova. Mostraremos que {e, x, x2, · · · , xh−1} possui exatamente h
elementos. Com efeito: suponha por absurdo que existam m,n ∈ Z
tais que
0 ≤ m < n < h e xm = xn =⇒ 0 < n−m < h e xn−m = e.
91
Contradic¸a˜o, pois h e´ menor inteiro positivo tal que xh = e. Logo na˜o
existe elementos iguais neste conjunto.
Para mostrar que 〈x〉 = {e, x, x2, · · · , xh−1}, e´ suficiente mostrar
que
〈x〉 ⊂ {e, x, x2, · · · , xh−1}.
De fato: seja a ∈ 〈x〉 enta˜o existe n ∈ Z tal que a = xn. Agora, usando
o algoritmo da divisa˜o existem q, r ∈ Z tais que
n = qh + r com 0 ≤ r < h.
Assim,
a = xn = xqh+r = (xh)qxr = eqxr = xr.
Sendo 0 ≤ r < h, segue-se que a ∈ {e, x, x2, · · · , xh−1}.
Definic¸a˜o 3.3.9. Seja G = 〈x〉 um grupo cı´clico. Dizemos que G e´
grupo cı´clico finito se O(x) = h > 0.
Proposic¸a˜o 3.3.10. Seja h > 0 a ordem do elemento x do grupo G.Enta˜o
xn = e⇐⇒ h|n.
Prova.(=⇒) Dado n ∈ Z, enta˜o pelo algoritmo de Euclides existem
q, r ∈ Z tais que
n = qh + r com 0 ≤ r < h.
Assim
e = xn = xqh+r = (xh)qxr = eqxr = xr.
Como 0 ≤ r < h e h e´ o menor inteiro positivo tal que xh = e, segue-se
que r = 0 =⇒ h|n.
(⇐=) Como h|n existe m ∈ Z tal que n = mh, daı´
xn = xmh = [xh]m = em = e.
Proposic¸a˜o 3.3.11. Seja G um grupo cı´clico multiplicativo de ordem
h > 0. Enta˜o existe um isormofismo de Zh em G.
92
Prova. Seja x um gerador de G, neste caso G = 〈x〉 = {e, x, x2, · · · , xh−1}.
Defina a func¸a˜o
f : Zh = {0, 1, 2, · · · , h− 1} −→ G = {e, x, x2, · · · , xh−1}
n 7−→ f(n) = xn .
Mostraremos que f e´ um isomorfismo de Zh em G. De fato:
i) (f e´ um homomorfismo). Para todo m,n ∈ Zh, temos que
f(m + n) = f(m + n) = xm+n = xmxn = f(m)f(n).
Portanto, f e´ um homomorfismo.
ii) (f e´ injetiva). Seja n ∈ Zh tal que
f(n) = e = xn ⇐⇒ h|n⇐⇒ n ≡ 0 (mod h) ⇔ n = 0.
Assim N(f) = {0}, e portanto f e´ injetiva.
iii) (f e´ sobrejetiva). Seja a ∈ 〈x〉, enta˜o existe n ∈ Z tal que a = xn =
f(n), portanto f e´ sobretiva.
Assim conclui-se que f e´ um isomorfismo de Zh em G.
Exemplo 3.3.14. De acordo com a proposic¸a˜o acima o grupo aditivo
Z4 = {0, 1, 2, 3} e´ isomorfo ao grupo multiplicativo G = {1, i,−1,−i} =
〈i〉.
3.3.1 Exercı´cios
1. Construa os seguintes subgrupos:
(a) 〈1
3
〉 em (Q∗, ·).
(b) 〈−2〉 em (Q∗,+).
(c) 〈i〉 em (C∗, ·).
(d) 〈4〉 em (Z12,+).
2. Seja G um grupo finito e a ∈ G com a 6= e. Mostre que
93
(a) O(a) = O(a−1).
(b) Se O(a) = 2 ∀ a ∈ G com a 6= e, enta˜o G e´ abeliano.
(c) Se O(ab) = mn enta˜o O(am) = n.
(d) ∀ b ∈ G temos O(bab−1) = O(a).
(e) Se am = e enta˜o O(a) | m
3. Prove que (Zm,+) para todo m > 1 e´ cı´clico.
4. Seja G um grupo abeliano. Para todos x, y ∈ G e m ∈ Z temos
que (xy)m = xmym.
5. Seja G um grupo multiplicativo e a, b ∈ G. Se O(ab) = h > 0
enta˜o O(ba) = h > 0.
6. Mostre que todo subgrupo de um grupo cı´clico e´ cı´clico.
3.3.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. Construa os seguintes subgrupos:
(a) 〈1
3
〉 = {· · · , 1
9
,
1
3
, 1, 3, 9, · · · }.
(b) 〈−2〉 = {· · · ,−4,−2, 0, 2, 4, · · · }.
(c) 〈i〉 = {1,−1, i,−i}.
(d) 〈4〉 = {0, 4, 8}.
2. Seja G um grupo finito e a ∈ G com a 6= e. Mostre que
(a) Seja h = O(a), assim
ah = e =⇒ (ah)−1 = e−1 =⇒ (a−1)h = e.
Logo O(a−1) = h = O(a).
(b)
(c)
(d) Sugesta˜o: Prove por induc¸a˜o sobre n que (bab−1)n = banb−1.
94
(e)
3.
4. (xy)m = xy · yx · · ·xy · xy︸ ︷︷ ︸
m vezes
= x · x · · ·x · x︸ ︷︷ ︸
m vezes
· y · y · · · y · y︸ ︷︷ ︸
m vezes
= xmym.
5.
6.
3.4 Classes Laterais e o Teorema de Lagrange
Definic¸a˜o 3.4.1. Seja S um subgrupo de G. Dado a ∈ G indicare-
mos por aS (respectivamente por Sa) e chamaremos de classe lateral
a` esquerda (respectivamente a` direita), mo´dulo S, definida por a, o
seguinte subconjunto de G:
(i) aS = {as | s ∈ S} .
(ii) (respectivamente) Sa = {sa | s ∈ S}
Observac¸a˜o 3.4.1. Se G e´ abeliano, e´ claro que aS = Sa.
Exemplo 3.4.1. Seja S = {1,−1} subgrupo do grupo G = {1,−1, i,−i}.
Enta˜o suas classes laterais sa˜o:
1 · S = {1 · 1, 1 · (−1)} = {1,−1} = S · 1 = S.
(−1) · S = {(−1) · 1, (−1) · (−1)} = {−1, 1} = S · (−1) = S.
i · S = {i · 1, i · (−1)} = {i,−i} = S · i.
(−i) · S = {(−i) · 1, (−i) · (−1)} = {−i, i} = S · (−i) = i · S.
Exemplo 3.4.2. Considere S = {0, 2} subgrupo do grupo aditivo G =
Z4 = {0, 1, 2, 3}. Enta˜o suas classes laterais sa˜o:
0 + S = {0 + 0, 0 + 2} = {0, 2} = S + 0 = S.
1 + S = {1 + 0, 1 + 2} = {1, 3} = S + 1.
2 + S = {2 + 0, 2 + 2} = {2, 0} = S + 2 = S.
3 + S = {3 + 0, 3 + 2} = {3, 1} = S + 3 = 1 + S.
95
Exemplo 3.4.3. Seja S = {x ∈ R | x > 0} subgrupo do grupo multi-
plicativo G = R∗. Enta˜o suas classes laterais sa˜o:
∀ a > 0 =⇒ a · S = S · a = S.
∀ a < 0 =⇒ a · S = S · a = {x ∈ R∗ | x < 0}.
Trabalharemos somente com as classes laterais a` esquerda, pois
tanto faz trabalhar com as classes lateriais a` esquerda ou a` direita.
Inclusive as demonstrac¸o˜es seriam as mesma.
Proposic¸a˜o 3.4.2. Seja S um subgrupo do grupo G. Enta˜o
1.) ∀ a, b ∈ G temos que
aS = bS ⇐⇒ a−1b ∈ S.
2.) ∀ a, b ∈ G temos que
aS 6= bS ⇒ aS ∩ bS = ∅.
3.) ⋃
a∈S
aS = G
Prova. 1.)(=⇒): Sejam a, b ∈ G tal que aS = bS. Vamos provar
que a−1b ∈ S. De fato: Como a ∈ aS = bS enta˜o existe n ∈ S tal que
a = bn. Donde a−1b = n−1 ∈ S.
(⇐=): Se a−1b ∈ S. Vamos provar que aS = bS, e para isto vamos
provar que aS ⊂ bS e bS ⊂ aS. De fato:
Seja x ∈ aS =⇒ x = am, com m ∈ S. Sendo que a−1b ∈ S =⇒
a−1b = k com k ∈ S. Assim a = bk−1 =⇒ x = bk−1m =⇒ x ∈ bS.
x ∈ bS =⇒ x = bm, com m ∈ S. Sendo que a−1b ∈ S =⇒ a−1b = k
com k ∈ S. Logo b = ak, donde x = akm =⇒ x ∈ aS. Portanto
aS = bS.
2.) Suponha por absurdo que aS ∩ bS 6= ∅. Seja x ∈ aS ∩ bS,
assim x = bn com n ∈ S. Logo temos que x−1b = n−1b−1b = n−1 ∈ S.
Portanto, 1.) nos garante que aS = bS, que e´ uma contradic¸a˜o, e daı´
segue que aS ∩ bS = ∅.
96
3.) Vamos provar que ⋃
a∈G
aS ⊂ G e G ⊂ ⋃
a∈G
aS. De fato:
Como aS ⊂ G para todo a ∈ G segue que ⋃
a∈G
aS ⊂ G. Agora, para
qualquer a ∈ G temos que a ∈ aS e portanto segue que G ⊂ ⋃
a∈G
aS, e
com isto, segue o afirmado.
Observac¸a˜o 3.4.2. Acabamos de provar que o conjunto G e´ unia˜o
disjunta das classes laterais a` esquerda, mo´dulo S. De modo ana´logo,
como unia˜o disjunta das classes laterais a` direita, mo´dulo S.
Definic¸a˜o 3.4.3. A cardinalidade do conjunto das classes laterais a`
esquerda e´ o ı´ndice de S em G, o qual denotaremos por (G : S).
Proposic¸a˜o 3.4.4. O ı´ndice de H em G tambe´m e´ a cardinalidade do
conjunto das classes laterais a` direita.
Prova. Seja f : aS −→ Sa−1 definida por f(as) = sa−1 ∀ s ∈ S.
Mostraremos que f e´ uma bijec¸a˜o entre os conjuntos aS e Sa−1. Com
efeito: sejam m,n ∈ aS tais que f(m) = f(n). Assim f(m) = ma−1 =
f(n) = na−1 =⇒ m = n, logo f e´ injetiva. Seja y ∈ Sa−1, daı´ y = na−1
com n ∈ S, assim an = aya ∈ aS e f(an) = f(aya) = yaa−1 = y, logo
f e´ sobrejetiva. Portanto f e´ bijetiva.
Proposic¸a˜o 3.4.5. Todas as classes laterais de S em G teˆm a mesma
cardinalidade, que e´ igual a` cardinalidade de S.
Prova. Seja f : S −→ aS definida por f(s) = as ∀ s ∈ S.
Mostraremos que f e´ uma bijec¸a˜o entre os conjuntos S e aS. Com
efeito: sejam m,n ∈ S tal que f(m) = f(n). Assim f(m) = ms =
f(n) = ns =⇒ m = n, logo f e´ injetiva. Seja y ∈ aS, daı´ y = an com
n ∈ S, assim f(n) = an = y, logo f e´ sobrejetiva. Portanto bijetiva.
Observac¸a˜o 3.4.3. Da proposic¸a˜o acima que para todo a ∈ S, temos
aS = S.
Exemplo 3.4.4. Considere S = {0, 2} subgrupo do grupo aditivo G =
Z4 = {0, 1, 2, 3}. Vimos no exemplo (3.4.2) que ı´ndice de S em G e´ 2
97
((G : S) = 2) e que cada classe possui exatamente 2 elementos. Ale´m
disso, Z4 e´ unia˜o disjunta das classes S = {0, 2} e 1 + S = {1, 3}.
Definic¸a˜o 3.4.6. Seja G um grupo finito. Denotaremos por O(G) a
cardinalidade de G, isto e´, o nu´mero de elementos do grupo G.
Teorema 3.4.7 (Teorema de Lagrange). Seja S um subgrupo do grupo
finito G. Enta˜o
O(S)|O(G) e O(G) = O(S) · (G : S).
Prova. Seja k = (G : S) e seja {a1S, a2S, · · · , akS} o conjunto das
classes laterais a` esquerda, mo´dulo S. Enta˜o pela proposic¸a˜o 3.4.2
segue-se que
a1S ∪ a2S ∪ · · · ∪ akS = G.
Ainda pela proposic¸a˜o 3.4.2, temos que cada elemento de G esta´
numa e somente numa dessas classes citadas acima. Da proposic¸a˜o
3.4.5 temos que o nu´mero de elementos de cada classe e´ O(S), as-
sim, conclui-se que O(G) = O(S) · (G : S), e daı´ O(S)|O(G).
Corola´rio 3.4.1. Seja a ∈ G e S = 〈a〉. Enta˜o O(a)|O(G).
Prova. Temos que O(S) = O(a). Pelo Teorema de Lagrange
conclui-se que O(a)|O(G).
Corola´rio 3.4.2. Seja a ∈ G, enta˜o aO(G) = e.
Prova. Seja S = 〈a〉, daı´ O(S) = O(a). Assim
aO(G) = a[O(a)·(G:S)] = [aO(a)](G:S) = e(G:S) =e.
Corola´rio 3.4.3. Seja G um grupo finito. Se a ordem de G for um
nu´mero primo, enta˜o G e´ cı´clico e seus u´nicos subgrupos sa˜o os trivi-
ais: {e} e G.
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Prova. Sendo p > 1 enta˜o G possui pelos menos dois elementos.
Seja a ∈ G com a 6= e e S = 〈a〉. Como O(a)|O(G) e a ordem de G e´
um nu´mero primo, segue-se que O(a) = p, daı´ G = S = 〈a〉. E e´ claro
que, os u´nicos subgrupos de G sa˜o os triviais.
Proposic¸a˜o 3.4.8. Seja G um grupo finito. Se a ordem de O(G) ≤ 5,
enta˜o G e´ abeliano.
Prova. Se O(G) = 1 enta˜o G = {e}, e´ o´bvio que G e´ abelino. Se
O(G) = 2,O(G) = 3ou O(G) = 5, temos do resultado anterior que G e´
cliclico, e portanto abeliano.
Agora, considere O(G) = 4. Enta˜o existe somente duas possibili-
dades para os elementos de G diferentes de e, ha´ saber:
i) G possui um elemento de ordem 4.
ii) Todo elemento de G possui ordem 2.
Se ocorrer i), temos que G e´ cı´clico, e portanto e´ abeliano. Agora,
Se ocorrer ii), temos pelo exemplo (3.3.13) que todo elemento de G e´
inverso dele mesmo. Assim, dados x, y ∈ G temos
xy = (xy)−1 = y−1x−1 = yx.
Portanto G e´ abeliano.
3.4.1 Exercı´cios
1. Determinar todas as classes laterais de S = {0, 4} do grupo adi-
tivo Z8.
2. Determinar todas as classes laterais de S = 3Z do grupo aditivo
Z.
3. Seja G um grupo finito e a, b ∈ G com a, b 6= e. Se
a5 = e e aba−1 = b2.
Mostre que O(b) = 31.
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4. Seja S subgrupo de G. Se (G : S) = 2 enta˜o aS = Sa para todo
a ∈ G.
5. Sejam S e H subgrupos de G. Se O(S) = p e O(S) = q com p e
q primos distintos, enta˜o S ∩H = {e}.
6. Mostre que se a ordem de G e´ pn, onde p e´ nu´mero primo positivo
e n > 1. Enta˜o a ordem de qualquer elemento de G e´ poteˆncia
de p.
7. Quais sa˜o os subgrupos de S3? E de Z8?
3.4.2 Algumas respostas, sugesto˜es e soluc¸o˜es
1. S, 1 + S, 2 + S e 3 + S.
2. S, 1 + S e 2 + S.
3.
4. Se (G : S) = 2, enta˜o existe apenas duas classes distintas S e
G− S. Assim dado a ∈ G, temos apenas duas possibilidades:
(a) a ∈ S =⇒ aS = S = Sa;
(b) a /∈ S =⇒ aS = G− S = Sa.
5. Sugesta˜o: Suponha por contradic¸a˜o e use o Teorema de La-
grange.
6. Dado a ∈ G, enta˜o pelo Teorema de Lagrange temos que
O(a)|O(G) = pn =⇒ O(a) = pm para algum m ≤ n.
7. De S3 : {f0}, {f0, f1}, {f0, f2}, {f0, f3, f4}, {f0, f5} e S3.
De Z8 : {0}, {0, 4}, {0, 2, 4, 6} e Z8.